2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В таблице 13.1 приведены значения коэффициента гр для стали марки ВСтЗ, чугуна и дерева. Следует заметить, что нормы проектирования периодически пересматриваются и значения ср корректируются. Условие устойчивости (13.27) при расчете по методу допускаемых напряжений с учетом (13.29) записывается в виде В аналогичном виде может быть представлено условие устойчивости при расчете по методу предельных состояний: причем в этом случае коэффициент продольного изгиба гр называют также коэффициентом уменьшения расчетного сопротивления при продольном изгибе.
При расчете сжатых стержней на устойчивость решаются следующие задачи: 1) проверочный расчет на устойчивость; '2) подбор сечения; 3) определение несущей способности, то есть величины допускаемой нагрузки из условия устойчивости. Рассмотрим решение этих задач на числовых примерах. Пример 13.1. Проверим устойчивость стальной колонны двутаврового сечения ~20а, нагруженной расчетной сжимающей силой Р= 350 кН (рис. 13.9). Определим критическую силу, критические напряжения и наибольшую допустимую величину нагрузки из условия устойчивости по методу предельных состояний. Материал колонны — сталь марки ВСтЗ с расчетным сопротивлением Я=210 МПа, 7,=1. Так как опорные закрепления стержня в двух главных плоскостях инерции Оху и Охг одинаковы, то он будет терять устойчивость в плоскости наименьшей жесткости Оху.
Поэтому и Ржанинын А. Р., Теория расчета строительных конструкний на налсжность, М., Стройиздат, Р978. Таблица 13.1 Сталь по с расчет пределу ным со гекучест противлением и 7$, МПа Гибкость Х Чугун марки СЧ Дерево (сосна) 240 280 400 440 200 320 360 0,982 0,981 0,987 0,985 1О 0,988 0,984 0,983 0,970 0,992 7 =-'= =90; гр=0,665. 2,32 20 0,962 0,959 0,931 0,924 0,952 0,949 0,946 0,905 0,900 0,910 0,967 0,955 0,968 30 0,917 0,911 0,810 0,939 0,928 0,894 0,883 0,863 0,854 0,846 0,690 0,906 0,873 0,872 Рис.
13.9 50 0,869 0,852 0,836 0,822 0,809 0,796 0,785 0,570 0,800 60 0,827 0,805 0,785 0,766 0,749 0,721 0,696 0,440 0,712 0,754 0,724 0,654 0,340 70 0,782 0,687 0,623 0,595 0,612 80 0,686 0,641 0,612 0,565 0,532 0,501 0,447 0,413 0,260 0,602 ОД34 0,566 0,483 0,200 90 0,665 0,522 0,370 100 О. 542 0,493 0,448 0,408 0,160 0,599 0,369 0,335 0,300 11О 0,537 0,478 0,427 0,38! 0,338 0,306 0,280 0,248 120 0,479 0,419 0,366 0,364 0,313 0,321 0,287 0,260 0,237 0,223 0,204 0,208 130 0,425 0,276 0,247 0,178 0,276 0,239 0,244 0,212 О,! 33 150 0,328 0,211 0,189 0,171 0,157 0,152 0,139 0,1!7 160 0,290 0,167 0,187 0,104 170 0,259 0,218 0,189 0,150 0,167 0,136 0,125 Ю (ру,7$ 0,093 180 0,233 0,196 0,170 0,135 0,123 0,112 0,150 190 0,083 0,177 0,154 О,!11 0,102 0,210 0,136 0,122 0,075 200 0,191 0,161 0,140 0,124 0,11! 0,101 0,093 0,068 210 0,174 0,147 0,128 0,102 0,113 0,093 0,085 0,062 220 0,160 0,135 0,1! 8 0,104 0,094 0,086 0,077 Рнс.
13.10 273 272 $ ~ $ $ $ $ $ ' $ выписываем из сортамента наименьшие значения момента инерции 1, = 155 сма, радиуса инерции $,=2,32 см и площадь сечения Р=28,9 см'. При заданных опорных закреплениях (рис. 13.7) приведенная длина стержня равна 1о — — $$1= =0,7 300=210 см. По формуле !13.14) находим гибкость стержня и по таблице 13.1 — соответствующее значение коэффициента продольного изгиба По формуле (13.32) производим проверку устой чивости: и= — = =12„11 —,=121,1 МПа<гр7,1$=139,6 МПа.
Г 28,9 смт Условие устойчивости выполняется. Из условия устойчивости (13.32) находим наибольшую допустимую величину расчетной нагрузки Р„в=!97,ЯР=0,665 1,0 21 28,9=403,6 кН. Полученное значение гибкости 1=90 удовлетворяет условию !13.24). Поэтому критическое напряжение и критическую силу находим по формуле Ясинского: о„„= а — Ь) = 310 — 1,14 90 = 207,4 МПа; Р. = пк ' Р = 20 74 ' 28,9 = 599,4 1! Н. Пример 13.2.
Подберем сечение в виде равнобокого уголка раскоса стропильной фермы, в котором действует расчетное сжимающее усилие Н= Р= 120 кН (рис. 13.10). Материал — сталь марки ВСтЗ, Я=200 МПа, 7,=0,75, Е=2,1-10' МПа. в При практических расчетах ферм обычно вводят предположение, что элементы фермы соединены между собой в узлах шарнирно. При подборе сечения условие устойчивости (13.32) необходимо записать в виде Эта формула содержит две неизвестные величины †площа поперечного сечения Р и коэффициент продольного изгиба гр. Поэтому при расчете приходится использовать метод последовательных приближений, задаваясь величиной коэффициента гр.
Обычно в первом приближении принимают !р1=0,5 —:0,6 и находят последовательно площадь поперечного сечения Г, радиус инерции 1, гибкость стержня и соответствующее ей действительное значение !р'1. Если величины !р1 и !р'1 существенно отличаются друг от друга, то во втором приближении принимают 411+1!11 ~ря 2 Последующие приближения делаются аналогично. Расчет можно закончить, когда в 1с-том приближении величина <рх будет превышать !р„не более, чем на 3 —: 5%. Если 1р'„«р,, то условие устойчивости (13.32) не выполняется. Первое приближение.
Принимаем ср1=0,5 и находим требуемую площадь поперечного сечения Г= — =16,0 см2. 120 0,5 0,75 20 По сортаменту принимаем равнобокий уголок ! 1!0 х 8 с площадью Г=! 7,2 см2 и минимальным радиусом инерции ! 1, = 1, = 2,18 см. Гибкость стержня равна Х= — '= =107,8. 2,18 Используя линейную интерполяцию, по таблице 13.1 находим ср'1=0,599 — ' * 1107,8 — 100)=0,551. Второе приближение. Принимаем 91+9'1, -1-,» 0 526 2 2 Требуемая площадь сечения равна Е= =15,21 см'. 120 0,526 15,0 Принимаем сечение ! 110 х 7, Г= 15,2 см', !', = 2,19 см, 3,,=72,7 см4. Находим 1=235!2,19=107,3, ср2=0,554. Так как 1р'2 )!р2, то условие устойчивости (13.32) выполняется. Определим величину погрешности в определении коэффициента !р во втором приближении: а' — Е, ! „Оэ54 — О,526 1Р1 0,526 Поскольку погрешность не превышает допустимой величины, то на этом расчет можно закончить. 274 о= — = =7,89 —,=78,9 МПа«р'27,Я=83,! МПа.
Г 15,2 см1 Условие устойчивости выполняешься. Определим критическую силу и критические напряжения. Так как гибкость 1= 107,3 > 100, то в соответствии с условием (13.19) применяем формулу Эйлера (13.12): х1Г1 3!41,21,104,727 Ю 12 235' а„= — "'= — '= 17,93 — = 179,3 МПа. с 15,2 см1 Пример 13.3. Деревянная стойка прямоугольного поперечного сечения (рис. 13,11) заделана на нижнем конце. Верхний конец может свободно перемещаться в главной плоскости инерции Охг, а в главной плоскости Оху имеет шарнирную опору. Материал стойки— Р сосна. Модуль упругости Е= 104 МПа, расчетное ' сопротивление А = 13 МПа.
Коэффициент условий работы 7,=0,9. Определим критическую силу, критические напряжения и наибольшую допустимую величину расчетной нагрузки. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стойки г=ЬЬ=6 18=108 см'; 3 = =2916 см; 3;= =324 см 6 181 186 4 12 12 1П~+т !$6сн — = 5,196 см; 1,= — *=1,732 см. )7 Определяем приведенную длину и гибкость стойки: в главной плоскости Оху Рис. 13.11 lс —— 0,71 = 0,7 . 300 = 210 см; )с = — ' = — =! 21,2; в главной плоскости Охг Х=-'= — =115,5. 5,196 lо — — 21=2.300=600 см; Таким образом, стойка может потерять устойчивость в плоскости Оху, в которой гибкость имеет наибольшее значение. 275 В конце расчета убедимся в том, что подобранное сечение удовлетворяет условию устойчивости: Гибкость 1=121,2 больше предельной гибкости Х! =70 для дерева Я 13.4).
Поэтому критическую силу определяем по формуле Эйлера х Е/. 3,14 !О 324 72,44 кН; !о 210 о'„= — "— '= ' -=0,671 =6,71 МПа. Е 108 смг Для 7.=121,2 по таблице 13.1 находим коэффициент продольного изгиба 1р = 0,204. Из условия устойчивости (! 3.32) определяем наибольшую допустимую величину расчетной нагрузки; Р„ь = !р у, Лс = 0,204 0,9 1,3 108 = 25,77 кН. й 13.6. Продольно-поперечный изгиб стержней Продольно-поперечным называется изгиб стержня, возникаюи)ий от совместного действия поперечной и продольной нагрузок.
Для достаточно жестких стержней (8 12.4) дополнительные прогибы и изгибающие моменты от центрально приложенной продольной силы невелики по сравнению с прогибами и моментами от поперечной нагрузки н ими можно пренебречь. Рассмотрим гибкий стер- жень, находящийся под дейРис. 13.12 ствием поперечной нагрузки и центрально приложенной сжимающей силы Х (рис.
13.12). Обозначим через о„(х) и М„(х) прогиб и изгибающий момент в произвольном сечении стержня от действия одной только поперечной нагрузки. После приложения к концам стержня продольной силы Х прогибы и моменты получат приращения Ло(х) и ЬМ(х1. Полный прогиб и изгибающий момент от совместного деиствия поперечной и продольной нагрузок равны о=о„+Ли„. М=М +АМ= М„+%о, (13.33) где АМ=%о — дополнительный изгибающий момент, вызванный действием продольной силы.
Если вместо сжимающей приложи.гь растягивающую силу гч', то о= о„— Ло; М= ̄— ЛМ= ̄— Хо. Из полученных формул видно, что действие сжимающей силы приводит к увеличению, а растягивающей — к уменьшению прогибов и изгибающих моментов. На практике чаще встречается продольно-поперечный изгиб, вызванный поперечной нагрузкой и сжимающей силой. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учетом (13.33) можно записать в виде вг м„лъ их~ ез ез Введя обозначение )сг ез (13. 35) Ниже рассмотрены точное и приближенное решения этого уравнения. 8 13,7. Точное решение уравнения продольно- поперечного изгиба стержня.
Метод начальных параметров При решении задач изгиба стержней с использованием метода начальных параметров (8 9.4) оказывается более удобным интегрировать уравнение четвертого порядка. Изгибающие моменты М„и поперечные силы Д„, вызванные одной только поперечной нагрузкой !7, определяются для недеформированного состояния стержня. Поэтому для них справедливы известные дифференциальные соотношения вм„во„ "=О.; — "= — ч ах ах (13.37) Заметим, что для определения действительных значений поперечных сил Д с учетом деформаций стержня необходимо внешние продольные и поперечные нагрузки, приложенные по одну сторону от рассматриваемого сечения, спроектировать на нормаль к изогнутой оси стержня. Однако, поперечные силы в гибких стержнях невелики, поэтому нет необходимости их вычислять. Продифференцировав два раза уравнение (13.36) с учетом соотношений (13.37), получим дифференциальное уравнение четвертого порядка ~4 вг +1сг ахг ЕЗ (13.38) перепишем уравнение (13.'34) в окончательном виде иге —,+1сго= — — — ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
