2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 47
Текст из файла (страница 47)
l„ Заметим, что формула (14.14) по своей структуре аналогична формуле (7.14) для нормальных напряжений при изгибе, а выражение (14.13) — дифференциальной зависимости между изгибающим моментом и прогибом (7.16). Чтобы воспользоваться формулой (14.14) нужно вычислить секториальные координаты ез точек сечения, установить закон изменения углов закручивания 1Р(х) по длине стержня и с помощью (14.13) получить выражение для бимомента. 8 14.3. Определение секториальных касательных напряжений Секториальные касательные напряжения т„, возникающие в поперечных сечениях тонкостенного стержня при стесненном кручении, можно определить из уравнения равновесия бесконечно малого элемента стержня абси' (рис.
14.8, а, б) аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы Д. И. Журавского (7.32) для касательных напряжений при изгибе балки. На рис. 14.8, а показаны секториальные нормальные и касательные напряжения, действующие на гранях выделенного элемента, а на рис. 14.8,б — равнодействующие этих напряжений, которые с учетом (14.14) равны х= гт„бГ= — вИе= —" (14.15) В этих формулах Ь вЂ” толщина стенки профиля; Я'„" — секториальный статический момент отсеченной площади Г„, сечения (она заштрихована на рис.
14.8, б) В'„"= 11 оэНЕ. б+Йб б) уг8 М и+ г(й Ги, дт Рггс. 14.В Подставив соотношения (14.15) в уравнение равновесия гХ=йИ вЂ” йТ= =О, получим т„= — — ". (14.17) 8 с/х |„ь С другой стороны, касательные напряжения т приводятся к изгибнокрутящему моменту М„, который, как видно из рис. 14.9, равен ЛВ1 ~ Рис. 14.9 йх 1„~ Преобразуя интеграл, входящий в это выражение, с учетом (14.16) можно показать, что выполняется равенство (~отс . 1 й С учетом этого получим дифференциальную зависимость между изгибно-крутяшим моментом и бимоментом М„= — = — Ей„ (14.18) а, 01 ~ 3 В результате этого формула (14.17) для секториальных касательных напряжений примет следующий окончательный вид: (14.19) ~„б Легко заметить, что формула (14.19) по своей структуре аналогична формуле Д.
И. Журавского (7.32) для касательных напряжений при изгибе, а выражение (14.18) — дифференциальной зависимости (7.6) между изгибающим моментом и поперечной силой. 8 14.4. Секториальные координаты и секториальные геометрические характеристики сечений В предыдущих двух параграфах были получены формулы (14.14) и (14.19) для секториальных нормальных и касательных напряжений, основные дифференциальные зависимости стесненного кручения (14.13), (14.18), а также другие соотношения, в которые входят секториальные координаты св точек средней линии сечения. Для того, чтобы можно было использовать эти соотношения, необходимо полюс А и начальную точку К, положениями которых определяются величины а, выбрать так, чтобы выполнялись равенства (14,2).
Подставив в них выражение (14.14), получим Я„,=ЦсвйГ=О; г (14.20) Ю„,=ЦоэгйГ=О; У„у=осоуйГ=О. В этих равенствах введены обозначения о "и л „й, для секториальных геометрических характеристик сечения, которые соответственно называются секториальным статическим моментом и секториальными центробежными моментами инерции сечения.
Эти величины имеют размерности соответственно ем~ и см'. Числовые значения Я, У„„й„„для заданного сечения зависят от выбора положений полюса А и начальной точки К. Точка, относительно которой равны нулю секториальные центробежные моменты инерции й„, и ы(ч,в) л у называется Главным 1( ) полюсом. Пусть Оу и Ог — главные центральные оси поперечного сечения. Для ~Цк, 1и) определения координат у„и г„главного полюса (в дальнейшем будем обозна- 1.(нг,г ~гни Аю) /Й чать его буквой А) введем М произвольный полюс Ао и произвольную начальную Рис. 14.10 точку Ко (рис. 14.10).
Обозначим через а' и озо секториальные координаты произвольной точки М на средней линии сечения, определяемые соответственно с использованием точек А, Ко и Ао, Ко. Вычислим величину в' — ао, равную разности удвоенных площадей криволинейных треугольников АКоМ и АоКоМ, которая равна разности удвоенных площадей соответствующих прямолинейных треугольников, поскольку заштрихованный на рис. 14.10 сегмент входит в обе эти площади. Используя выражение для площади треугольника через координаты его вершин, получим Ул Ук, гл гк, Ул, Ук, гл, гк, Сзо =- ук,— у гк,— г 1 ук,— у гк.— г Если два определителя второго порядка имеют одну общую строку (в данном случае нижнюю), то при их вычитании 303 достаточно вычесть соответствующие элементы другой строки.
В результате получим в' — ив= ' ' =а,(гк — г) — а,(ук — у)=а,у — п,г+С УА — УА гл — г, ук,— у гк,— г Здесь и,=ул — у„,, п,=гА — гл,— проекции расстояния между точками А и Аа на оси Оу и Ог; С=а,гк — а,у»,— постоянная величина, так как положения точек А, Аьа и Ка фиксированы. С учетом этого для в' получаем выражение и = о)а + й у — сс г+ С. Подставим (14.21) во вторую формулу (14.20) Оса'гс(Г=оиагс(à — и,ЦггаГ+п, Цугс(Г+ СЦгАГ=О, Так как оси Оу и Ог являются главными центральными осями, то два последних слагаемых в правой части этого равенства равны нулю.
Учитывая это, получим формулу для определения а У () оогау е а =УА УА = х ь 1 1 (14.22) У У Аналогично, подставив (14.21) в третью формулу (14.20), получим выражение для а, д о~ьулу -.У ц — гА гА о г у (14.23) Формулы (14.22) и (14.23) позволяют определить положение главного полюса при произвольном выборе начальной точки Ка, так как в эти формулы не входят ее координаты у„и гк,. Из вывода формул (14.22), (14.23) следует, что главный полюс является центром кручения (рис.
14.6) и, следовательно, совпадает с центром изгиба. Понятие о центре изгиба и его свойства рассмотрены в ~ 7.10. Напомним, что у симметричных сечений центр изгиба лежит на оси симметрии, а у сечений в виде уголка и тавра — на пересечении средних линий отдельных элементов (рис. 7.54). Это можно доказать с помощью формул (14.22), (14.23).
Напомним также, что закручивание стержня при поперечном изгибе не будет происходить при условии, что линии действия внешних сил проходят через центр л изгиба. После того, как найдено положение главного полюса А (рис. 14.11) можно определить положение начальной точки К так, чтобы удовлетворялось первое равенство (14.20). Для Рис. 14.11 этого выберем вспомогательную точку Ка и 11 со'ле Я„ озк= — = —.. Г Р' (!4.25) Вычислив по формуле (14.25) величины оэк (таких точек в сечении может быть несколько), можно по формуле (14.24) определить истинные значения секториальных координат оз, если известны соответствующие величины, найденные при произвольной точке отсчета Кь.
Точки, в которых а=О, называются нулевыми секториальными точками, а ближайшая из них к полюсу — главной нулевой секториальной точкой. Это и есть точка К. Если сечение имеет ось симметрии, то точка К расположена на пересечении этой оси со средней линией сечения, так как в этом случае о'„=О. При наличии двух осей симметрии точка К находится на их пересечении, то есть совпадает с центром тяжести сечения. Эпюра со, построенная с использованием главного полюса А и главной нулевой секториальной точки К, называется энюрой главных секториальных координат.
а) ь) аа 1аа Рис. ! 4.1А обозначим (как и при определении положения главного полюса А) через со' и сок соответственно координаты произвольной точки М и искомой точки К, определяемые с использованием точек А и Ка. Тогда секториальная координата а точки М, вычисляемая с использованием искомой точки К, равна разности удвоенных площадей секторов АКаМ и АКаК со=о)' — 0)~. (14.24) Подставляя это выражение в первую формулу (14.20) и учитывая, что вк — постоянная величина, равная удвоенной площади заштрихованного сектора, получим П~ 7Г=П~ аà — вЯАГ=О. е Отсюда получим б В заключение отметим, что о) 1о эпюра секториальных координат характеризует депланацию сечения, что следует из (14.8), о Пример 14.1. Рассмотрим Я сечение стержня, имеющее форму швеллера (рис.
14.12, а). Выберем точки Ао и Ко на + пересечении оси симметрии Ог + со средней линией сечения. ~о Вычислим значения сектори- альных координат во в различРис. 14.13 ных точках средней линии сече- ния. При движении конца луча от точки Ко к точке Р луч не описывает площади. Поэтому на отрезке АоР секториальные координаты равны нулю. При дальнейшем движении от точки Р к точке Д луч опишет треугольник АоРД (рис. 14.12, б), удвоенная площадь которого равна секториальной координате точки Д:во(Д)= — !О 10= — 100 см'.
Знак секториальной координаты отрицательный, поскольку луч поворачивается по ходу часовой стрелки. Аналогично можно получить во(Рс)=0 и во(э)= 100 см'. На рис. 14.12,« показана эпюра секториальных координат во. Для вычисления секториальных центробежных моментов инерции 1 „, и 1,,г, входящих в (14.22), (14.23), построим эпюры «координат» у и г (рис. 14.13). Для дальнейших вычислений преобразуем У„,, и 1„„к виду .1„,, = Ц вогЫГ= б (вог~1х,,Ув,г =1) воу«Р= б) воуйз. Здесь с1Г=Ы3 — элемент площади сечения, где ~6 — элемент длины средней линии сечения, б — толщина профиля.
Интегралы, входящие в эти выражения, можно вычислить по правилу А. К. Верещагина. Если толщины б; отдельных элементов сечения различны, то вычисления следует проводить отдельно для каждого участка, имеющего постоянную толщину, а результаты суммировать. Используя эпюры, показанные на рис. 14.12, в и рис. 14.13, получим У„,„=б) воуо!1=2.1.— 100 10 10=10" см'; 1, =б)вогс!3=0. Последний интеграл равен нулю, поскольку эпюра г симметрична относительно оси Ог, а эпюра во — кососимметрична. Из (14.22) следует, что о1,=0, и главный полюс А лежит на оси симметрии Ог. Входящие в формулы (14.22) и (14.23) моменты инерции сечения также могут быть вычислены по правилу А.
К. Верещагина путем «перемножения» эпюр координат у и г, например, а Р 0 У,=б)угсЬ=2.1 10 10 10+ +- 10 10 — 10 =2667 см4. 1 2 2 3 Рис. 14.14 Аналогично можно вычислить 1,=4!7 см По формуле (14.23) находим 10000 сс,= — = — 3,75 см. 2667 Положение главного полюса показано на рис. 14.14, а. Учитывая, что главная нулевая секториальная точка К лежит на пересечении оси симметрии со средней линией сечения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
