2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 48
Текст из файла (страница 48)
14.14, а), построим эпюру главных секториальных координат в. Для этого вычислим последовательно значения в в характерных точках: в(К)=0 (начальное положение луча); в (Р) = 2Рх,ек = 3,75 . 10 = 37,5 см ', в(ф = в(Р) — 2Го„ео — — 37,5— — 10 10= — 62,5 см'; в(Рс)= — 37,5 см', в(о)=62,5 смг. Используя эпюру в, вычислим с помощью правила А.
К. Верец1агина секториальный момент инерции сечения 1„=б) вг,6 2.1. !2,37 5г+2( 62 5)г+2,37 5.( 62 5Д+ +- 10.37,5 — 37,5 =29167 смо. 1 2 2 3 й 14.5. Определение углов закручивания и внутренних усилий Для вывода дифференциального уравнения, позволяющего определить закон изменения углов закручивания по длине стержня, используем равенство (14.1). Продифференцировав его по х, получим ЫМ„4М„ — *+ —" = ггг.
4х 4х (14.26) 6.7, И Е/ (! 4.28) приведем последнее уравнение к виду — — и (14.29) Нх~ Нх ЕУ„ 'Общее решение этого уравнения можно представить в виде сР = С1+ Сах+ Сэ вЬ пх+ Слс)1пх+ сР*. (14.30) Слагаемое ср* представляет собой частное решение неоднородного уравнения (14.29), зависящее от функции т (.х), Постоянные Сс, Сг, С, и Сл определяются из статических и кинематических граничных условий на концах стержня. Рассмотрим наиболее характерные из них (рис.
14.16). В жесткой заделке (рис. 14.16, а) должны выполняться кинематические условия р=о; "— "=о. (14.31) вх Рис. 14.16 вм„ Здесь т= " †распределенн скру. Нх чиваю1цая нагрузка. Эту дифференциальную зависи- мость легко получить из уравнения ((( мх+ссслх равновесия бесконечно малого элемен- та стержня (рис. 14.15). ~Их ~ Момент свободно1о кручения М, изгибно-крутящий момент М„и Рис.
14.15 бимомент В выражаются через произ- водные от угла закручивания с помощью равенств (8.60), (14.18), (14.13): Их ™ Нх Их Подставив первые два равенства в (14.26), получим дифференциальное уравнение углов закручивания Нх хсх Вводя обозначение Второе равенство (14.31) обусловлено тем, что в жесткой заделке отсутствуют перемещения и, которые согласно (14.8) Ив пропорциональны Их На конце стержня, закрепленном от закручивания (рис. 14.16, б), при отсутствии связей, препятствующих свободной депланации, должны выполняться условия р=о; в=о. (14.
32) Второе равенство (14.32) обусловлено отсутствием на торце нормальных напряжений о„„с которыми бимомент связан выражением (14.10). На свободном конце стержня, нагруженном внешним скручивающим моментом М (рис. 14.16,в), М„= М„+ М„= М; В = О. В качестве примера рассмотрим внецентренное растяжение тонкостенного стержня силой Р, приложенной к верхнему концу стержня в точке, имеющей сек- // ториальную координату шр (рис. 14.17). Нижний конец стерж- Рис.
14.17 ня заделан. В этом случае согласно выражению (14.10) верхний торец стержня оказывается нагруженным внешним бимоментом В=Я о„гв~Ж Во всех точках торцевого сечения напряжения а равны нулю за исключением малой области ЛГ в окрестности точки приложения силы Р (рис. 14.17, 6). Вследствие малости ЛГ можно считать, что напряжения о„распределены по этой площадке равномерно о„= Р1'ЛР=сопв1.
Тогда получим В= Ц о„гарса= о„вр Ц с7Р= Рслр. лр лр Таким образом, на верхнем торце стержня граничные условия имеют вид х = 1~ Мх+ Ми = 01 В = Р гвр а на нижнем заделанном торце х=о, ср=о; -~=0. цх Рис. 14.18 л и, и, в о = — + — ' г+ — *у+ — со. (14. 34) бкб 6) а) 4 6.7 бб. ~кг Подставляя в левые части этих равенств выражения (14.27), (14.30) и учитывая, что бр*=0 при отсутствии скручивающей нагрузки т, получим систему четырех алгебраических уравнений относительно постоянных С„Сг, Сз, С4.
Решая ее, найдем Рс>р Сб= — С4 — б 1 Сг — Сз=0. Е7 абс1з а/ Используя теперь (14.27), можно из (14.30) найти все внутренние усилия. Так, например, бимомент будет изменяться по длине стержня по закону В = Р бар . (14.33) сЬ а1 Для вычисления нормальных напряжений в произвольном сечении следует воспользоваться формулой (14.16), к которой нужно добавить слагаемые, обусловленные обычными внутренними усилиями, возникающими при внецентренном нагружении стержня Пример 14.2. Вычислим нормальные напряжения в опасном сечении внецентренно растянутого стержня (рис.
14.18), поперечное сечение которого показано на рис. 14.12, а. Основные геометрические характеристики сечения определены в примере 14.1. Площадь поперечного сечения Г=40 см'. Сила Р приложена в точке 5 (рис. 14.12,а), декартовы координаты которой равны ур=10 см, гр=7,5 см и секториальная координата в соответствии с рис. 14.!4,б равна ар=62,5 см'.
Входящие в формулу (14.34) внутренние усилия Л~, М„М, во всех сечениях стержня одинаковы и равны 1т'=Р=50 кН; Мр=Ргр=3,75 кНм; М,=Рур=5 кНм. Эпюры напряжений, соответствующие трем первым слагаемым в формуле (14.34), показаны на рис. 14.19,а,б,в. Вычислим напряжения о„в сечении, близком к верхнему торцу стержня. В этом сечении бимомент в соответствии с (14.33) при х =1 имеет наибольшее значение и равен В =Р сэр = 3125 кНсм'.
Подставляя это значение в четвертое слагаемое формулы (14.34), найдем напряжения в характерных точках сечения. Эпюра о„показана на рис. 14.19,г. Отметим, что напряжения о„достаточно велики и их необходимо учитывать при расчете стержня на прочность. ГЛАВА 15 ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК й 15.1. Понятие о динамической нагрузке В предыдущих разделах был рассмотрен расчет стержней и стержневых систем на действие статических нагрузок, то есть постоянных во времени или таких, которые в процессе нагружения конструкции изменяются настолько медленно, что возникающие при этом силы инерции незначительны и ими можно пренебречь.
Быстро изменяющаяся нагрузка вызывает перемещения элементов конструкции с ускорениями, в результате чего возникают инерционные силы, которые необходимо учитывать в расчете. Такие нагрузки, а также вызываемые ими перемещения, деформации и напряжения, называются динамическими. К динамическим относятся вибрационные и ударные нагрузки, создаваемые различными двигателями, станками, механизмами, а также нагрузки, возникающие при движении тела с ускорением.
При расчете конструкций на действие динамических нагрузок используется известный из курса теоретической механики принцип Дала ибера, согласно которому движущуюся с ускорениями систему в каждый момент времени можно рассматривать как находящуюся в состоянии покоя, если к внешним силам, действующим на систему, добавить силы инерции. Силы инерции Р„относятся к объемным силам, так как они непрерывно распределены по всему объему 1' тела. Величина ИР„элементарной силы инерции, действующей на бесконечно малый элемент тела, равна произведению его массы с1т на ускорение а и направлена в сторону, противоположную ускорению: (15.1) йР„=йла=- — а=усЛ'-, 8 8 где АД и с1$' — вес и объем бесконечно малого элемента тела, у — объемный вес материала, е — ускорение силы тяжести. 312 Сила инерции, действующая на единицу объема тела, равна йР„уа Л' (1 5.2) та с11' та Р4х д ц„1х)= — — = — =-а, Ых 8 Их (15.3) где д=ур — вес единицы длины стержня.
При решении многих задач сопротивления материалов динамические перемещения и„, деформации а, и напряжения о„ возникающие от действия динамической нагрузки Р„могут быть найдены путем умножения соответствующих статических перемещений и„деформаций а, и напряжений о„возникающих от действия статической нагрузки, на так называемый динамический коэффициент ц и, = 11 и„с, = ца„о, = 1хо„Р, = у. Р,.
(15.4) Величина динамического коэффициента зависит от вида нагрузки, геометрических размеров, массы, материала сооружения и ряда других факторов. й 15.2. Напряжения в стержне при его движении с ускорением Рассмотрим определение динамических усилий и напряжений, возникающих в балке и тросе при подъеме балки с ускорением 1рис. 15.1). Возникающие при этом силы инерции вызывают дополнительные деформации изгиба балки и растяжения троса.
Если пренебречь влиянием этих деформаций на величины ускорений различных частиц балки и троса, то можно принять, что все точки балки и троса двигаются с одинаковым ускорением. До начала подъема в сечении А балки возникает наибольший по величине статический изгибающий момент При расчете стержней удобно ввести распределенную по длине стержня инерционную нагрузку. Объем с1Г элемента стержня, имеющего площадь поперечного сечения Р(х) и длину Ых, равен сах.
Учитывая формулу (15.2), найдем а в сечении В троса — наибольшее статическое растягивающее усилие (весом строповочного устройства пренебрегаем, так как Ь, «Ь) Х,=д,1+д2Ь, где а, и д2 — веса единиц длин балки и троса. З1З вд Ч!= — п1 Чк= — и К Я Р„= Р- К и Чсд=Чс+Чсд= 1+ — (Ч~= Ч,д — — рЧ,. (15. 5) м„м, ли х,. о„= — "=р — '; о,= — д=р — ', И'' ' Е Р' в) Рис. 15.2 315 зы При подъеме с ускорением а возникают равномерно распределенные по длине балки и троса инерционные силы Динамические нагрузки Ч,„и Ч,„' 'равны сумме статических и инерционных нагрузок Рис. 15.1 Таким образом, в рассматриваемом случае величина динамического коэффициента определяется выражением р=1+-. х С учетом этого наибольшее значение динамического изгибающего момента М, и динамического усилия в тросе могут быть найдены по формулам М, = рМ.
= р,'; Юд = р Ю, = р 1Ч ~ ~+ Чзл ) д,1д Соответствующие наибольшие динамические напряжения в балке и тросе равны где И' — момент сопротивления поперечного сечения балки; Р†площа поперечного сечения троса. При больших скоростях подъема, которые могут быть достигнуты, как правило, благодаря большим ускорениям (например, в скоростных лифтах), динамические усилия и напряжения могут значительно превосходить по величине их статические значения. В 15.3.
Ударное действие нагрузки Под ударной понимается нагрузка, которая достигает значительной величины за весьма короткий промежуток времени. Например, при забивке сваи в грунт ударяющее тело падает с некоторой высоты на конец сваи и почти мгновенно останавливается, вызывая удар. Скорость ударяющего тела за время, измеряемое малыми долями секунды, падает до нуля.
Следовательно, ударяющему телу со стороны ударяемого тела передается очень большое ускорение, направленное в сторону, обратную движению. Возникающее между телами динамическое давление Р„равно силе инерции ударяющего тела где Р— вес ударяющего тела, а — ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
