2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(13.36) йх ез 276 277 (13.40) и~о сс'~о о + ~р4 цг сгЛ2' (13.41) (13.43) — 2 2 (Сз соз 'о+ С4 81П 2) (13.44) — 1-сов (с — пз Д ~4 г л~ (13.49) Мо С = —; Л' 12о Сг 1сЛс + 11СР СОЯ (à — Пг) с42З сзо сро 12о С4— - — — С, = — + —. /с 1сгг' АМ зп1 (1 пз) лс О4 278 279 Введем безразмерную переменную Р, по формуле Р =1СХ. (13.39) Производные по переменным х и г, связаны между собой соотношением С учетом этого уравнение (13.38) после деления всех членов на со~ и преобразования правой части с помощью соотногпения (13.35) примет вид Общее решение соответствующего однородного уравнения при д = 0 имеет вид и (Р ) = Сг + Сг со + Сз сов го + С4 81п Р . (13.42) Условимся в дальнейшем штрихами наверху обозначать производные от искомой функции по переменной г,.
Составим выражения для угла поворота ср, полного изгибающего момента М и поперечной силы О„, вызванной действием поперечной нагрузки. Учитывая формулы (13.33), (13.35), (13.37), (13.39) и (13.40), получим ср(~) = — =ки'=)с(С, — Сз яп с+ Сс сов ~); ао Ых ог М(г,) = — Ей —,= —.ЕЛ~ио= — асио= Д„(Ц)= "=ИМ'„=Е(М вЂ” Яи)'=)с( — Юи" — Жи)'= = — 1сЛ~(и"'+ и') = — гсЛ~Сг. (13.45) Полагая в выражениях (13.42) — (13.45) Р,=О и вводя обозначения и(0) = ио, ср(0) = сро, М(0) = Мо, Д„(О) = До, выразим произвольные постоянные через начальные параметры: Мо, Сг=ио Сз=ио— (13,46) Подставляя найденные значения произвольных постоянных в выражение (13.42) и группируя слагаемые, получим решение однородного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня в форме метода начальных параметров и(г)= ио+ — 'яп Р,— — '(1 — сов г) — — '(à — яп г).
(13.47) lс Лс 2СЛ' Множители при начальных параметрах в этом выражении можно назвать функциями влияния. Они характеризуют влияние начальных параметров на величины прогибов стержня. Частное решение ио неоднород- Ф ного уравнения (13.41) при действии В на участке а < г, < (3 стержня распределенной нагрузки (рис. 13.13) можно Ф найти методом, изложенным в 8 9.4 и* = ~ ( (Р— 1) — азп (Р, — 1)), й. д(1) 2 2ЛС Рис.
! 3.! 3 В случае равномерно распределенной нагрузки у=сопя после интегрирования этого выражения будем иметь и"= — ~1 — сов(Г,-п)- Д (о а)г ( ~л~ 2 (13.48) Используя понятие функций влияния, можно написать соответствующие слагаемые в выражении для прогиба, учитывающие сосредоточенные воздействия в сечениях с = осс (рис.
13.14). В результате с учетом соотношений (13.43)— (13.48) получим следующие выражения для прогибов, углов поворота, изгибающих моментов н поперечных сил в произвольном сечении стержня: и (Р) = ио+ — 'яп Р— — '(1 — сов ~) — — '(~ — яп ~) + 221 1сЛс О ) ЛО2 Мг +Ли + — ззп(с,— схг) — — (1 — сов(~ — осз 1с Лс (71 З Г' О4 — ( (г, — ио) — 31п (с, — сго)) ) г~гл. ~ — + ~1 — сов (г, — осв)- (с — аг)~~1 о (с — ао)'~1 2 (62 09 ср (г,) = сро сок Р— — ' яп с, — — '(1 — сов г,) лс и Π— — (1 — сов(с — осо)) — — (яп(с,— осз)— Р Лс 1сЛС З (13.50) + Р + — яп (с, — с!4) » (13.53) (13. 51) (13. 52) хх Ли =у' яп —.
Рис. 13Л4 Учитывая, что выражение 28! — (~ — ос,)( + — "~ ~яп(Р, — сс,) — (Ц вЂ” сс6)) б М(~) = <рс — яп с + Мс со5 г, + — яп г, л! 06 +Лср — 5!п(г,— сс5) +Мсоа(с — !хз) ЗЗ 4 — — (1 — соя(Ц вЂ” п5)) + —,(1 — сох(Ц вЂ” гх6)3 0п(1) 00 + ~ » (1 !25) +»(1 ~х6) О1 — Г43 6 (2) В этих формулах с!5=»а,— безразмерные координаты границ участков. Заметим, что выражение для поперечной силы Д„вызванной поперечной нагрузкой, составлено для недеформированного состояния стержня.
Поэтому оно не зависит от продольной силы Л! и не отличается от выражения для поперечной силы при изгибе балки. Неизвестные начальные паМх раметры, скачки прогиба Лп и угла поворота Лф, входящие в выражения (13.49) — (13.52), К„ Н определяются из граничных 8 условий. Рассмотрим пример постановки граничных условий Рис. 13.15 для консольного стержня (рис. 13.15). В этом случае известны три начальных параметра: пи = !ри = О, 06 = Ах = Р. Неизвестный изгибающий момент Мс = — М„определяется из статического граничного условия на правом свободном конце стержня: Р, = И, М = О. 9 13.8. Приближенное решение уравнения продольно-поперечного изгиба стержня Рассмотрим часто применяемый на практике приближенный метод расчета сжато-изогнутых стержней. Подставив первое из равенств (13.33) в левую часть уравнения (13.34), получим 6!~ и Н~ (Ли) М Л!с 2 Их с!х Е1 Е1 При действии одной только поперечной нагрузки справедливо уравнение х5 '~Ы Е3 С учетом этого уравнение (13.53) примет вид !'(Ес) е!с (13.54) Их' Б' При решении этого уравнения можно задаться некоторым приближенным выражением для дополнительно~о прогиба Ли, удовлетворяющим граничным условиям.
Так, например, для шарнирно опертого по концам стержня (рис. 13.12) при действии поперечной нагрузки, направленной в одну сторону, можно принять При этом будут удовлетворяться условия равенства нулю прогибов на концах стержня х=О и х=1. Дифференцируя это выражение, найдем 6!~(ли) х2 .
хх л' ис — = — у — яп — = — — Ли = — — (и — и„). ~т2 С учетом этого из уравнения (13.54) получим Л еъ (~~ ~~п) 1и и представляет собой критическую силу Эйлера для шарнирно опертого по концам стержня, получим выражение для полного прогиба и= (13.55) е! ! —— Лl, Эта формула часто используется и при других способах закрепления концов стержня. При этом Ф, вычисляется по общей формуле Эйлера (13.12) независимо от величины гибкости 7. стержня.
Момент инерции в этой формуле принимается относительно той главной оси инерции поперечного сечения стержня, которая перпендикулярна к плоскости действия поперечной нагрузки. Прогибы о„стержня от действия поперечной нагрузки могут быть найдены любым известным методом (гл. 9).
Имея выражение полного прогиба, можно определить дополнительный изгибающий момент АМ=%о и полный изгибающий момент в произвольном сечении стержня М= М„+ Юо. Как видно из формулы (13.55), полный прогиб о пропорционален прогибу о„, который линейно зависит от поперечных нагрузок. Полный прогиб нелинейно зависит от продольной силы /У.
Отсюда следует„что при продольно-поперечном изгибе принцип независимости действия сил справедлив только в отношении поперечных нагрузок. Из формулы (13.55) видно, что при приближении величины силы Л/ к значению Ж, прогиб неограниченно возрастает, и приближенное дифференциальное уравнение (13.34) становится непригодным. В этом случае необходимо исходить из нелинейного дифференциального уравнения /2 лх2 Очевидно, что все сказанное относится и к формулам, полученным в 8 13.7.
Решения, основанные на приближенном уравнении (13.34), имеют удовлетворительную точность при /У<0,75 Ю,. Обычно в реальных конструкциях сжимающая сила не превышает величины (0,5 —:0,6) Ф,. В 13.9. Расчет сжато-изогнутык стержней на прочность и устойчивость Сжато-изогнутые стержни рассчитываются на устойчивость в двух главных плоскостях инерции по формуле (13.32) и на прочность при продольно-поперечном изгибе. Величина наибольшего сжимающего напряжения в опасном сечении стержня определяется по формуле Воспользовав/лись приближенным методом расчета, рассмотренным в 9 13.8, эту формулу можно переписать в виде л м„нь. о= — + — "+ 51" Увеличим все нагрузки, действующие на стержень, в й раз. Тогда получим /с и /см„ /с/г /си„ о= — + — "+ (13.56) и, '—,+ме — — —, —,+~+о,— +о,=0.
(13. 57) Этим уравнением можно воспользоваться при условии применимости для рассматриваемого стержня приближенного метода расчета 6 13.8). Нетрудно показать, что коэффициент запаса по напряжениям, равный отношению предела текучести к наибольшим напряжениям п,=о,/о, больше коэффициента запаса по нагрузкам и,. По этой причине выполнение условия прочности по напряжениям и м о= — + — ~у,Я, Г н' в основу которого положен коэффициент запаса по напряжениям, не гарантирует достаточного запаса прочности сжато- изогнутого стержня по нагрузкам.
Проверка прочности сжато-изогнутого стержня из пластичного материала может быть сведена к требованию, чтобы наиболыпие сжимающие напряжения от действия заданных звз Как видно из этой формулы, первые два слагаемых увеличились в /с раз, а третье — более чем в /сз раз. Таким образом, существенной особенностью продольно-поперечного изгиба является то, что напряжения в поперечных сечениях стержня нелинейно зависят от внешних нагрузок и при увеличении нагрузок возрастают быстрее последних. Поэтому реальным коэффициентом запаса сжато-изогнутого стержня является коэффициент запаса по нагрузкам и, который показывает, во сколько раз надо увеличить все заданные нормативные нагрузки, чтобы наибольшее сжимающее напряжение достигло опасной величины. Для пластичного материала за опасное принимается напряжение, равное пределу текучести о,.
Положив в формуле (13.56) о =о„ /с=п, и допуская, что закон Гука справедлив до предела текучести, получим квадратное уравнение для определения коэффициента запаса по нагрузкам нормативных нагрузок Ю„, Р„, умноженных на заданну!о величину коэффициента запаса по нагрузкам л, не превышали предел текучести материала !!! М а= — + — <а,. е и (13.58) Заметим, что в СНиП дана специальная методика расчета внецентренно сжатых и сжато-изогнутых стержней на прочность и устойчивость, которую мы здесь не приводим. Рассмотрим примеры расчета сжато-изогнутых стержней точным и приближенным методами. Пример 13.4. Гибкая стальная стойка двутаврового сечения 120 (Р=26,8 см', У,=!15 смл, е з И',=23,! см ) внецентренно сжата силой Ю, приложенной с эксцентриситетом е в плоскости Оху (рис.
13.16). Предел текучести стали а,=240 МПа, допускаемое напряжение [а) = 160 МПа. Определим прогиб 1' на верхнем конце стойки, изгибающий момент в заделке и величину наибольших 0 сжимающих напряжений в зависимости от величин сжимающей силы Ж и эксцентриситета е. Для решения задачи воспользуемся методом ) 0 начальных параметров. Примем начало координат в заделке. Тогда при неизменном вертикальном направлении силы Х будут равны нулю начальный пРогиб по, Угол повоРота соо и попеРечнаЯ сила До, Величина изгибающего момента Мо — — — )л'(е+ ~') в заделке неизвестна, так как неизвестен прогиб Ряс. 1З.16 ~ конца стойки. Величину Мо определим из выражения (13.5!) для изгибающего момента, положив в нем по = с!зо = До = 0 и использовав статическое граничное условие на верхнем конце стержня х=l, !с=И), М= — !'з!е, из которого найдем че Мо= соз И 5~о е(1 — соз/сх) о = — — ' (1 — сох lсх) = з! сох И М = М, сок /сх =— Жссоз Ьх созе 204 Подставив найденное значение Мо в формулы (13.49) и (13.51), получим выражения для прогиба и изгибающего момента в произвольном сечении стержня Наибольшие значения прогиба и изгибающего момента равны е(1 — соз И) соз 1с! (13.
59) (13.60) М=— соз 1с! Наибольшее сжимающее напряжение определяется по формуле для нормальных напряжений при внецентренном сжатии 6 12.3): а = — + — = — ~1+ з' М Ю/ Ес Е И', Е~, Исозл! (13.61) Для исследования зависимости прогибов, изгибающих моментов и наибольших напряжений в стойке от величины силы Ю преобразуем безразмерную величину И следующим образом: з,! ЕУ, з! Е1„М„, Л'„„Е1,(21) 2з,! Х„, где щеи силы может вызвать весьма существенное увеличение напряжений в стойке по сравнению с напряжениями центрального сжатия (случай е = О). Из верхнего графика (е = 8 мм) видно, что если во внецентренно сжатом стержне напряжение равно допускаемому (а"! =160 МПа, 0 50 400112 !49 кв Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
