2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 42
Текст из файла (страница 42)
13.7 стержней в пределах участка СС' длиной 1а изгибается ках шарнирно опертый стержень по полуволне синусоиды. Консольный стержень можно рассматривать как половину шарнирно опертого по концам стержня длиной Iа — -21. Поделив критическую силу на площадь поперечного сечения стержня, получим критическое напряжение Учитывая, что величина У~Р равна квадрату радиуса инерции поперечного сечения 1' и вводя обозначение (13.14) представим формулу для критического напряжения в виде о,„= ыр (13.15) Величина Х называется гибкостью стержня.
Если стержень имеет одинаковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях инерции, то при определении критической силы и критического напряжения необходимо брать наименьшие значения момента инерции и радиуса инерции поперечного сечения. В этом случае стержень при потере устойчивости изгибается в главной плоскости, проходящей через ось наиболыпего момента инерции. Стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и„следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение. Более подробно этот вопрос рассмотрен в ч 13.5.
В 13.4. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала При выводе формулы Эйлера предполагалось, что напряжения центрального сжатия, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы о„,=р 1Р, не превышают предел пропорциональности материала о.„„. Если это условие не выполняется, то при определении критической силы нельзя пользоваться законом Гука, в предположении справедливости которого получено исходное дифференциальное уравнение (13.2). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера в общем случае имеет вид 7Е (13.16) через Х, значение гибкости, при котором Обозначим о„„= о„„ I и „! / ~(ха! / (ь= 0,6 (13.17) (13.18) Р .1З7 266 ?67 ~4=Я,~ сч ,си Х1=п ~/ а„, Тогда условие (13.16) применимости представить в виде 7 >Х,.
формулы Эйлера можно Величина ).„определяемая по формуле (13.17), называется предельной гибкостью. Стержни, для кот орых выполняется условие (13.18), называются стержнями большой гибкости. Как видно из формулы (13.17), предельная гибкость зависит от упругих свойств материала: модуля упругости и предела пропорциональности.
Так как для стали Е=2,1 10' МПа, то ), зависит от величины о„„, то есть от марки стали. Например, у некоторых распространенных в строительных конструкциях сталей марки ВСтЗ величина о„„составляет 200 —:210 МПа, и по формуле (13.17) получается 7., =100. Таким образом, для сталей указанных марок условием применимости формулы Эйлера можно считать ). > 100. (13.19) Величина предельной гибкости для дерева может быть принята ), =70; для чугуна ).,=80. Теоретическое определение критических нагрузок при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала, достаточно сложно. В то же время имеется большое число экспериментальных исследований устойчивости стержней, работающих за пределом пропорциональности материала. Эти исследования показали, что при о„,<о.„„экспериментальные и теоретические значения критических сил практически совпадают.
При о„, > о„„наблюдается значительное расхождение между эксперйментальными и теоретическими значениями критических сил, вычисленных по формуле Эйлера. При этом формула Эйлера всегда дает завышенное значение критической силы. На основании опытных данных различными авторами были предложены эмпирические формулы для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности материала. Наиболее простой является линейная зависимоеа2ь, предложенная в начале ХХ века немецким ученым Л.
Тетмайером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским; о„,=а — Ь), (13.20) где а и Ь вЂ” эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности о„„=200 МПа и пределом текучести о,=240 МПа получено а=310 МПа, Ь=1,14 МПа.
Для некоторых материалов при к<7.2 используются нелинейные зависимости. Так, например, для дерева (сосна, ель, лиственница) при ).<70 используется параболическая зависимость (13.21) о„р= 33 — 26,4 Для чугуна при ) <80 о„, = 776 — 12) +0,053) '. (13.22) Формулой Ясинского (13.20) можно пользоваться при условии, что критические напряжения, вычисленные по этой формуле не превосходят предел гекучести о, для , <в 2Ь пластичного материала и предел прочности при сжатии о„ для хрупкого Рис.
13.8 материала. Обозначив в формуле (13.20) через ).2 то значение гибкости, при котором о„р=о, для пластичного или о„,=о,„. для хрупкого материала, можно записать условие при.иенимаети формулы Ясинского в виде (13.23) где )., определяется по формуле (13.17). Стержни, для которых выполняется условие (13.23), называются стержнями средней гибкости. С учетом приведенных выше значений о„а и Ь для стали марки ВСтЗ по формуле (13.20) получим )2=60, и условие (13.23) перепишется в виде 60<) <100.
(13.24) Стержни, у которых 7.<).2, называются стержнями малой гибкоса2ш Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при центральном сжатии. В таком случае для стержней малой гибкости из пластичного и хрупкого материалов следует соответственно принять (13.25) На рис. 13.8 изображен график зависимости критических напряжений от гибкости для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности о„„= 200 МПа и пределом текучести о;=240 МПа. При ).>100 график о.„,().) представляется гиперболой Эйлера АВ, при 60<к<100 — йрямой Ясинского ВС, при 0«<).<60 — горизонтальной прямой С12.
Для значений к<100 гипербола Эйлера изображена пунктирной линией. Из этого графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завыгпенные значения критических. напряжений. 269 (13.26) о= — <гр [сто. (13.31) 6 3.7) о, о„ и,= — '; п,= — "-. [оз [оз (13.28) Р о= — <гру Я, с (13. 32) (1з.зо) 270 27! 8 13.5. Практический расчет сжатых стержней ня устойчивость При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечениях становятся равными критическим. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости и, по отношению к критическим напряжениям, с помощью которого определяется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость Условие устойчивости по методу допускаемых напряжений для центрально сжатого стержня записывается в виде, аналогичном условию прочности о= — <[оД.
(13.27) Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько большим основного коэффициента запаса прочности, который для пластичных и хрупких материалов соответственно равен Это объясняется невозможностью точного учета случайных факторов, снижающих величину критической силы. К ним относятся некоторое неизбежное на практике внецентренное приложение сжимающей силы (случайные эксцентриситеты) и малая начальная кривизна стержня, связанные с условиями монтажа и технологией изготовления реальных конструкций.
Эти факторы в расчетах на прочность существенного значения не имеют. Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость можно принять равным некоторой доле от допускаемого напряжения прн центральном сжатии [о „3 = ср [о 3. (13,29) Коэффициент ср, всегда меньший единицы, называется коэффициентом у.иеньшения допускаелгого напряжения при продольном изгибе, или коэффициентом продольного изгиба. Он зависит от материала и гибкости стержня. Подставляя в формулу (13.29) значения [о,) и [ст) из (13.26) и (13.28), получим выражения ср для пластичного и хрупкого материалов: Коэффициенты запаса прочности и, и п, представляют собой постоянные величины, а коэффициент запаса устойчивости принимается зависящим от величины гибкости )с во всем рабочем диапазоне изменения этой величины.
Как показали исследования, проведенные А. Р. Ржаницыным* с использованием методов математической статистики, на величины и, и гр прн малых значениях гибкости наибольшее влияние оказывают случайные эксцентриситеты приложения сжимающей силы, а при больших гибкостях — начальные искривления оси стержня. Величины коэффициента гр в зависимости от гибкости Х для различных материалов приводятся в виде таблиц в нормах проектирования (для строительных конструкций в соответствующих разделах СНиП).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
