2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений). Согласно этой теории предполагается, что причиной разрушения или перехода в пластическое состояние являются наибольшие касательные напряжения. Исходя из этой гипотезы, получим условие наступления опасного состояния тамб то Эта формула называется критерием пластичности Треска— Сен-Венана и используется в теории пластичности. Опасное нацряжение ты определенное из опытов на одноосное растяжение (сжатие), равно Оо)2 6 3.2). С другой стороны известно, что наиболыпие касательные напряжения при сложном напряженном состоянии действуют на площадках, наклоненных под углом 45' к главным площадкам, и равны о! — од т„б= 2 Таким образом, приводя условие наступления опасного состояния к виду (12.21), получим О1 — ОЗ = ОО.
(12.28) 255 Условие прочности по теории наибольших касательных напряжений имеет вид сг, — от, <у,Я. (12.29) Данная теория хорошо подтверждается в опытах с пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию, особенно при двухосном напряженном состоянии для случаев, когда от,>сгз>0, из=О и от,>0, сз,=О, о,<0, Недостатками теории является то, что она не учитывает влияние на прочность главного напряжения ото.
Эта теория подтверждается, в частности, при трехосном напряженном состоянии, когда от, = сг, = от„так как в этом случае касательные напряжения равны нулю. Четвертая теория прочности (энергетическая). Как было отмечено, разрушение хрупких материалов и переход в пластическое состояние пластичных материалов завершают стадию упругой работы. В основу энергетической теории прочности положена гипотеза о том, что разрушение (или переход в пластическое состояние) наступает, когда удельная потенциальная энергия формоизменения 17е при работе материала в упругой стадии 19 6.5) достигает предельного значения 17ое, соответствующего одноосному напряженному состоянию ге= ие, (12.30) где согласно (6.31) о1е = — [(о ! — от,)'+(сз, — от,) +(ото — от,)'~; 17е = — ото~. 6Е С помощью этих равенств условие наступления опасного состояния (12.30) преобразуется к виду ! — (о, — сг,) +(со,— !тэ)'+(ото — от,)'=ото.
(12.31) ч72 Это условие носит название критерия пластичности ГубераМизеса и так же, как и критерий Треска — Сен-Венана, используется в теории пластичности. Условие прочности по энергетической теории имеет следующий вид: — (ст! — ог) +(ото — оэ)~+(со — от!)~ <у,Я. (12.32) ,„72 Эта теория учитывает влияние на прочность всех трех главных напряжений и хорошо подтверждается экспериментально для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Так же, как и теория наибольших касательных напряжений, эта теория подтверждается при трехосном напряженном состоянии, когда от, =ото — — о„так как в этом случае изменения формы не происходит. Теория прочности Мора. Эта теория применяется для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Условием возникновения опасного состояния является равенство о, — /со,=о', (12. 33) где 1с=о',!оо — коэффициент, учитывающий различное сопротивление материала растяжению и сжатию. Условие прочности по теории Мора имеет внд о1 — 7соо <7 Яо. (12.34) При о~ ~= ос теория Мора совпадает с теорией наибольших касательных напряжений.
Теория прочности Мора хорошо подтверждается экспериментально как для пластичных, так и для хрупких материалов, особенно, если о, > О, а оэ < О. Пример 12.6. Проверим прочность стальной балки (2 30), изображенной на рис. 12.29, при 7,=1, Я=280 МПа. Нагрузки будем считать расчетными.
Из анализа эпюр внутренних усилий можно сделать вывод, что опасным сечением является сечение над левой опорой. В этом сечении М,= — 100 кНм, Д = — 200 кН. Наиболее опасными в рассматриваемом сечении будут точки в стенке на уровне ее сопряжения с полкой (уровень  — В на рис. 12.29, б). Для двутавра ! 30 из сортамента находим: 6=30 см; 6=13,5 см; 1=0,65 см; !=1,02 см; 1,=7080 ем~. Нормальное и касательное напряжения на уровне  — В !у= — 13,98 см) будут равны о,= — *(- — !1= — — 13,98=19,75 —,=197,5 МПа; /, 12 / 7080 смо т„= ' '= — ' = — 8,67 —,= — 86,7 МПа.
!2,5". 200 !99,5 кН /,И 7080. 0,65 см а) ) 6 !оо оям 5О Рис. 12.29 9 3923 257 оз — оз= —, Л +а ~Ы 32Р г г 22 13 8 Рис. 12.30 258 В последнем равенстве Е," — статический момент площади сечения полки двутавра, который равен Е", = Ь| ~ — — -) = 13,5 . 1,02 ~ — — ' 2! = 199,5 см'. 22Ь 288 ( ЗО 1,02 8 1,2 2) ' ~ 2 2 ) В рассматриваемом случае одно из главных напряжений равно нулю, два других вычисляются по формуле !4.27) 82 г о= — "+ — ") +тг (12 35) Подставив сюда о„=197,5 МПа, т„,= — 86,7 МПа, найдем два главных напряжения, которые равны о'=230,1 МПа и он = — 32,7 МПа.
Учитывая условие о, > о, > оз, получим о2 =230,1 МПа, пг=0, сзз= — 32,7 МПа. Поскольку материал балки является пластичным и одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, для проверки прочности можно воспользоваться третьей или четвертой теориями прочности. По третьей теории прочности (12.29) получим о, — оз — — 262,8 МПа < 78А = 280 МПа. По четвертой теории прочности 112.32) получим ~=288 МП 288 МП . Условия прочности выполняются. Обе теории в данном случае дают близкие результаты. Можно считать, что прочность балки обеспечена.
Пример 12.7. Используя третью и четвертую теории прочности и метод расчета по допускаемым напряжениям, подберем сечение круглого стержня АВ !рис. 12.30), принимая [и) = =160 МПа. Опасным сечением стержня является сечение в заделке. В этом сечении изгибающий и крутящий моменты соответственно равны: и,= — Р1= — 10 кНм; М,= — Ра= — 4 кНм. Нормальные напряжения изгиба достигают наибольших по абсолютной величине значений в точках С и Е сечения !рис. 12.30, 6) и вычисляются по а) О) формуле Касательные напряжения изгиба в точках С и Е равны нулю. Касательные напряжения кручения также достигают своих наибольших значений в точках С и Е и вычисляются по формуле тнб з' !12.37) н И2 !32 ' Таким образом, точки С и Е в сечении В стержня являются наиболее опасными. Напряженное состояние в этих точках является двухосным.
При этом по формулам 112.35) после подстановки в них 112.36) и 112.37) для главных напряжений получим пг=, 211+ /1~+а ); о'3=, !21 — /1 +а ). Здесь, как и в примере 12.6, о,=0. Используя третью теорию прочности, получим Отсюда найдем требуемое значение диаметра круглого стержня 32Р 22'!н-П 3446 !О п1о) 3,14.160.10 Согласно четвертой теории прочности получим 32Р г 3 г стг+аз — огпзнн — 1 +- а 4~ст3.
13 2 4 Отсюда находим 0=8,76 см. Из двух найденных значений диаметра принимаем 23=89 мм. ГЛАВА 13 ПРОДОЛЬНЫЙ И ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ й 13.1. Понятие об устойчивости Существуют три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчивое. Устойчивым называется такое равновесие, при котором тело после малого отклонения от исходного положения возвращается в это положение при устранении воздействия, вызывающего отклонение. Безразличным — когда тело после отклонения остается в равновесии и в новом положении.
Неустойчивым — когда тело при малом отклонении не возвращается в исходное положение, а удаляется от него. В качестве примера рассмотрим равновесные положения тяжелого шарика для трех случаев, изображенных на рис. 13.1. Равновесие шарика, находящегося на дне вогнутой сферы (рис. 13.1,а), является устойчивым, на плоскости (рис. 13.1, б)— безразличным, на вершине выпуклой сферы (рис.
13.1,в) — неустойчивым. Если слегка отклони~ь шарик от положения равновесия и предоставить его самому себе, то в первом случае он после ряда колебаний возвратится в исходное положение. Частота колебаний шарика по отношению к исходному устойчивому положению зависит от кривизны поверхности сферы. С уменьшением кривизны частота уменьшается.
Во втором случае Рис. 13.1 260 любое положение шарика является равновесным. В третьем случае при малейшем отклонении шарик будет удаляться от исходного положения. Рассмо~ренный пример относится к задачам устойчивости полозкения абсолютно твердого тела.
В механике деформируемого твердого тела рассматриваются задачи устойчивости зле.иентов конструкиий при их деформировании. Эти задачи отличаются от задач устойчивости положения значительно болыпей сложностью. В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением задач устойчивости центрально сжатых прямых стержней. Рассмотрим равновесие идеально прямого гибкого упругого стержня, находящегося под действием центрально приложенной к верхнему сечению сжимающей силы Р, со- Р< Р Р=Р„, храняющей в процессе нагру- жения вертикальное положение 1рис. 13.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия. Пока величина силы Р меньше некоторого критического значения Р„„ стержень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 13.2,а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
