2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Модель Винклера В инженерной практике часто встречаются конструкции„ опирающиеся по всей длине или площади на сплошное основание, которое может упруго деформироваться под действием приложенной к нему нагрузки. К таким конструкциям относятся, например, фундаменты зданий и гидротехнических сооружений, аэродромные и дорожные покрытия и т.
п., опирающиеся на различно~о рода грунтовые и скальные основания. Конструкции на упругом основании могут иметь также жесткие опоры. При расчете конструкций на упругом основании необходимо определить реактивный отпор со стороны основания на конструкцию. Реактивный отпор представляет собой поперечную нагрузку, распределенную по длине или площади конструкции. Поясним сказанное на примере работы балки, свободно лежащей на упругом основании (рис.
11.1). Суммарная распределенная нагрузка на балку равна д(х)=ц(х) — ц,(х), (11.1) где д(х) — внешняя нагрузка на балку и д„(х) — реактивный отпор основания (рис. 11.1,а). Внешняя нагрузка на балку. как о) е~(х) правило, всегда известна, и задача сводится к определению реактивного отпора. Эта задача не может быть решена с помощью уравнений статики.
Например, для свободно лежащей балки уравнения статики позволяют определить только величину равнодействующей реак~ивного отпора основания и положение линии ее действия. Закон распределения Ч реактивного отпора по длине балки остается при этом неизвестным. Грунт песчано-глинистый, искусственно уплотненный Глина твердая Для решения этой задачи необходимо ввести предположение о зависимости между реактивным отпором и осадкой поверхности основания о(х) (рис. 11.1,б). Эта зависимость характеризует расчетную схему или модель основания.
Учеными и инженерами в разное время предложено несколько моделей упругого основания. Наиболее простой и широко применяемой на практике является модель, предложенная немецким ученым Е. Винклером. В этой модели зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности предполагается линейной и в задачах расчета балок на упругом основании записывается в следующем виде: о,(х) =/си(х) =lсбо(х), (1 1.2) где Ь вЂ” ширина подошвы балки и й — коэффициент, характеризующий жесткость основания и называемый коэффициентом постели.
Этот коэффициент определяется экспериментально и имеет размерность силы, отнесенной к единице длины в третьей степени, например, Н1смз. Значения коэффициента жесткости некоторых грунтовых и скальных оснований приведены в таблице 11.1. С физической точки зрения модель Винклера може~ быть представлена множеством несвязанных между собой одинаковых упругих пружин, опирающихся на абсолютно жесткое основание (рис.
11.2). В большинстве задач принимается, что пружины могут работать как на сжатие, так и на растяжение, что характеризует двухстороннюю связь между балкой и основанием. — =)»" — „, (и=1, 2, 3, 4) (11.6) о'»(с,)+4о(Р,) = »("1 (1 1.7) (11.10) Х=»4( . (11.5) /7л 4В1 Ряс. 11.3 8 3923 224 225 Р, Р, Деформация упругого основания, соответствующего модели Винклера, происходит только в области приложенной к нему нагрузки. Это достаточно хорошо отражает реальные свойства рыхлых и несвязных оснований.
Для плотных и, тем более, скальных оснований модель Винклера не соответствует действительному характеру деформации основания, которая происходит и за пределами области приложения нагрузки. Существуют другие модели упругого основания (например, модель с двумя коэффициентами постели, модель упру~ого полупространства и т. п.), которые позволяют учитывать работу основания за пределами области приложенных нагрузок. Однако, расчет балок и других конструктивных элементов с использованием указанных моделей достаточно сложен.
8 11.2. Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании Рассмотрим задачу изгиба балки, лежащей на поверхности основания, описываемого моделью Винклера. Будем счи~а~ь, что осадка поверхности основания равна прогибу балки по всей ее длине (рис. 11.3).
Суммарная распределенная нагрузка на балку равна а (х) = а (х) — д„(х) = а (х) — ко (х). (11.3) Используя дифференциальное уравнение изогнутой оси балки четвертого порядка (9.7), запишем ЕМ» (х) =д(х) = 9(х) — Ко(х), или ЕЗо'» (х)+ Ъ (х) = д (х).
(1 1.4) Полученное дифференциальное уравнение называется уравне- нием изгиба балки на упс)(х) 11(ж) ругом основании. ' Для удобства интегрирования этого уравнения введем безразмерную переменную с =Хх, где Параметр 7» зависит от жесткости балки и основания. Он имеет размерность 1~ем, 1/м и т. п. Производные по переменным х и ~ связаны между собой соотношением Произведя с помощью этой формулы замену переменной в уравнении (11.4), представим его в следующем виде: Для решения соответствующего (11.7) однородного урав- нения о!»(1)+4о В) =0 (11.8) определим корни характеристического уравнения г +4=0: г ьг = + /2ю'= + (1 + 1); г з,з = + ~2! = +(1 1).
При этом общее решение уравнения (11.7) можно представить в следующем виде: о(~)=Сзе яп1,+Сзе совс,+Сзе ~з1пР+С„е ~созГ+о'(с),(11.9) где первые четыре члена представляют решение однородного уравнения (11.8), а о" (с) — частное решение уравнения (11.7), зависящее от характера внешней нагрузки на балку д (с). Входящие в (11.9) постоянные интегрирования С,, Сз„ Сз и С„подлежат определению из соответствующих граничных условий. Для определения углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил в балке можно использовать обычные дифференциальные зависимости теории изгиба балок: чз(~)=Хо'©; М(с) = — ЕЦ.з о" (с) = — Еу)„ср'(с) О(~) =).и'(~).
Появление в этих формулах параметра Х связано с заменой производных по формуле (11.б). й 11.3. Расчет бесконечно длинных и полубесконечных балок Валку на упругом основании можно отнести к категории бесконечно длинных или полубесконечных балок, если приложенная к ней нагрузка достаточно удалена от ее концов. Рассмотрим, например, весьма длинную балку, нагруженную в центральной ф части сосредоточенной силой (рис. 11.4). Примем начало координат в точке приложения силы. ® Поскольку распределенная нагрузка на балку отсутй ствует, ее изгиб описывается однородным дифференциаль® ным уравнением (11.8).
Прогиб балки определяется по формуле (11.9), в которой надо положить и'(»)=О. ® При удалении от точки приложения силы к концам весьма длинной балки ее прогиб и внутренние усилия практически стремятся к нулю (затухают). Для удовлетворения этому условию надо в выражении (11.9) отбросить возрастающие частные решения, положив постоянные интегрирования С, и Сз равными нулю. Рассматривая часть балки, соответствующую положительному направлению оси х(»), запишем о(»)=С,е ~яп»+Сае ~сов».
(11.11) 4ЕЯз Оставшиеся две постоянные интегрирования определяются из граничных условий в точке приложения силы: »=О, р=О; Д„,= — —. 1Р (») = Хе ~(сз — Са) со⻠— (Сз+ Са) Яп Ц' Д(»)= — 2ЕУХ~е ~((сз — Са)яп»+(Сз+Са)соя»). Использовав граничные условия р(0)=) (Сз — С,)=0; д(О) гЫ). (С +С ) Эти условия отражают симметрию деформации балки относительно точки приложения силы. Продифференцировав (11.11) в соответствии с формулами (11.10), получим выражения для угла поворота н поперечной силы в балке находим значения постоянных интегрирования Р Сз = Са= 8Н1 З' Запишем с помощью (11.11) и (11.10) окончательные выражения для прогиба, угла поворота и внутренних усилий в балке о(»)=,е 1(яп»+сов»); 1р(»)= — — е яп»; Р 4Е.Д з (11.12) М(») = — е 4 (со⻠— яп»); 41 Д(»)= — — е 1соз».
2 Для левой части балки, соответствующей направлению оси х(»), будем иметь: о(-»)= (»)'* Ч(-»)= -ч!(»)' М( — »)™(») 0( — »)= — И»). Выражения (11.12) характеризуют законы М и Д по длине балки. С их помощью, а также можно построить эпюры этих величин.
Характер !з) эпюр Д, М и и показан на рис. 11.4. С помощью решений (11.12) можно производить расчет длинных балок на в) действие различных нагрузок, достаточно удаленных от концов балки. Рассмотрим, например, действие ! ! двух сосредоточенных сил 6) Р, и Рз (рис.
11.5, а). Предположим, что требуется определить прогиб и изгибающий момент в сечении С. Примем в этом сечении начало отсчета, приложим единичную силу Р = 1 и построим единичные эпюры б и М (рис. 11.5,б„е,е). На отрицательному (11.13) изменения и, 1р, с учетом (11 13), О Ряс. 11.5 8" 227 226 основании принципа независимости действия сил и теоремы Бетти прогиб и изгибающий момент в сечении С можно определить по формулам «с = РгОг+РгОг,' Мс=Р,Мг+РгМг где О,, Ог и М„Мг — ординаты Рис. 11.6 эпюр О и М под сосредоточенными силами Р, и Р„взятые со своими знаками.
Этот результат можно обобщить на случай действия п сосредоточенных сил. При действии распределенной поперечной нагрузки (рис. 11.6) ее нужно представить как бесконечное множество элементарных сосредоточенных сил е7Р=дйх=-Ж, и произвести 9 х интегрирование соответствующих решений для элементарной силы в пределах участка загружения. Например, для определения изгибающего момента в сечении С (рис. 11.6) можно записать: Мс = —, ~ д («) е «(соя « — яп «) Ы «.
В аналогичной постановке можно произвести расче~ длинной балки на действие нагрузок, приложенных на одном из ее концов. Такие балки принято называть полубесконечными. Рассмотрим, например, свободно лежащую длинную балку, нагруженную на конце сосредоточенной силой (рис. 11,7). Изгиб балки описывается однородным дифференциальным уравнением (11.8), а ее прогиб определяется по формуле (1!.11). Как и в случае бесконечно длинной балки, возрастающие частные решения в выражении (11.9) отброшены, так как они не удовлетворяют условиям затухания прогибов и внутренних Р усилий при удалении от конца балки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
