2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 38
Текст из файла (страница 38)
180«к= — '=0,5, |х„=26,6'; 18ас= — —.0,5= — 8,15, ас= — 83'. 7,5, 5500 !5 337 Так как ак~О, то согласно введенному правилу знаков для Угла О«к силоваЯ линиЯ пРохоДит чеРез пеРвУю и тРетью четверти осей координат, а нулевая линия — через вторую и четвертую четверти. Эпюра нормальных напряжений для сечения Р балки построена на рис. 12.8, в. 8 12.3. Внецентренное растяжение н сжатие Многие элементы строительных конструкций 1колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. На рис. 12.9 показана колонна, на которую опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси колонны с эксцентриситетом е и, таким образом, в произвольном сечении а — а колонны наряду с продольной силой Ж= — Р возникает изгибающий момент, величина которого равна Ре.
Внецентренное растяжение 1сжатие) стержня представляет такой вид деформирования, при котором равнодействующие внешних сил действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. В дальнейшем будем рассматривать главным образом задачи внецентренного сжатия. При внецентренном растяжении во всех приводимых расчетных формулах следует изменить знак перед силой Р на противоположный. Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 12.10) нагружен на торце приложенной внецентренно сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох. Выберем положительные направления главных осей инерции сечения Оу и Ох таким образом, чтобы точка приложения силы Рис. 12.11 Рис. 12.12 Р .
12.1О Рис. 12.9 РУ, о= — — — — г — — у. Эту формулу можно преобразовать к виду Р1 гиг УсУ 1 о= — — ~1+ — +— Р Р(» (12.12) где 1',, 1',— главные радиусы инерции сечения. При этом '2 ~». '2 г* * г' (12.13) Положив в (12.12) о=О, получим уравнение нулевой линии (12.14) Р находилась в первой четверти осей координат. Обозначим координаты точки приложения силы Р через уу и гр. Внутренние усилия в произвольном сечении стержня будут равны Ж= — Р; М = — Рг; М,= — Ру. (12.! 1) Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины внутренних усилий в данном примере не изменяются по длине стержня, и, таким образом, распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставляя (12.11) в (12.1), получим формулу для нормальных напряжений при внецентренном сжатии Здесь уо и го — координаты точек нулевой линии (рис. 12.11). Уравнение (12.14) является уравнением прямой, не проходящей через центр тяжести сечения. Чтобы построить нулевую линию найдем точки пересечения ее с осями координат. Полагая в (12.14) последовательно уо=О и го=О, соответственно найдем (12.15) » го=а,= — —; с где а, и а — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (рис. 12.11).
Установим характерные свойства нулевой линии при внецентренном сжатии. 1. Из формул (12.15) следует, что а„и а, имеют знаки, противоположные знакам соответственно уу и гр. Таким образом, нулевая линия проходит через те четверти осей координат, которые не содержат точки приложения силы (рис. 12.12). 2. С приближением точки приложения силы Р по прямой к центру тяжести сечения координаты этой точки уу и гу уменьшаются. Из (12.15) следует, что при этом абсолютные значения длин отрезков а, и а, увеличиваются, то есть нулевая линия удаляется от центра тяжести, оставаясь параллельной самой себе (рис, 12.13), В пределе при гр — -уе=О (сила приложена в центре тяжести) нулевая линия удаляется в бесконечность.
В этом случае в сечении напряжения будут постоянны и равны о= — Р~Р. 3. Если точка приложения силы Р лежит на одной нз главных осей, то нулевая линия параллельна другой оси. Действительно, положив в (12.15), например, уе= О, получим, что а = оо, то есть нулевая линия не пересекает ось Оу (рис. 12.14). 4. Если точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести, то нулевая линия поворачивается вокруг некоторой точки. Докажем это свойство. Точкам приложения сил Р, и Р„лежащим на осях координат„ соответствуют нулевые линии 1 и 2, параллельные осям (рис. Рис. 12.14 Рис. 12.13 Рис.
12.1б ьь ии Р 42 42 2Р сгс= — — ~1 — — — — ~ = —; Р Ьс 12 Р ' 12 12 Р/ 3 31 4Р сгв= — 11+-+- ~= — —. Р1, 2 2 / Г ьи' и . ь 12ЬИ 12' и !2 Рис. 12.17 и . Г2ЛВ 12.15), которые пересекаются в точке /3. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в этой точке от одновременно приложенных сил Р, и Р, будут равны нулю. Поскольку любую силу Рз, точка приложения которой лежит на прямой Р, Р„можно разложить на две 3 параллельные составляющие, приложен- ные в точках Р, и Р2, то отсюда следует, в 2 что напряжения в точке .0 от действия Э силы Р, также равны нулю. Таким в образом, нулевая линия, соответствую- Р, я щая силе Рз, проходит через точку Х1. Р Другими словами, множеству точек Р, с лежащих на прямой Р, Р2, соответствует пучок прямых, проходящих, через точку Х3. Справедливо и обратное утверждение: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести.
Если нулевая линия пересекает сечение, то она делит его на зоны сжатия и растяжения. Так же, как и при косом изгибе, из гипотезы плоских сечений следует, что напряжения достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Характер эпюры напряжений в этом случае показан на рис, 12.16, а. Если нулевая линия расположена вне сечения„то во всех точках сечения напряжения будут одного знака (рис. 12.16, 6).
Пример 12.3. Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами Ьхи (рис. 12.17). Квадраты радиусов инерции сечения согласно (12.22) равны Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, определяются по формулам (12.15) 4Ь' Ь И а,= — — = — —; а = — —.
12Ь 3* ' 3' Подставляя в (12.12) координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек С и В (рис. 12.18) ус= — и/2, вс= — Ь/2, ув=Ь/2, зв=Ь/2, найдем Эпюра о' показана на рис. 12.18. Наибольшие сжимающие напряжения по абсолютной величине в четыре раза превосходят Г) свчение ЯВ -е%ББЙБ- р 1~ 6 .1 1Ш11~ПП ЬК~ сеченивСЭ б) р а) Полагая ЬЬ Ь .з Ь Р= —; гр — — — —, 2 4' 48' найдем (12.16) Ряс. 12.20 Рис.
12.21 249 Р значения напряжений, которые были бы в случае централь! ного приложения силы. Кроме того, в сечении появились зна- Я чительные растягивающие напряжения. Заметим, что из (12.12) следует, что в центре тяжести (у=г=О) напряжения С равны о= — Р~Р.
Пример 12.4. Полоса с выре ® зом нагружена растягивающей ~ а; — ~ силой Р (рис. 12.19, а). Сравним ! напряжения в сечении АВ, до- 86 4р статочно удаленном от торца ! „~811, и места выреза, с напряжениями в сечении С0 в месте выреза. р В сечении АВ (рис. 12.19, б) сила Р вызывает центральное Ряс. 12.19 растяжение и напряжения рав- ны о=Р1Р=Р~ЬЬ. В сечении С0 (рис. 12.19, в) линия действия силы Р не проходит через центр тяжести сечения, и поэтому возникает внецентренное растяжение. Изменив знак в формуле (12.12) и приняв ур=О, получим для этого сечения о = — 1+ —,', Нулевая линия в сечении С0 параллельна оси Оу и пересекает ось Ог на расстоянии а, = — фг р —— Ь/12.
В наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения С( г = — Ь~4) и 0(г=Ь/4) напряжения согласно (12.16) будут равны 8Р 4Р стс= — ' сгэ=- —.. ЬЬ ЬИ Эпюры нормальных напряжений для сечений АВ и С0 показаны на рис. 12.19, б,в. Таким образом, несмотря на то, что сечение С0 имеет площадь в два раза меньшую, чем сечение АВ, за счет внецентренности приложения силы растягивающие напряжения в ослабленном сечении возрастают не в два, а в восемь раз. Кроме того, в этом сечении появляются значительные по величине сжимающие напряжения. Следует заметить, что в приведенном расчете не учитываются дополнительные местные напряжения, возникающие вблизи точки С из-за наличия выточки.
Эти напряжения зависят от радиуса выточки (с уменьшением радиуса они увеличиваются) и могут значительно превысить по величине найденное значение о,=8Р~ЬЬ. При этом характер эпюры напряжений вблизи точки С будет существенно отличаться от линейного. Определение местных напряжений (концентрация напряжений) рассматривается в главе 18. Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.) плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много раз меньше, чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Чтобы зто выполнялось, необходимо, чтобы нулевая линия находилась вне сечения.
Если нулевая линия является касательной к контуру сечения, то соответствующее положение точки приложения силы является предельным. В соответствии со свойством 2 нулевой линии, если точка приложения силы будет приближаться к центру тяжести сечения, нулевая линия будет удаляться от него. В противном случае нулевая линия пересечет сечение и в нем появятся растягивающие напряжения. Геометрическое место предельных точек, соответствующих всевозможным касательным к контуру сечения является границей ядра сечения.
Ядром сечения называется выпуклая область вокруг центра тяжести, обладающая следующим свойством: если точка приложения силы лежит внутри или на границе этой области, то во всех точках сечения напряжения имеют один знак. Ядро сечения является выпуклой фигурой, поскольку нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его. Через точку А (рис. 12.20) можно провести бесчисленное множество касательных (нулевых линий), при этом только ст = — + — 'г+ — 'у, (12.17) .г — + — 'хо+ — уо = О.
(12.18) Р гр= — — =, ур=О. а, 4' Й ~ГП,мпа 5'ц,япа 1э, мпп 166 6 6НИ Ряс. 12.25 250 251 касательная АС является касательной к огибающей и ей должна соответствовать 4 определенная точка ядра сечения. В то же время, например, нельзя провести касательную к участку АВ контура сечения, поскольку она пересекает сечение. Построим ядро сечения для прямоХс а6 угольника (рис. 12.21). Для касательной 1 — 1 а,=ь/2; а,=со.
Из (12.15) находим для точки 1, соответствующей этой касательной, ер= — фа,= — Ь/б; ур=О. Для касательной 2 — 2 а„=Ь/2; а,= ж, и координаты точки 2 будут равны ур= — Ь/б; ге=О. Согласно свойству 4 нулевой линии точки приложения силы, соответствующие всевозможным касательным к правой нижней угловой точке сечения, лежат на прямой 1 — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
