2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Задаваясь приближенными выражениями гг(х), мы будем всегда получать завышенные значения критических сил, так как всякое отклонение от истинной формы равносильно наложению на систему некоторых дополнительных связей, которые повышают устойчивость. Наиболее просто определяются критические силы в том случае, когда истинное уравнение для прогиба с достаточной точностью можно аппроксимировать одним членом ряда гг(х) = а 1(х). Подставляя.это выражение в формулу (13.73) и используя 292 2 2; — = а Е3()'4) г гг!х — ~ ~Р; ( 1') г 21х = О. (13.77) о о (13.78) П= 11 — А=О.
Если стержень нагружен одной продольной силой, то из уравнения (13.78) с учетом (13.73) получим ) Ег(о-)гг!х о Ркр ь ° 1(о ) 4!2 (13.79) где 1р — абсцисса точки приложения продольной силы. Рассмотрим пример определения критической силы энергетическим методом. Пример 1З.В. Определим критическую силу для % шарнирно опертого стержня, нагруженного сжимающей силой Р, приложенной в середине длины стержня (рис. 13.22). Точное решение этой задачи методом начальных параметров приводит к довольно громоздким преобразованиям. Для определения Р„, воспользуемся формулой (13.79).
Примем 22Х гг=аяп ! Тогда получим ! аг Е,! — ~ гвг — 27х !4 2222 Еу 19,7Е2 ко !2 72 ог ггг " 2хх о — 505 — дх ! ~ ! о 293 Из сравнения выражений (13.76) и (13.77) следует, что в рассматриваемом случае условие ВП/ога=О можно заменить условием энергетического баланса системы Точное решение дает 18,7ЕУ 1 хх . 2хх и=а, яп — +а~яп— и воспользоваться методом Ритца. При этом практически точное значение критической силы. получается Точность полученного приближенного решения можно существенно повысить, если принять ГЛАВА 14 ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 8 14.1. Основные понятия В главе 8 было показано, что в общем случае (исключая стержни замкнутого кольцевого сечения) в тонкостенных стержнях при кручении наблюдается депланация, величина которой существенно зависит от типа сечения (открытого и замкнутого профиля).
Касательные напряжения и углы закручивания в стержнях открытого профиля намного превосходят соответствующие величины в стержнях замкнутого профиля. Рассмотренное в ~ 8.9 свободное кручение встречается довольно редко. Как правило, в инженерных конструкциях стержни имеют конструктивные элементы, препятствующие свободной депланации сечений. К ним относятся опорные закрепления, ребра жесткости и т. п.
(рис. 14.1). На рис. 14.2 показан простейший пример стесненного кручения. Можно заметить, что в отличие от свободного кручения в данном примере величина депланации сечений изменяется по длине (в заделке она равна нулю, а на свободном конце— максимальна). Видно, что длина верхнего края разреза уменьшилась, а нижнего †увеличила. Это происходит вследствие появления в сечениях нормальных напряжений о„. Внутренние' усилия и напряжения, возникающие в поперечных сечениях тонкостенного стержня при стесненном кручении, можно наглядно показать на примере стержня двутаврового Рис.
14.1 Ряс. 14.2 Рис. 14.3 поперечного сечения, защемленного одним концом и нагруженного на свободном конце крутящим моментом М„(рис. 14.3, а). Если этот момент представить в виде пары сил Т, приложенных к полкам двутавра, то становится очевидным, что полки будут изгибаться в своих плоскостях в противоположные стороны. При этом в произвольном сечении х стержня (рис.
14.3, б) в полках а) возникают изгибающие моменты Ми, поперечные силы Д„и соответствующие им нормальные о,=о„и касательные т напряжеУ8 ния стесненного кручения, показанные на рис. 14.4, а, б. Эти напряжения называются соответственно секториальными нормальны- ~) ми и секториальными касательныВ1 й1 ми напряжениями.
Заметим, что при известных величинах М и Д напряжения 8 и и о„и т можно определить по формулам для нормальных и касательных напряжений при изгибе М, Д„5'„" $) о„= — 'у; т„= где у„и я'„'и — момент инерции площади сечения полки и статический момент отсеченной площади Рис. 14.4 полки относительно оси Ог, толщина полки. Однако, при расчете тонкостенных стержней моменты Ми и поперечные силы Д„в полках не вычисляются и приведенные формулы для су и т„не используются. На рис. 14,4, а, б, в показано распределение напряжений сУ, т„и касательных напряжений свободного кручения т„в поперечном сечении двутавра. Следует обратить внимание на существенно различный характер распределения по толщине отдельных элементов сечения напряжений т„и т„.
Три вида напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня при стесненном кручении, можно свести к трем внутренним усилиям. Нормальные напряжения о„ приводятся к новому обобщенному усилию, называемому бимоментом (бипарой), который обозначим через В. В рассматриваемом случае кручения двутавра бимомент можно представить как совокупность двух противоположно направленных пар Ми, действующих в полках (рис. 14.3, б). При этом величина бимомента оценивается произведением момента Ми каждой пары на расстояние и между плоскостями, в которых они действуют В=М„Ь.
Секториальные касательные напряжения т„приводятся к так называемому изгибно-крутяиуему моменту М„(рис. 14.4, б), который в случае кручения двутавра можно приближенно представить, как момент пары поперечных сил Д„(рис. 14.3, б) Касательные напряжения свободного кручения т„вычисляются по формуле (8.68) главы 8. Они приводятся к крутя1цему моменту свободного кручения М„(рис. 14.4„я). Суммарный крутящий момент М„в произвольном сечении стержня (14.1) М„=М„+М определяется из уравнения статики. Поскольку при кручении продольная сила и изгибающие моменты в сечениях стержня отсутствуют, то М=Цо„с(Р=О; М,=До„гс(Г=О; М,=Оп ус(Р=О. (14.2) Из этих равенств следует, что напряжения о представляют собой самоуравновешенную систему нормальных напряжений.
5 14.2. Определение секториальных нормальных напряжений Рассмотрим деформированное состояние тонкостенного стержня. Как было отмечено, основной характерной особенностью деформирования таких стержней при кручении является возникновение депланации поперечных сечений, то есть появление осевых перемещений и(к, л) (см.
рис. 14.2 297 (14.5) Рис. 14:6 Рис. 14.5 ди ди ди си уии + дх дю дх (14.3) ич и= — — г~6. л. ~ (14.6) ди ди дл дх (14.4) Рис. 14.7 и 14.3, а). Для определения этих перемещений воспользуемся соотношениями Коши Здесь используются координаты х, л точек срединной поверхности стержня, при этом ось Ол направлена вдоль средней линии сечения (рис. 14.5). Через и и о обозначены перемещения точек срединной поверхности в направлении осей Ох и Оз соответственно. Введем две гипотезы, которые позволяют решить поставленную задачу.
1. При стесненном кручении контур поперечного сечения не деформируется в своей плоскости, то есть происходит его поворот в плоскости сечения как жесткого целого вокруг центра кручения А (рис. 14.6), 2. В срединной поверхности стержня отсутствуют угловые деформации (7„,=0). Воспользовавшись второй формулой (14.3), находим Таким образом, для определения перемещений и необходимо сначала найти перемещения о. Согласно первой гипотезе поворот сечения происходит относительно точки А (рис.
14.6). Полное перемещение произвольной точки М, находящейся на средней линии сечения, равно ММ ', а его составляющая о по направлению касательной к средней линии сечения, равна ММ"=ММ'сов13. Поскольку ММ ' = АМ 1р, то о = АМ ~р сох р. Опустив перпендикуляр из точки А на касательную к контуру, найдем отрезок АС=АМсоз~3. Обозначив АС=г, получим Подставив это выражение в (14.4), найдем ди йр — „= — г —. ди их Здесь в правой части стоит обыкновенная производная, так как угол поворота ср зависит только от х. Проинтегрировав (14.5), найдем ди~ и= — — ~ газ+ни. Входящий в это равенство интеграл берется по дуге л от некоторой начальной точки К до текущей ~очки М, в которой определяется осевое перемещение и.
Выбирая в качестве начальной точки К такую, в которой отсутствует осевое перемещение, получим ис — — О, и для перемещений будем иметь формулу Рассмотрим смысл входящего в (14.6) интеграла. Произведение гал=йо равно удвоенной площади заштрихованного на рис. 14.7, а элементарного сектора. Отсюда следует, что величина со=) гьЬ, (14.7) которая называется секториальной нлои1адью или еекториальной координатой точки М, равна удвоенной площади' криволинейного треугольника, описываемого лучом, направленным из точки А при его повороте от начальной точки К до текущей точки М (рис. 14.7„6). Будем считать секториальную координату ьз положительной, если при взгляде на сечение со стороны положительного направления оси Ох поворот луча происходит против хода часовой стрелки.
Подставляя (14.7) в (14.6), находим да и= — — а, Ых (1 4.8) откуда видно, что осевые перемещения точек сечения, характеризу- ющие депланацию, пропорциональны секториальным координатам, Подставляя (!4.8) в первое равенство (14.3), получим Вг, ах 2 О' в г Используя закон Гука о„= Еа„получим формулу для секториальных нормальных напряжений ~2 Ов= ~х гаях В предыдущем параграфе было введено понятие бимомента для частного случая нагружения тонкостенного стержня двутаврового сечения. В общем случае бимомент определяется как обобщенный внутренний силовой фактор, связанный с секториальными нормальными напряжениями о'„интегральным соотношением В=О „бР.
(14.10) Важно заметить, что поскольку напряжения о образуют самоуравновешенную систему напряжений, то бимомент является силовым фактором, статически эквивалентным нулю, и поэтому его нельзя определить из уравнений статики. Подставив сюда значение а„из (14.9), получим (14.11) В„г Входящий в это равенство интеграл 2 Ц 2 (Е называется секториальным моментом инерции сечения. Он зависит только от размеров и формы сечения, то есть является его геометрической характеристикой. Способы вычисления /„, а также других геометрических характеристик будут рассмотрены в следующем параграфе. Используя обозначение (14.12), получим В = — Е3„— г. (14.! 3) 2/.Х Используя (14.9), приходим к следующей формуле для секториальных нормальных напряжений: в и„= — 03.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
