2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Уравнения равновесия Навье — "+ — *"+ — "*+ Х= 0; дх ду дх *"+ — ""+ —.*+ У = О. дх ду дг Соотношения Коши ди е х дх Закон Гука (в прямой и обратной формах) е„= — (о„— х (о,+о,)); у„,= — "'; тху !Зухз» ту, = !зуу„' т зх !Зу зх. (16.3, а) ду' дх' дхду Аналогично можно получить еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют первую группу условий совместности деформаций Сен-Веназза: ду дх дхду дз дз дз (16.4) з+ з доз ду з дуд д я, д е„ д у,„ з+ т дхз дзз дздх Напомним, что здесь е=е„+а,+е,— объемная деформация, а по закону парности касательных напряжений тц=т,, и соответственно у;, = уя.
Входящие в (16.3, а) постоянные Ламе определяются по формулам (6.13). Из приведенной системы видно, что она включает 15 дифференциальных и алгебраических уравнений, содержащих 15 неизвестных функций (6 компонент тензора напряжений, 6 компонент тензора деформаций и 3 компоненты вектора перемещения). В силу сложности полной системы уравнений нельзя найти общее решение, которое было бы справедливо для всех задач теории упругости, встречающихся на практике. Существуют различные способы уменьшения количества уравнений, если в качестве неизвестных функций выбрать, например, только напряжения или перемещения. Если, решая задачу теории упругости, исключить из рассмотрения перемещения, то вместо соотношений Коши (16.2) можно получить уравнения, связывающие между собой компоненты тензора деформаций.
Продифференцируем деформацию а„, определяемую первым равенством (16.2), два раза по у, деформацию е,— два раза по х и сложим полученные выражения. В результате получим дз дз дзв дз !Уд дзз ! з+ з + ду' дх' дхду' дх'ду дхду1 ду дх,1 ' Выражение, стоящее в скобках, согласно (16.2) определяет угловую деформацию у„,.
Таким образом, последнее равенство можно записать в виде Каждое из равенств (16.4) устанавливает связь между деформациями в одной плоскости. Из соотношений Коши могут быть также получены условия совместности„связывающие деформации в разных плоскостях. Продифференцируем выражения (!6.2) для угловых деформаций следующим образом: у„,— по г„у„— по х, у,„— по у, сложим два первых равенства и вычтем третье. В результате получим ду ду ду дзо дз дх ду дх дг до Дифференцируя это равенство по у и учитывая, что — =е„ ду — ( г" <- ~"' — — ~ — ")=2 — (~~"'-~ ~" — ~")=2 — '.
(16. 5) Условия совместности деформаций называются также условиями (уравнениями) сллошности или неразрывности. Эти термины характеризуют тот факт, что при деформировании тело остается сплошным. Если представить тело состоящим из отдельных элементов и задать деформации е„, ..., у,„в виде произвольных функций, то в деформированном состоянии из этих элементов не удастся сложить сплошное тело. При выполнении условий (16.4), (16.5) перемещения границ отдельных элементов будут таковы, что тело и в деформированном состоянии останется сплошным. Таким образом, одним из способов сокращения количества неизвестных при решении задач теории упругости является исключение из рассмотрения перемещений. Тогда вместо соотношений Коши в полную систему уравнений будут входить условия совместности деформаций Сен-Венана.
Рассматривая полную систему уравнений теории упругости, следует обратить внимание на то, что она практически не содержит факторов, определяющих напряженно-деформированное приходим к следующему соотношению; ду~, дз дх ду у) дгдх С помощью круговой подстановки получим еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют вторую группу условий совместности деформаций СенВенана: состояние тела. К таким факторам относятся форма и размеры тела, способы его закрепления, действующие на тело нагрузки за исключением объемных сил.
Таким образом, полная система уравнений теории упругости устанавливает лишь общие закономерности изменения напряжений, деформаций и перемещений в упругих телах. Решение же конкретной задачи может быть получено, если заданы условия нагружения тела.
Это дается в граничных условиях, которые и отличают одну задачу теории упругости от другой. С математической точки зрения также понятно, что общее решение системы дифференциальных уравнений включает в себя произвольные функции и постоянные, которые и должны быть определены из граничных условий. й 16.2.
Граничные условия Написать граничные условия — это значит перевести на язык математики постановку задачи, описываемую обычным образом. Так, например, если сказано: тело прямоугольной формы прикреплено к жесткому массиву и нагружено сверху равномерным давлением, то довольно легко можно изобразить расчетную схему (рис. 16.1). Для того, чтобы написать гранич- ные условия достаточно определить раз- Р меры тела и математически записать, что происходит на его поверхности. При этом данная запись должна содержать уравнение участка поверхности (иногда это может быть линия или точка) и собственно условия, выполняемые на этом участке поверхности.
Эти условия представляют собой равенства тех или иных функций (напряжений, перемещений) изРис. 16.1 вестным величинам. Так, в примере, показанном на рис. !6.1, в соответствии с условием, что тело прикреплено к жесткому основанию, необходимо записать, что на этом участке перемещения равны нулю. Рассмотрим различные способы написания граничных условий. Граничные условия в напряжениях. Такие граничные условия можно написать, если на поверхности тела заданы (известны) поверхностные нагрузки.
В частном случае эти нагрузки могут отсутствовать. Пример 16.1. На рис. 16.2 показана тонкая прямоугольная пластина, растягиваемая в одном направлении равномерными усилиями р. Расположим оси координат как показано на рисунке и рассмотрим последовательно четыре участка границы. ззз Р .И2 Участок АВ. Уравнение этого участка границы у=1г. Для того, чтобы записать условия на этой границе, представим мысленно элемент, на гранях которого могут действовать напряжения а„, а,„т,„. Переместим этот элемент так„чтобы одна из его граней совпала с границей. На грани, совпадающей с поверхностью, могут действовать напряжения а, и т„,.
Эти напряжения должны быть равны соответственно внешним нагрузкам в направлении нормали и касательной к поверхности. Поскольку на грань АВ не действуют внешние силы, то граничные условия в данном случае можно записать в виде при у=1г, а„=т„г=О. Часто слово «при» опускают, ограничиваясь записью у=/г, а,=т„„=О. Это и есть граничные условия в напряжениях на грани АВ. Рассматривая грань С1) (у= — 1г), замечаем, что на этом участке поверхности тела граничные условия будут иметь такой же вид, что и на грани АВ. В таких симметричных задачах граничные условия можно объединить с помощью записи у=+1г, а,=т„,=О.
Перейдем к участку ВС. Перемещая элемент до совмещения с этой гранью, видим, что на границе могут действовать напряжения а„и т,„. Сравнивая их с внешними нагрузками на этой грани, заметйм, что а„=р, а т„„=О. Такие же условия будут и на грани АХг. Полная запись граничных условий на этих двух гранях имеет вид х=+а, а„=р, т,„=О. (16.6) Рассмотренный способ написания граничных условий в напряжениях может применяться лишь в тех случаях, когда границы тела совпадают с координатными поверхностями (или линиями). В декартовой системе координат это плоскости или ззз прямые, параллельные координатным осям.
Если же какой-либо участок границы не совпадает с координатной поверхностью, то для написания граничных условий в напряжениях необходимо использовать общие соотношения (4.2) для напряжений на наклонных площадках. Эти равенства имеют вид ох 1+ тхут+ тхху1 = Рхю' т х1+о т+т„п=ру„; т,„1+ т„т+ п,п =р,„, (16.7) где р„„р,„, р,„— проекции внешней поверхностной нагрузки на оси координат, а 1, т, и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности. Пример 16.2. Рассмотрим треугольную пластину (рис. 16.3), нагруженную по наклонной грани АВ равномерным давлением в горизонтальном направлении, Ч Для написания граничных условий А на этой грани воспользуемся соотношениями (16.7). Для двухосного е юе напряженного состояния эти соотг '6~ ношения упрощаются и имеют вид ху =Рхх *' х т,х1+пут=р,„.
6 Проекции поверхностной нагрузки на грани АВ равны Рис. 16.3 рх,= — д; р,„=О. Направляющие косинусы нормали ч, проведенной к этой грани равны 1=сов(ч,х)=соки; т=соз(ч,у)=з(пи. Подставляя эти значения в (16.8) и записывая уравнение прямой АВ, приходим к окончательному виду граничных условий на рассматриваемой грани: у=6 1 — — ~, ахсози+тхуз(п~х= — д; ) (16.9) ту„соз м+ оу яп и = О.
Эти условия отличаются от рассмотренных в примере 16.1 тем, что в каждое из равенств входит не одно напряжение, а линейная комбинация напряжений. Соотношения (16.7) или (16.8) могут использоваться и в задачах, в которых участки поверхности тела совпадают с координатными поверхностями. Рассматривая, например, грань ВС в примере 16.1, можно определить 1=1, т=О, рх„=р, р,„=О.
Поде~авив эти значения в (16.8), приходим к равенствам (16.6). Граничные условия в перемещениях. Такие граничные условия обычно записываются в местах закреплений. Так, в примере, изображенном на рис. 16.3, на грани ОВ, если считать ее прикрепленной к абсолютно жесткому основанию, следует записать граничные условия в виде 'у=О, и=и=О, (16.10) что указывает на отсутствие перемещений точек этой грани. Отметим, что под действием нагрузки д, приложенной к наклонной грани, тело стремится переместиться влево и повернуться, но заделка препятствует таким перемещениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
