2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Вырежем из скручиваемого стержня на участке, где действует т(г), элемент Ж и рассмотрим его равновесие (рис. 8.3). Влияние отброшенных частей стержня заменим действием крутящих моментов М„и М„"'=М„+ИМ„, где Ы̄— приращение (дифференциал) крутящего момента на длине Ж. Вследствие малости Ж распределенную в пределах элемента нагрузку можно считать постоянной. Составим уравнение равновесия элемента: г,М,=О, — М,+тг1г+!М„+сХМ„)=0, где произведение тЖ представляет собой равнодействующую скручивающей нагрузки на участке Ж. Поделив это уравнение на с1г, получим искомое дифференциальное соотношение Из этого соотношения следует„что на участках стержня, свободных от распределенной скручивающей нагрузки, крутя- щий момент является постояниым или ступенчато постоянг и — 5 г И=5та тп, ным по величине, а на участ- ~/ ках, где т=соп81, он меняется по линейному закону.
с в А Пример 8.1. Построим эпю- а а га ру крутящих моментов для стержня, показанного на рис. Яка 8.4, Вычислим значения крутя- + Г, щих моментов в характерных ® сечениях стержня, начиная со свободного конца. Сечение г = 4а, М, = О. Сечение г = 2а, М, = 2та. Рис. 8гя Сечение г = а+ О, М, = 2та.
Сечение г = а - О, М, = 2та — 5 та = - 3 та. Сечение г=О, М,= — Зта. На участке АВ крутящий момент изменяется по линейному закону от 0 в сечении А до 2та в сечении В. На участках ВС и С1) крутящий момент имеет постоянное значение, равное соответственно 2та и — Зта. 8 8.2. Напряжения при кручении стержня с круглым поперечным сечением Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, защемленный левым концом и нагруженный на правом конце парой сил с моментом М (рис. 8. 5).
При этом крутящий момент по длине стержня не изменяется (М, = М=соп51). На боковой поверхности стержня рассмотрим образующую КЕ, которая после деформации стержня превратится в винтовую линию и займет положение КЕ,. В результате кручения стержня сечение 1 — 1, находящееся на расстоянии г от заделки, повернется на угол ср, а соседнее с ним сечение 2 — 2 — на угол ср+ с1ср. Следовательно, сечение 2 — 2 по отношению к сечению 1 — 1 повернется на угол йр. Угол ср называется углом закручивания. Производная от <р по г называется относительным углом закручивания и обозначается через ср': аАр ср' = —. (8.3) лс Мк НА Мс и сс Рис.
8.5 Рис. 8.2 Рис. 8.3 6 3923 !61 160 Экспериментальные и теоретические исследования кручения круглых стержней дают основание принять следующие гипотезы: М„=О(т,х — т„,у) с(Р= г О( г+ з) ~Р = бар'Ц г'дЖ= б1р',У~, (8.8) где О 1 хи к1э (8.10) ав си с= — =0 е= — =0; Е аг ек ан с„= — =0; ех Бо — = — ср (г) + ср (г) = 0; ох Ухг (8.6) см д Ух к дх си — = х ~р'. вх сг„= о, = о, = т„, = 0; (8.7) Ряс. 8.6 163 162 1. Поперечные сечения, плоские до деформации сгпержня, осгпаюгпся плоскими и после деформации. 2.
Радиусьн проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе кручения не искривляюгпся. Из этлх гипотез следует, что произвольная точка С (рис. 8.6) в поперечном сечении смещается в положение С, по дуге СС, радиуса г на величину в = гор, которую вследствие малости можно заменить хордой СС1. Тогда из прямоугольного треугольника СС,.0 найдем перемещения и и о точки С по направлениям осей Ох и Оу: и = — в з(п О = — г <р (г) а(п О = — у 1р (к); ( в=гр(.) о= Р(). (8.4) Здесь г и 8 — полярные координаты точки С. Перемещения стержня в осевом направлении можно принять равными нулю и =О. (8.5) Подставляя значения перемещений из (8.4) и (8.5) в формулы Коши (5.8), определим относительные линейные и угловые деформации: Подставляя деформации в формулы закона Гука (6.12), найдем напря- жения Из условия статической эквивалентности крутящий момент М„в сечении должен равняться сумме моментов элементарных сил т„,аг" и тх,ЫР (рис.
8.7) полярный момент инерции круглого сечения. Из формулы (8.8) выразим относительный угол закручивания д' через крутящий момент М„ Произведение 61 называется жесткостью стержня круглого сечения при кручении. Подставляя (8.10) в (8.7), получим М, М, (8.1 1) Р Р Если напряжения, определяемые формулами (8.7) и (8.11), подставить в уравнения равновесия Навье (4.10), то легко убедиться, что при М, = сонат они тождественно удовлетворяются. Следовательно, полученное решение задачи кручения стержня круглого сечения удовлетворяет всем основным уравнениям теории упругости.
Полученные результаты более удобно представить в цилиндрических координатах. Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами определяется следующими соотношениями: х=гсоаО; у=гяпВ; г=г; гх=хз+у'. (8.12) Найдем касательные напряжения т„и ть„действующие по радиальному и окружному направлениям (рис. 8.7). Эти напря- (8.17) „лр „рр рр' р Я 2 !6 (8.1б) -1 н1 -на Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.12 Рис. 8.11 165 жения можно найти по значениям напряжений т„, и тр„ проектируя их на направления г и О. т„,=т„,сов О+1„япО; т„= — т„,яп О+1„созО.
Подставляя сюда значения т„, и т„из (8.11) и учитывая (8.12), получим Таким образом, касательное напряжение т„в радиальном направлении равно нулю, а полное касательное напряжение т„ направлено в каждой точке поперечного сечения стержня перпендикулярно к радиусу. Равно нулю также касательное напряжение т„„ так как поверхность стержня свободна от касательных нагрузок (рис. 8.8). Опуская в последнем выражении инРис. 8.8 дексы О и г, получим формулу для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого сечения в виде М„ т = — "г.
.гр Из этой формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются в радиальном направлении по линейному закону. Наибольшее значение они принимают на внешнем контуре сечения при г=А (рис. 8.9) (8.1 5) ур ирр где Ирр — полярный момент сопротивления, определяемый по формуле Формулы (8.14) и (8.15) справедливы также для трубчатого сечения (рис. 8.10). При этом полярный момент инерции и полярный момент сопротивления будут равны Эпюра касательных напряжений для трубчатого сечения изображена на рис. 8.10.
О 8.3. Определение перемещений и углов закручивания стержней круглого сечения Интегрируя уравнение (8.10) в пределах от 0 до г, получим выражение для углов закручивания р <Р (г) = <Ро+ —" Ыг, (8.18) о где сро = ср (0) — угол закручивания начального сечения. Если это сечение закреплено, то сро = О. В частном случае, когда М„=сопз1, 61р=сопзг и сро=О, ж,' ~ () аг,' (8.19) Эпюры М„и д(х) для этого простого случая изображены на рис. 8.11. При наличии распределенной скручивающей нагрузки т(г) законы изменения углов закручивания стержня являются более сложными. Выведем уравнение, связывающее эти две величины между собой. Продифференцировав выражение (8.10) по г с учетом (8.2), получим дб — — '= — — т(г).
ббг ОРр бЫг б.бр Полученное уравнение можно назвать дифференциальным уравнением углов закручивания 6.1рбрб(г) = — т(г). (8.21) Из этого уравнения следует, например„что на участках стержня с равномерно распределенной нагрузкой (т =сопз1) углы закручивания изменяются по закону квадратной параболы. После того, как найдено выражение бр(г), по формулам (8.4) могут быть определены перемещения р(0) =0; р(1) = — — „'-; Р М„гб т!гб р( г)= — "=— 26гр бз.lр на участке ВС ( м„рб1~ ( рб1 — иа бР(г~)=бРо+ ~ — б(г= — — + ~ б11г= ~ а~, а~, ~ ар, о о с.р О.б' 262 62, На рис.
8.12 изображены эпюры для Ч(1) =-,.",. М„и бр. 1бб М„ , М„ и = — —" уг = — бр'уг; и = —," хг = бр'хг. (8.22) об'б Пример 8.2. Построим эпюры М„и бр для стержня ступенчато постоянного сечения, изображенного на рис. 8.12. Жесткость участка ВС обозначим через 6У . На этом участке действует равномерно распределенная скручивающая нагрузка с интенсивностью т. Пусть жесткость участка АВ равна 26.1р и в сечении В действует сосредоточенный момент М=Зт1.
Прй построении эпюры М, удобно начать вычисления со свободного конца, а при построении эпюры бр — с заделки. Вычислим сначала значения крутящих моментов. На участке ВС(0(г,~1), М„=т(1 — г,), М„(1)=0, М„(0) = т1. На участке АВ(0 < гг ( 1), М„= т1 — Зт1= — 2т1 = сопяь Для угла закручивания согласно (8.18) и (8.19) имеем: на участке АВ 8 8.4.
Расчет круглых стержней на прочность и жесткость Условие прочности при кручении круглых стержней имеет вид то — — — ~И (8.23) Р где М„"' — наибольший крутящий момен~ в стержне; р1'р — полярный момент сопротивления сечения; (т] — допускаемое касательное напряжение.
Из условия прочности (8.23) получим формулу подбора сечения м б р1' > И' Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения скручиваемого стержня. Для сплошного круглого сечения согласно (8.16) Рз 16М б Для трубчатого сечения согласно (8.17) (8.24) пРЗ( 1 а)1 16М„ 16 бб(1 — 1бб)(б] (8.25) М"' Р.б= — -Е Р] (8.26) Р где (бр'] — допускаемый относительный угол закручивания стержня, обычно лежащий в пределах 0,15 —:2 град1м.
Из условия жесткости (8.26) имеем м б Ур) -РИ Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения. Для сплошного круглого сечения согласно (8.9) яРб 32М„"" 32 ' ъ1 ся(бр'] (8.27) 167 Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
