2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 26
Текст из файла (страница 26)
С этой точки зрения очевидно, что из трех сечений, изображенных на рис. 7.49, наиболее выгодным должно быть двутавровое сечение. Рис. 7.49 Чтобы убедиться в этом произведем подбор сечений этих балок при одном и том же значении изгибающего момента М„4=80 кНм. Материал — сталь, Я=210 МПа, 7,=1. Для прямоугольного сечения с соотношением сторон lс=луй=2 по формуле (7.50) 6 2.80 !Ол Ьс з =16,6 см; 6=8,3 см; Г=146 см'. 1 2!О.!О Для круглого сечения по формуле (7.51) 32 80 1О' В = 3 = 15,7 см; Г= 194 ем~.
3,14 1 210 10 Для прокатного двутавра И'= —" =381 см . '~~ б 3 у Я В соответствии с этой величиной по таблице сортамента для прокатных двутавров принимаем сечение 1 27а, И"=407 см', Г= 43,2 см'. Таким образом, расход материала в случае двутаврового сечения оказался в 3,4 раза меньше, чем в случае прямоугольного, и в 4,5 раза, чем в случае круглого сечения. Наиболее невыгодным является круглое сечение, так как в этом случае 154 значительная часть материала балки находится в области невысоких напряжений и по существу оказывается неиспользованной. В балках из хрупкого материала с целью уменьшения наибольших растягивающих напряжений более рационально применять несимметричные сечения. На рис.
7.50 изображены некоторые типы сечений, применяемых в железобетонных балках, в деталях машиностроительных конструкций, изготавливаемых из чугуна. Рядом приведен характер эпюры нормальных напряжений при действии в сечении отрицательного изгибающего момента, растягивающего верхние волокна балки. Изменяя соотношение размеров отдельных элементов сечения, можно найти такое положение нейтральной ' линии, при котором наибольшие растягивающие о"' и наибольшие по абсолютной величине сжимающие а,"е напряжения в поперечном сечении будут равны допускаемым напряжениям [а,] и [а,].
Так, например, для балки, изготовленной из серого чугуна с допускаемыми напряжениями [о'„]=80 МПа и [~т,]=160 МПа, это условие будет выполнено при отношении высоты сжатой зоны к высоте растяну~ой, равном 2. Наибольшие растягивающие и наибольшие по абсолютной величине сжимающие напряжения в балках несимметричного сечения из хрупкого материала могут возникать в разных сечениях. Поэтому необходимо проверить прочность по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям в двух сечениях балки: в сечении с наибольшим положительным изгибающим моментом и„',: (7.56) и в сечении с наибольшим по абсолютной величине отрицатель- ным изгибающим моментом и„,: (7.57) а В формулах (7,56) и (7.57) И'„и И',— моменты сопротивления для нижних и верхних волокон.
В балках симметричного сечения достаточно проверить прочность по наибольшему по абсолютной величине изгибающему моменту. Пример 7.9. Проверить прочность балки таврового сечения (рис. 7.51)„изготовленной из чугуна с допускаемыми напряжениями [о ]=80 МПа, [о,]=160 МПа. Определим положение центра тяжести уо, момент инерции У, и моменты сопротивления И; и И'„: 155 8 7.10. Понятие о центре изгиба тонкостенных стержней Рис. 7.51 Я, 12 4 22-1-4 20 10 ус= Е 12 444 20 !2 4з 4,20з У,= +12 4.7,5'+ +4 20 4,5з=7050 смб; !2 12 .Г, 7050 / 7050 1з'„= — ' = — =486 смз И' = — '= =742 смз Ь 145 6, 9,5 Для сечения С с наибольшим положительным моментом М„+,=38 кНм о"„'= — "'= =7,82,=78,2 МПа< [о. )=80 МПа; нб Мз 38 10 кН И 486 см 38 0 кН о"„.'= — "' = — =5,12,=51,2 МПа< [о,) =!60 МПа.
И' 742 ' см' Для сечения В с наибольшим по абсолютной величине отрицательным моментом М „,' = 56 к Нм нб Мз 5610 кН =7,55,=75,5 МПа< [о,]=80 МПа; И' 742 см М,, 56 10' кН о",'= — "'= =11,52 —,=115,2 МПа< [о,)=160 МПа. И' 486 см Таким образом, наибольшие растягивающие напряжения он'=78,2 МПа действуют в нижних волокнах балки в сечении нб С, а наибольшие сжимающие напряжения о," =1!5,2 МПа — в нижних волокнах в сечении В.
Условия прочности выполняются. 156 Как было отмечено выше, касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенных стержней образую~ поток, параллельный контурным линиям каждого элемента сечения. В некоторых случаях этот поток может создавать момент относительно оси стержня, вызывающий его закручивание. Рассмотрим, например, изгиб консольной балки швеллерного сечения в плоскости Оху (рис.
7.52, а). Характер распределения касательных напря- с жений в поперечном сечении швеллера такой же, как и в двутавре. В стенке швеллера действуют касательные напряжения т„„, а в полках — касательные напряжения т „„. Эпюры этих напряжений приведены на рис. 7.52, б. © Оз Равнодействующей касательных напряжений в стенке является сила Рмс. 7.52 Т, (рис. 7. 53), которая практически равна поперечной силе Д, [Т, - Д,).
Касательные напряжения в полках приводятся к равнодействующим силам Т,. Нетрудно видеть, что поток касательных напряжений дает момент о~носительно центра т, тяжести сечения, вызывающий закручивание стержня. Таким образом, если линия действия силы Р проходит через центр тяжести сечения О, то балка будет испытывать изгиб с круче- " ' б' нием, что является нежелательным. Ъ Установим положение точки плоскости, при прохождении через которую линии действия силы Р поток касательных напряжений не будет вызывать закручивание стержня.
тк Очевидно, что такая точка А расположена на оси Ох левее стенки швеллера (рис. 7. 53), Ряс. 7.53 поскольку при этом равнодействующие касательных напряжений Т, и Т, будут давать моменты разных знаков относительно точки А. Составим уравнение статики 2. М„= О, Т, е — Тз Ь = О.
Отсюда находим координату точки А Г Ь е= — '- т, 157 ГЛАВА 8 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ а) Рва 7.54 М=) т(г) с7г. с (8.1) 158 Если линия действия силы Р будет проходить через точку А, то стержень будет испытывать только изгиб. Поэтому точка А называется центром изгиба. В общем случае центр изгиба не совпадает с центром тяжести сечения и его положение подлежит определению. В некоторых случаях положение центра изгиба устанавливается без предварительных вычислений. Для сечений с двумя осями симметрии, например, для двутавра (рис. 7.54,а) центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.
Это имеет место также для так называемых кососимметричных сечений (например, для показанного на рис. 7.54,б «зетового» сечения). Для сечений в виде тавра и уголка (рис. 7.54,в,г) центр изгиба находится в точке пересечения средних линий элементов сечения. Момент касательных напряжений относительно этой точки равен нулю.
8 8.1. Внутренние усилия нри кручении Кручение стержня вызывается действием нагрузок, дающих моменты относительно его оси. Такие нагрузки называются скручивающими. Они могут быть сосредоточенными и распределенными по длине стержня. Например, на рис. 8.1 показаны сосредоточенные скручивающие моменты М, и М„приложенные в сечениях г = а и я = о и скручивающая нагрузка т(х), распределенная на участке стержня от с до К Ее равнодействующая равна Кручение, как основной вид деформации, характерно для элементов машиностроительных конструкций, таких как валы двигателей, осн моторных вагонов и локомотивов и т. п. з х »си) В строительных конструкциях кручение может иметь место при пространственной работе а ,н, и элементов стержневых систем, что в большинстве случаев является нежелательным. Рассмотрим стержень, най- кк ходящийся в равновесии под действием произвольных скручивающих нагрузок !рис.
8.1). к, и, Для определения внутренних Риа 8.1 усилий в стержне применим к нему метод сечений и рассечем его в произвольном сечении х. Влияние любой из отброшенных частей стержня можно заменить только одним внутренним усилием— крутящим моментом М„=М,. Для его определения соста- вим уравнение равновесия оставшейся левой час~и стержня (рис. 8.1): 2 М,=О, М„+Ма — М,=О, М„=М,— Мг. Таким образом, крутящий момент в поперечных сечениях стержня определяется как сумма скручивающих нагрузок, приложенных к одной из его частей. Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он стремится повернуть оставшуюся часть стержня против хода часовой стрелки !рис.
8.2,а,б). В общем случае крутящие моменты переменны по длине стержня. Закон их изменения можно изобразить графически с помощью эпюры крутящих моментов. Для правильного построения эпюры М„надо знать дифференциальное соотношение между крутящим моментом н распределенной скручивающей нагрузкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
