2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Первый ийдекс у коэффициентов Пуассона обозначает направление поперечного сужения, второй — направление действия нормального напряжения, вызывающего поперечное сужение. Например, величина ††"'с1 представляет собой Е У Г1З ч ч„ У У ч ч ч, ч г* у 1 Оо =3-сгоео. бб 2 (6.27) На основании (6.10) и (6.11) (гоб З(1 — 2ч) сг г 2Е (6.28) 1 сг'о = - сг к. 2 (6.29) 114 относительное поперечное сужение в направлении оси Ох, вызванное напряжением ст . Сравнивая (6.21) с (6.20) и учитывая свойства взаимности коэффициентов оп=ад, получим следующие три соотношения, связывающие между собой постоянные упругости: (6.22) Е, Е, Е, Е„ Е„ Е, Отсюда следует, что для ортотропного материала из 12 постоянных упругости, входящих в равенства (6.21), только 9 являются независимыми. 8 6.5.
Потенциальная энергия деформации Внешние силы, приложенные к телу, совершают работу на вызываемых ими перемещениях. В результате этого происходит накопление потенциальной энергии деформации, которая при удалении внешних сил расходуется на восстановление первоначального недеформированного состояния тела.
Если тело при нагружении испытывает только упругие деформации, то потенциальная энергия деформации численно равна работе сил, затраченных на деформацию тела. Энергия,накапливаемая в единице объема тела, называется удельной энергией. При одноосном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия деформации определяется по формуле (3.30) В общем случае трехмерной задачи выражение для можно записать в виде 1 ~Уо — — -(о„е„+ ог е, + о, е, + т„г у„, + т„у„+ т,„у,„). (6.23) 2 Это выражение называется формулой Клапейрона.
Удельную потенциальную энергию можно выразить через напряжения, если в (6.23) подставить значения деформаций из закона Гука (6.7). После несложного преобразования получим сго — — — [сз г+ сг гг+ сг г — 2ч (о „о, + сз, о, + о, о „) + 2 (1+ ч) (т г, + ° 2Е + тгг,+т г„) ~. (6.24) Для нахождения полной потенциальной энергии, накапливаемой в теле, необходимо произвести интегрирование по всему объему 1' тела (г=()) (г, ((. (6.25) У В дальнейшем при рассмотрении вопросов прочности при трехосном и двухосном напряженных состояниях нам потребуется представление удельной потенциальной энергии в виде двух слагаемых: энергии изменения обьема (р~~ и энергии изменения формы сг$. Оо= сг о + сГо.
(6.26) Такое разделение энергии на две части необходимо, поскольку, прочность материалов в основном определяется энергией формоизменения. Энергия изменения объема на прочность существенно не влияет. Величина (Г~~ находится как половина суммы произведений соответствующих компонент шаровых тензоров напряжений 6 4.3) и деформаций 6 5.3) аналогично выражению (6.23) Величина сг'3 может быть найдена как половина суммы произведений соответствующих компонент девиаторов напряжений (4.14) и деформаций (5.21), или путем вычитания выражения (6.28) из (6.24) (або= (.Го — (.Го~= — [(о,— сг,) +(сг — сг,) г+ +( „о )г~+ (, г +. г +.г ) Выражения (6.24) и (6.29) более просто записываются через главные напряжения Оо= — [о с+ог+ сгг — 2ч(сг, сгг+ ог о.э+ сгг сгг) ~; (6.30) г г г 2Е сг'$ = [(сгг ог) г+(сгг оз) г+(стз сгг) г 3 (6 31) бЕ Рис.
7Д Ряс. 7.2 Рис. 7.3 Ряс. 7.4 Р . 7.6 117 ГЛАВА 7 ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ й 7.1. Основные понятия Изгибом называется такой вид деформирования стержня, при. котором внешние нагрузки (сосредоточенные силы, распределенные нагрузки, пары сил) действуют перпендикулярно к его оси (рис. 7.1). Стержень, работающий на изгиб, обычно называют балкой.
В зависимости от способа приложения внешних нагрузок рассматривают различные виды изгиба. В самом общем случае, когда нагрузки лежат в разных плоскостях (рис. 7.2), изгиб называется пространственным. Если же все внешние нагрузки лежат в одной плоскости, изгиб называется плоским. Когда плоскость действия нагрузок проходит через одну из главных центральных осей сечения (рис.
7.3), имеет место плоский прямой изгиб. Если же плоскость действия нагрузок не проходит ни через одну из 7 главных осей сечения,, то такой вид деформирования называется плоским косым изгибом (рис. 7.4). При пространственном и плоском Рис. 7.5 косом изгибе в поперечных сечениях балки возникают следующие внутренние усилия: два изгибающих момента М„М, и две поперечные силы Д„Д, (рис. 7.5).
При плоском прямом изгибе в поперечных сечениях балки отличными от нуля будут только два внутренних усилия— изгибающий момент и поперечная сила. В примере, изображенном на рис. 7,3, это будут Д, и М,. В настоящей главе рассматривается наиболее простой вид изгиба †плоск прямой изгиб. 'й 7.Х. Типы опор и опорные реакции Для того, чтобы балка могла воспринимать внешнюю нагрузку, она должна быть закреплена.
На практике чаще всего встречаются три основных типа опор: шарнирно подвижная, шарнирно неподвижная опоры и жесткая заделка (защемление). Рассмотрим основные конструктивные особенности и реакции, возникающие в опорах балки. Шарнирно подвижная опора (рис. 7.6) допускает перемещение и балки в горизонтальном направлении и поворот балки относительно опоры на некоторый угол ср. Вертикальное перемещение о на такой опоре отсутствует (рис. 7.6,а). В соответствии с этим в шарнирно подвижной опоре возникает только вертикальная реакция, которую будем обозначать зс. Закрепление балки с помощью такой опоры накладывает на нее одну связь.
Такую опору принято также изображать в виде короткого стержня (рис. 7.6,6) с шарнирами на концах (опорная связь). Шарнирно неподвижная опора (рис. 7.7) допускает поворот балки б\ относительно опоры и не допускае~ В, линейных перемещений (рис. 7.7, а). Схематично такая опора изображается также в виде двух опорных связей (рис.
7.7,б,в). В опоре возникают две реакции: вертикальная я и горизонтальная и. Жесткая заделка (рис. 7.8) не допускает поворота и поступательного перемещения заделанного конца балки. В ней возникают три опорные Рис. 7.12 Рнс. 7.11 (7.1) ЕМ"'=0 или ХМ~в=О. Р .7ДО Рис. 7.9 119 118 реакции: вертикальная Я, горизонтальная Н и реактивный момент М (рис.
7.8,а). Жесткая заделка эквивалентна трем опорным связям (рис. 7.8,б) †горизонтальн и двум близко расположенным вертикальным опорным связям. Количество опорных связей в схематическом изображении опоры равно числу составляющих опорной реакции. В балочных конструкциях встре- ф ) чаются конструктивные особен- 11 ности в виде промежуточных шар- Н Нк пиров (рис.
7.9,а). Особенностью балки с промежуточным шарниром является то, что вертикальные и горизонтальные перемещения сечений слева и справа от шарнира одинаковы, а углы поворота различны. Таким образом, в шарнире имеет место скачок угла поворота Л<р (рис. 7.9,б), а изгибающий момент равен нулю.
В зависимости от конструкции и расположения опор различают следующие основные типы балок. Однопролетная двухопорная балка (рис. 7.10), у которой одна опора шарнирно неподвижная, а вторая — подвижная. Такая конструкция позволяет подвижной опоре свободно перемещаться в горизонтальном направлении. При этом в балке не возникают продольные усилия. На рис. 7.11 изображена консольная балка (или консоль); на рис.
7.12 — шарнирно опертая балка с консолями. В рассмотренных балках (рис. 7.10 — 7.12) количество опорных реакций равно трем и для их определения достаточно трех уравнений равновесия, которые можно записать для всей балки в целом: ХХ=О; Б У=О; ЕМ =О. Здесь сумма моментов берется относительно произвольной точки О, лежащей в плоскости действия сил. При отсутствии горизонтальных внешних нагрузок из уравнения ХХ=О следует, что Н=О. Два других уравнения позволяют определить оставшиеся реакции.
Чаще всего более удобно вместо приведенных выше уравнений статики использовать другую систему уравнений. Например, для балки, изображенной на рис. 7.12, для определения реакций Я„и зсв следует взять два уравнения моментов ХМ„=О; БМв — — О, в каждое из которых войдет по одному неизвестному. Балки, в ксторых количество неизвестных опорных реакций равно количеству независимых уравнений статики, называются статически определимыми.
Если число реакций превышает число уравнений статики, то балка называется статически неопределимой (рис. 7.13). В» 218 р Особый случай представляют и„° балки с промежуточными В с х шарнирами. В таких балках 1кв наряду с тремя уравнениями равновесия для всей балки в целом можно составить Ряс. 7.13 дополнительное уравнение равновесия (моментов) для части балки, расположенной слева или справа от шарнира. Так, для балки, показанной на рис. 7,9„а, таким дополнительным уравнением будет Таким образом, данная балка является статически определимой, так как для определения четырех опорных реакций я„, яв, Н„, М„имеются четыре уравнения равновесия: к трем обычным, записанным для всей балки, добавляется одно из уравнений (7.1).
й 7.3. Внутренние усилии при изгибе. Дифференциальные зависимости Как было отмечено выше, при плоском поперечном изгибе в случае отсутствия осевых нагрузок в поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия: изгибающий момент М, и поперечная сила Д,. Приведем правила знаков для внутренних усилий. Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
