2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При этом будем придерживаться правила (4.20) ау ~ а2 ~ аз 85 р„„=а1; р„=ауп; р,„=ап. (4.16) Приравнивая правые части равенств (4.16) и (4.2) между собой, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных 1, т и и: (а„— а)1+т„,т+ т„,я =О; с,„1+(а,— а)т+ с„п=О; (4.17) т,„1+т,ут+(а, — о) п= О. Из равенства (4.1) следует, что направляющие косинусы 1, т, и не могут быть все одновременно равны нулю.
Следовательно, система однородных уравнений (4.17) должна иметь ненулевое решение. Это возможно только при условии равенства нулю определителя системы: Для решения уравнения (4.18) применим следующий способ. Вычислим вспомогательные величины ~1' ~ 2'1. гу» 7»71 7,, 1И а = ~12 — -1 1~; Ь = — — + — — —; соз <р = 31 3 ) 27 6 2 )д~ /)д) Теперь корни уравнения (4.18) можно вычислить по формулам: 13'=2 + Да(соз — ~+ — ' 3 61 сгд=2 + дУга!соз — "+ — ' 3 6/ о "' = — 2 + д1) а) соз ~ — — ' 3 6/ Ь»» Ьу» Л, и»» и» (4.21) где л11 — — — (оу — о;) т„,+т„,т„; Л21 = — (и„— су1) т„+ т„,т„„ Л1 = (о„— о1) (оу — су1) — т 2,; Д.=~~*.~з'.»-3» Найденные по формулам (4.21) значения направляющих косинусов позволяют определить направления нормалей к главным площадкам.
Эти направления будем называть главными направлениями. Покажем, что главные площадки взаимно перпендикулярны. Подставим в (4.17) значения направляющих косинусов, соответствующие первой и второй главным площадкам: (»у„— о',) 11+2,т, + т„,п, =0; туу11+(гуу 01)уп1+хууп1 0» Знак перед корнем должен совпадать со знаком Ь. В соответствии с (4.20) наибольшее из этих напряжений будет о„а наименьшее — суз. Определив значения главных напряжений, из (4.17) с учетом (4.1) можно найти положения каждой из трех главных площадок, то есть определить 11, т;, п1 (1=1, 2, 3).
Для этого следует подставить последовательно значения су1 в какие-либо два уравнения (4.17) (третье является линейно зависимым) и, решая их совместно с (4.1), найти соответствующие значения направляющих косинусов. Выражения для 1;, т1, по можно получить, используя известные из математики формулы Крамера: т 11+2 т1+(о — о1) п1 = 0; (о„— о2)12+2„„тз+т„,п =0; ту„!2+(о — а2)тз+т„п2 =0; 12+т тз+(о — о2)п2=0. Умножим первые три равенства соответственно на 1„т„ пз, а вторые три — на — 1„— т„— и, и сложим все шесть равенств. В результате получим (су2 О1) (11 12+ т1 т2+ П1 п2) — 0 ° Считая, что в общем случае сгз~пз, приходим к равенству 1,12+т,т +п,п =О, которое, как известно из аналитической геометрии, справедливо, если две площадки взаимно перпендикулярны. Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого являются главными площадками.
Располагая оси координат по главным направлениям 1, 2, 3, то есть вдоль ребер этого параллелепипеда (рис. 4.8) и учитывая, что на главных площадках касательные напряжения отсутствуют, вычислим по формулам (4.19) коэффициенты уравнения (4.18): 11 =о1+о2+пз, ~2 ~1~2+~2~3+ОЗО1~ 13 о 1с"2оз Поскольку величины и направления главных напряжений не зависят от выбора Рис. 4.8 системы координат, а зависят только от нагрузок, действующих на тело, то коэффициенты 11, 1„ 1з уравнения (4.18) в данной точке тела так же не изменяются при повороте осей, Такие величины называются инвариантами. Будем называть 1,, 12 и 13 соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. Значения главных напряжений определяют вид напряженного состояния в точке тела.
Существует три основных вида напряженного состояния: трехосное, при котором все три главных напряжения су„о„суз отличны от нуля; двухосное, при котором одно из главных напряжений равно нулю, и одноосное, при котором только одно из главных напряжений отлично от нуля. О виде напряженного состояния можно также судить по значениям инвариантов тензора напряжений. Так, например, НРН 13 †в напРЯженное состоЯние ЯвлЯетсЯ двУхосным, так как при этом один из корней кубического уравнения (4.18) равен НУлю. Если же 1, =1,=0, то равны нулю два корня уравнения (4 18), и напряженное состояние является одноосным. 87 из <"з т ив н 2 — "=0; — "=О. дт ' дл Рис. 4.10 Рис. 4.Я 88 Вычислим нормальные и касательные напряжения на произвольной наклонной площадке, взяв в качестве исходных оси, совпадающие с главными направлениями 1, 2, 3 (рис.
4.8). Тогда, считая, что 1, т и п являются косинусами углов между нормалью к рассматриваемой площадке и главными осями и учитывая, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, из (4,6) и (4.5) с помощью (4.3) и (4.2) получим а„=а,1г+а,т +азпз; (4.22) (аз аз) 1 т +(аз аз) т п +(аз аз) п 1 Первое из этих выражений с учетом (4.1) представим в виде а, = а, (1 — т ' — п ') + а, т '+ а, п '. Исследуем это выражение на экстремум. Необходимыми условиями экстремума являются Используя эти условия, приходим к уравнениям (а,— а,)т=О; (о,— а,)п=О.
Поскольку в общем случае а,Маг~аз, получим т=п=О, 1=1. Найденные значения направляющих косинусов соответствуют первой главной площадке (площадке, перпендикулярной к оси 1). Это означает, что а,— экстремальное напряжение. Аналогично можно показать, что два других главных напряжения также являются экстремальными. Учитывая правило (4.20), можно утверждать, что а, является наибольшим среди нормальных напряжений на всех возможных наклонных площадках, проходящих через данную точку. Соответственно аз — наименьшее напряжение. Аналогичное исследование на экстремум касательного напряжения т,„ из (4.22) показывает, что эта величина достигает экстремальных значений на площадках, расположенных под углами 45' к главным площадкам (рис.
4.9). Эти напряжения выражаются через главные напряжения по формулам е,— оз пз из. пз — пз тзз= — ' тгз= — ' тзз= — (423) 2 2 2 Согласно условию (4.20) наибольшим является напряжение 8 4,5. Двухосное напряженное состояние Пусть одно из главных напряжений, например, оз равно нулю. Совмещая ось Ог с третьим главным направлением и учитывая, что на главной площадке касательные напряжения отсутствуют, получим (рис. 4.10,а) а,=о,=О; т„,=т„=О. (4.24) Пользуясь общими формулами (4.6) и (4.7), определим нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой составляет угол и с осью Ох (рис. 4.10, б).
Направляющие косинусы нормали м и касательной г к этой площадке будут соответственно равны 1=созсс; т=соз(90' — сс)=япсс; п=О; 1,=сок(90'+и)= — япсс; т,=сози; п,=О. Подставляя эти величины в (4.6) и (4.7), предварительно заменяя 11 на г и учитывая (4.24)„получим о'„= а„соз з и+ а, яп г и+т„яп 2и; 1 т„= — — (о „вЂ” а„) яп 2и+ т „, сок 2и.
Эти же формулы можно получить, если составить для элемента, показанного на рис. 4.10, б, уравнение суммы проекднй всех сил на направления к и о,+а,=а„+а,. а„=о,сов сс+огяп и„ г г а,— аг т,„= — яп 2и. (4.30) и! — ыг б н (4.31) (4.27) г„„ г„„ 18иг= ", гдссг= о, — а,. а,— а, (4.28) Рис.
4.11 91 Определим напряжения на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением 0 а касательная — с направлением ч (рис. 4.10, в). Эта площадка перпендикулярна к рассмотренной выше. Очевидно, что в этом случае в формулах (4.6) и (4.7) следует произвести замены направляющих косинусов 1 на 1„ т на т, и наоборот. В результате получим а,=а„япги+а,сов'и — т„,яп2и; т„=т,„. (4.2б) Последнее равенство выражает закон парности касательных напряжений.
Сложив выражения для а„и а„получим Таким образом, при двухосном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений, действующих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, является инвариантной величиной. Для определения двух главных напряжений при двухосном напряженном состоянии воспользуемся уравнением (4.18), которое с учетом 1, =О сводится к квадратному уравнению аг — 1,а+1г=О. Инварианты тензора напряжений, входящие в это уравнение, в соответствии с (4.19) и (4.24) равны г 7г = а„+ аг,' ~(г = айаг — тиг .
Решая с учетом этого полученное квадратное уравнение, найдем величины главных напряжений Положение главных площадок при двухосном напряженном состоянии наиболее просто может быть найдено из уравнений (4.17), которые в этом случае принимают вид (а — а)!+т „т=О; т,!+(а,— а) т=О.
Из этих двух уравнений независимым является только одно. Воспользуемся, например, вторым уравнением. Учитывая, что (=сохи, а т = яви и подставляя в него вместо а последовательно значения аг и аг, найдем углы наклона и1 и иг нормалей главных площадок к оси Ох: Согласно определению касательные напряжения на главных площадках равны нулю. Положив во в~ором из равенств (4.25) т,„= О, можно получить другую формулу для нахождения положения углов наклона нормалей к главным площадкам: 1я 2сс = — '" (4.29) а„— а Если исследовать на экстремум выражение (4.25) для Йг„ нормального напряжения а„, то условие —" = 0 приводит ва к равенству (а„— а„) зги 2и+ 2т „„сов 2и = О, которое равносильно равенству (4.29).
Отсюда следует, что на главных площадках нормальные напряжения экстремальны. Для определения экстремальных значений касательных напряжений и положения площадок, на которых они действуют, запишем формулы (4.25) для напряжений на наклонной площадке, взяв в качестве исходных главные направления 1 и 2 (рис. 4.11, а). Учитывая, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, получим Из (4.30) следует, что касательные напряжения достигают своих экстремальных значений на площадках, расположенных под углом +45 к главным площадкам. При этом величина наибольшего касательного напряжения равна Нормальные напряжения на этих площадках согласно (4.30) равны (4.32) 2 Рассмотрим два частных случая.
Рис. 4.12 Рис. 4.14 Рис. 4.13 Рис. 4.15 92 93 Чистый сдвиг. Чистым сдвигом называется напряженное состояние, при котором на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 4.12, а). Положив в формуле (4.27) а„= а, = О, а т„= т, найдем величины главных напряжений при чистом сдвиге: а, 2=+1. Зная а, в, из (4.28) найдем углы наклона главных площадок: 18а,=1; 18и2= — 1, и,=45", сс,= — 45 . Таким образом, чистый сдвиг эквивалентен комбинации двух равных по величине и противоположных по знаку главных напряжений а, = т, а1 = — т 1рис. 4.12, б). Площадки чистого сдвига наклонены по отношению к главным площадкам под углами и= ~45'.
Одноосное напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает, если только одно из главных напряжений отлично от нуля. Этот случай соответствует, например, задаче центрального растяжения и сжатия, в рассмотренной в главе 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
