2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Рассмотрим пластину в виде а а длинной полосы (1» 1г ) толщиной Ь= ! (рис. !7.19). К верхней и нижней .й граням полосы на малом участке е т длиной 2а (а«1) приложены один) аковые по величине и противоположно направленные равномерно распределенные нагрузки с), симметричные относительно сечения х=О. Рие. 17.г9 Вследствие симметрии задачи функцию напряжений и нагрузки необходимо представить в виде разложений (17.39) и (17.40) в ряды по косинусам.
Учитывая, что нагрузки д действуют только в пределах участка — а<х<а, по формулам (17.42) получим й ! ( ва Во = — с)с)х йй —; 2! й й г( гд. В„=- с)сов) „хс)хйй — яп 1.„а. й Граничные условия на нижней и верхней г.рапях пластины для л-ных членов разложения записываются в виде у=+Ь, суг„"1= — 11„; тс„"гг=О. Дальнейший ход решения задачи впало~ ичен рассмотрен- ному в предыдущем параграфе примере.
-1,5 -1Д -о5 0 -3-2-1 0 ! 2 3 * Тимошенко С. и., Гульер Дж., Теория упругости, «Наука», М., !975. Запишем окончательное выражение * для напряжений о, действующих вдоль линии у = 0: е ! к, и (ягг 2г», гг ж 2ь„гг ) В предельном случае, когда размер а мал (а « Ь ), можно получить решение для полосы, нагруженной двумя самоуравновешенными си- Р лами Р = 21!а. На рис.
17.20 приведена эпюра напряжений о„действуюпгих е .е вдоль линии у =- О. Эта эпюра демон- 1 ЕЕ стрирует принцип локального эффекта Сен-Вена~а, который можно сформулировать так: если к весьма .чилой Н ггв часлги слепа прийгозгсена система си,чоурасаговсчиспных сия, то она вызывает наггругогсеггия, быстро затухающие по мерс' ус)а.геггггя от мести лризгозгсения этих сил. На рис. 17.21, а приведен второй частный случай, когда 1«11, что соответствует центральному сжатию стержня прямо- Рие. г7.20 угольного сечения. В этом случае формула для напряжений ое в произвольном поперечном сечении ст ержня имеет вид р 2Р стк = — — — ~г — -- — -'" ~(Х„Ь с)г ), Ь+ 5)г Х„Ь ) с)г Х„У— 2! кй л(5112!.„гг «2Х„Ь) — Х„у 5)г )с„Ь 5)г Х„у 3 сов Х„х. (17,47) На рис.
17.21, б приведены полученные с помощью этой формулы эпюры напряжений ст„для трех сечений стержня, находящихся на расстояниях 11'2, 1 и 21 оз торца. Величины ординат даны в долях от среднего значения о,р —— Р Р, соответствующего равномерному распределению напряжений по площади поперечного сечения. Из этих эпюр видно, что по мере удаления от места приложения силы Р распределение напряжений по сечению быстро приближаегся к равномерному и практически становится равномерным на расстоянии, равном ширине сечения 21.
Заметим. что приведенное решение не пригодно для сечений, находящихся в непосредственной близости к точке приложения силы Р. Если центральное сжатие стержня осуществлягь с помощью какой-либо другой нагрузки, равнодействующая которой равна 372 373 ГЛАВА 18 Рис. 17.21 ,О; у=г пО. (18.! ) ,Ь2« 'С Рис. 1Я.! 375 б) зпювы б~ в сеч.г-г ЯД«2«е Р Г г «РГ е,2 в сеч.я-я 0,его~(1 в сеч.з-з "'~пп~Ь Р, например, с помощью двух сил, каждая из которых равна Рг2 (рис. 17.21,в), то распределение напряжений ст, в тех же сечениях 1 — 1, 2 — 2, 3 — 3 будет иным.
Однако, на расстоянии 2I от торца распределение напряжений по сечению 3 — 3 будет практически равномерным. На этом основании принцип СенВенана можно сформулировать в такой трактовке: депгальный способ приложения нагрузки сказываепгся на характере распределения напряжений лишь в области, близкой к месту приложения нагрузки, и практически не влияет на напряжения в т<>чках, доетаточгго удаленных от места приложения нагрузки.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ О 18.1. Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах Во многих случаях, когда тело ограничено поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями, плоскую задачу теории упругости удобно рассматривать в полярной системе координат.
Совместив полюс полярной системы координат (г, 9) с началом декартовой системы координат (х« у), а полярную ось — с осью абсцисс Ох (рис. 18.1), нетрудно установить связь между координатами произвольной гочки М в этих двух системах координат: Обратные зависимости имеют вид г=„к~+у', сок О=-= '; ейн=-'= '— .—... (18.2) Г 2Х2« 22 гу2 Уравнения плоской задачи теории упругости в полярной системе координат могут быть получены путем преобразования уравнений главы 17 с использованием зависимостей (18.1) и (18.2), Однако, более просто вывести все уравнения непосредственно в полярной системе координат.
Уравнения равновесия. Выделим из нагруженного плоского тела бесконечно малый элемен~ абес1 (рис. 18,2), образованный двумя концентрическими окружностями с радиусами г и «+ аг и двумя лучами, проведенными под углами О и 9+сИ к осн Ох. Толщину элемента примем равной единице. (18.3) иг с с'0 Рис. 18.2 ии и Ь вЂ” исг — и ддс -ии, иг ди Сг ид с1г с1г х о г) еВе 84 Ь сСО сУО с10 яп — = —; соя — =1, 2 ' 2 Рис. 18.3 377 376 На гранях ась и аЬ элемента действуют радиальные о„и тангенциальные ое нормальные напряжения и касательные напряжения т„,= т,„, а на гранях Ьс и сс1 эти напряжения получают соответствующие приращения.
Кроме того на элемент могут действовать по направлениям г и О составляющие ст и О объемной силы, Проектируя все силы, приложенные к элементу, на две взаимно перпендикулярные оси О'и и О'с, проходящие через центр тяжести О' элемента, получим < сди„ ди, . с!0 о„+ — "й ) <г+сЬ ) йΠ— о„гссΠ— ~ое+ — --ссй)сЬ яп —— дг сО ) 2 ДО с дт~ '~ дО аΠ— пей яп — +~ т„,+ — "'с/О) й-сок — — тгесЬ-сох — -+ЛгсЫО=О; 2 1 " дО ) 2 2 < с:ае ИО до 1с ао, ое+ — „— ссО й соа — — оей.сов — + те.+ —,'й (г+й)ссО— дО 2 с'г дъ, 1 .
с70 с70 — те,ЫО+ т„,+ —,'-'с10) с1гяп — +т„,сЬ-яп — +ОЫгсКО=О. ) Отбрасывая в этих уравнениях слагаемые, содержащие произведение трех дифференциалов независимых переменных г и О, и полагая в силу малости угла О после деления всех членов на площадь Ыгсс'0 элемента аЬссс получим уравнения равновесия для плоской задачи в полярных координатах дг г дО Геометрические уравнения. Рассмотрим перемещения и деформации бесконечно малого элемента аЬсй (рис. 18.3), Перемещение и произвольной точки тела в направлении радиуса называется радиальным перемещением, а перемещение и в направлении, перпендикулярном к радиусу — окружным перемещением. Относительное удлинение а„стороны аЬ элемента называется радиальной деформацией, а относительное удлинение се дуги ас1 — окружной деформацией.
Относительная угловая деформация у„е представляет собой искажение прямого угла Ьай Рассмотрим каждый вид деформации по отдельности. Относительное удлинение стороны аЬ (рис. 18.3, а) равно разности перемещений точек а и Ь в направлении радиуса, деленной на первоначальную длину аЬ=йт а-> —. г<0 — е < > <Из — аа, 00 Ов аг< г«0 1 ав г <О Е е Е,=,; хг>= —. 1 2 ! (18.7) ье< Ов +ее = + «> <г> и 1 де > г 00 (18.8) Учитывая, что де ЬЬг < ц+ — „<!г; ЬЬ4 = ииг = Щ Ь з Ьв = >)><Ь. =- гЬ", да а ! <и уге + д г г гО да а ! <и уге + г> г г <".О <'и Ог = <г и 1 де ее=-+-' —,' г г сО (18.4) Рис.
!8з5 Рис. 18гя 379 378 ОкРУжнаЯ ДефоРмапиЯ ее пРоисхоДит по ДОУм пРичинам вследствие перехода дуги иг<'= ЫО на окружность болыпе! о радиуса г'=с+и (рис. 18.3,6), в результате чего длина ду>и становится равной и><1> =(с+и) <>О, а относительное удлинение а, гй — аа< (гз- и) г/Π— гг>0 и ее а<1 гг<0 г и вследствие разности перемен!ений точек и и и' в окружном направлении (рис. 18.3, е): Г!олная окружная деформация равна ПРи опРеДелении Угловой ДефоРмаЦии Уге = О<->- (3 (рис. 18.3, д) изменение длин сторон элемента иЬс<1 с точностьи> до величин высшего порядка малости можно не учитывазь.
Поскольку смещение элемента как жесткого целого в направлении радиуса не вызывает искажения его углов, то радиалыц>е перемещение и точки и на рисунке не показано. Жесткое вращение элемента вокруг полюса О на угол О«=->>г вызываез поворот стороны иЬ на тот же угол. Рассматривая рис. 18.3, г, найдем Ьз Ьз <<з ггз ЬЬз — ЬЬз — Ьз Ьз <<2 из у„е — — с<+ (3 = 180<+ 18 (3-- + — — — — ' + а Ьз агдз а Ьз азг>з да и>г«>э= — '0<0; игЬз — — гзгг; иггг<г=иЫ=гИО, дО после простых преобразований получим Выпишем все три геометрические соотношения Закон Гука.
Уравнения закона Гука в полярных координатах получаются из соответствующих уравнений в декартовьг координатах заменой индексов х и у на г и 9. Для плоского напряженного состояния прямые (17.17) и обратные (17.18) уравнения закона Гука записываются в виде 1 1 ! е„=-(а„— чав)' ее= (ав ва„); Угв= тге' (18 5) Е Е аз=,(г.„+хгсе)' ав=,(ее+ хге„); тге=Оуге (18.6) Соответствующие уравнения для плоской деформации можно получить из (18.5) и (18.6) путем замены постоянных упругости Е и хг на приведенные постоянные упругости Е, и х<, определяемые по формулам (17.8) Связь между напряжениями в декартовых н полярных координатах.
Выделим из плоского тела два бесконечно малых элемента в виде призмы с основаниями, имеющими форму прямоугольного треугольника (рис. 18.4 и 18.5). Грани АС, ВС и А'С', В'С' элементов параллельны осям Ох и Оу декартовой системы координат. Грань АВ на рис. 18.4, перпендикулярна, а грань А'В' на рис. 18.5 параллельна радиальному направлению полярной системы координат. Выражения для напряжений аг, а„ т„, через напряжения а„ а„т„, получаются из формул (4.25), (4.26) заменой индексов » и г на г и О и угла и на 0: а„= а„сов' 9+ а, яп ' О+ т„, яп 20; ав=а Яп О+о сов Π— т Яп20 с „, = — — (а„— а, ) яп 20+ т „, соз 20. 1 Эти выражения можно вывести, если спроектировать все силы, приложенные к граням элементов АВС и А'В'С', соответственно на радиальное и окружное направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
