2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Кроме того, необходимо учесть объемную силу, равную объемному весу материала плотины Х= у,. Возьмем функцию напряжений в виде по ли нома третьей степени (17.26), удовлетворяющего бигармоническому уравнению (17.22) при любых значениях коэффициентов. По формулам (17.20) найдем напряжения: р„„=о и . 17.1З о„=с,х+Йзу; от=азх+Ьзу'* т,= — Ьэх — сзу — у,у. (а) (в) 365 Входящие в эти формулы постоянные определим из граничных условий на вертикальной и наклонной гранях.
На вертикальной грани имеем у=О, о,= — ух; т„,=О. Используя формулы (а), найдем а,= — у; Ь,=О. С учетом этого формулы (а) для напряжений примут вид =сзх+!/зу; о = — ух; т „= — (сз+у!)у. (б) Нормаль з! к наклонной грани не параллельна осям координат. Поэтому необходимо использовать статические граничные условия в общем виде (17.12); р„=о„!+т„,т; р,„=т„!+о,.т, где (ж) (и) — т,„яп и+ о, сов и = О. — о„япи+т„,сохи=О; Решая эти уравнения, найдем (к) аз = уз с!я и — 2у сф' и.
е 3 = у с1й' и — у,; (г) 1 у'=у — - х1я и, 2 Ж= — -у,х тяи; 2 2 367 1=сох(з,х)=сох(90" +и)= — япи; т=соз(ч,у)=соки. Поверхностные нагрузки на наклонной грани отсутсгвуюг Поэтому р„„=р,„=О. С учетом этих равенств соотношения (в) принимают вид Подставляя в эти равенства выражения (б) и учитывая, что уравнение наклонной грани у=хгяи, получим (ез+!13 !йи)хв1пи (с!+у!)х1висози О1 (е +у,)хтяияпи — ухсози=О. Запишем окончательные выражения для напряжений: (устюги у )х+(у стйи 2устйзи)у о,= — ух; т„,= — уу старз и.
Интересно сравнить полученные результаты с решением по формулам сопротивления материалов. Для этого выделим из плотины полоску шириной Ь = 1 (рис. 17.14) в и рассмотрим ее как консольную балку переменного сечения. В поперечном сечении балки, находящемся на расстоянии х от свободного конца, возникают три внутренних усилия: поперечная сила, равная площади треугольной эпюры гидростатического давления Д=-ух; ! 2 (д) продольная сила, равная весу треугольной призмы (е) Рис.
17.14 изгибающий момент, равный сумме моментов двух сил: силы Р,=Д„приложенной в центре тяжести треугольной эпюры давления, и силы Р,= ~ Ж~, приложенной в центре тяжести треугольной призмы с эксцентриситетом 1 е=-Х1яи относительно центра тяжести рассматриваемого сече- б ния (заш грихованпого на рнс. ! 7.14), то есз ь Л 3 ! .3 2 М = — Р,-+ Р,е=- — — ух + —,у2х. 1я 3 б 12 Согласно формулам сопротивления материалов о,=-'-+ — 'Уи; ос=О; т„=-- ' * Ф Ф~,,„Дя ',"'(с') где у" — переменная, отсчитываемая от центральной оси О= поперечного сечения; Е, У и о';"(у") — соответственно площадь, момент инерции сечения и статический момент отсеченной площади: бл3 Р=Ь) = гяи у =-бл = — 'х'тя'и; !2 !2 ~'-"(..")=- -'- — (у)' =- -- гтй' -(у")' Координаты у и у" произвольной точки поперечного сечения связаны между собой соотношением Подставив формулы (д). (е), (ж), (к), (л) в (и), после простых преобразований получим о „= ( у стя 2 и — у, ) х+ (у, с!я и — 2у с!я ' и) у; о,.=О; т„,.= — Зустя и! ! тди — — 1.
Для горизонтального сечения, находящегося на некотором заданном уровне х=сопзц на рис. 17.15,а,б изображены эпюры напряжений, полученные соответственно по формулам теории упругости (г) и формулам сопротивления материалов (м) при следующих исходных данных: и = 30', у = 1О кН1м ', у,=20кн; з Сравнивая формулы (г) и (м) и соответствующие им эпюры, приходим к следующим выводам. Формулы для напряжений о„. в обоих решениях совпадают.
Напряжения стх, которыми в сопротивлении материалов пренебрегают, имеют одинаковый порядок с напряжениями о„. Эпюры касательных напряжений т „полученные по формулам теории упругосзи и сопротивления материалов, отличаются между собой не только колнчес1- венно„но и качественно. Следовательно, расчет по формулам а) а а) а (ус182 — у ) =О, г4-2Хзг'+).4=0 Таким образом, при в плотине не будет. ЗЬ, ~ ~зал Х 1ох пал б'я '1ах, бв Рис. 17.15 сопротивления материалов для рассматриваемой задачи неприемлем При заданном угле и=30п эшора напряжений ап со стороны вертикальной грани имеет растянутую зону, что для хрупкого материала нежелательно. Растягивающих напряжений можно избежать соответствующим выбором угла О1.
Положив в первой из формул (г) У==О, оп = О, получим уравнение из которого при заданных ранее величинах у и у, и х~О найдем 182 и=- ~ =0,5, а=35". 71 и > 35" растягивающих напряжений 1р(х, у)лп ,'1„ф„(у)сох).„х, (17.35) .=О где — (17. 36) Очевидно, что функция 1р может быть взята в виде суммы выражений (17.34) и (17.35). Если подставить один член ряда (17.34) в бигармоническое уравнение (!7.22), то получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции 7'„(у): Уъч(,) 2)„2У-~ (,) 1)4У-(,) 0 (17.37) Соответствующее характеристическое уравнение имеет два действительных кратных корня 11 12 п.п 13 14 )'л. 8 17.8.
Решение плоской задачи с помощью тригонометрических рядов Выше мы рассмотрели решение двух задач об изгибе тонкой полосы (балки) прямоугольного поперечного сечения. Для расчета консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой, оказалась подходящей функция напряжений в виде полинома четвертой степени, для свободно опертой по концам балки, находящейся под действием равномерно распределенной на1рузки,— полипом пятой степени. Повышая степени полиномов, можно получить решение задач для более сложных случаев нагружения полосы. Например, с помощью функции напряжений в виде полинома шестой степени решается задача об изгибе консоли нагрузкой, изменяющейся по линейному закону.
При нагрузке, изменяющейся по квадратичному закону подходит полипом седьмой степени. Однако, решение в полиномах применимо только для случаев нагружения балки непрерывной по всей длине нагрузкой, закон изменения которой может бы гь аппроксимировал целым алгебраическим многочленом. При действии на балку более сложных нагрузок, в том числе прерывистых (рис. 17.16), функцию напряжений можно представить в виде тригонометрических рядов по синусам или косинусам: 1р(Х,У)пл ~ 7„(у)яПХ„Х; (17 34) В соответствии с этим общее решение уравнения (17.37) можно представить в виде Л (У) = С1л С1" )~и У+ С2л 5114лу+ Сзи» С)З )'лу+ С4пу 5)т )"иу Таким образом, решение, соответствующее одному члену разложения функции 1р в ряд по синусам, имеет вид 1Рп (С1 п С11 ) и У+ 6 2 л 511 )и У + Сзи У 1 11 ) и У + С 1л У 5)1 )л У ) Знз ) л Х~ (17.38) а при разложении (17.35) в ряд по косинусам имеем 1Рплп(2)1„сЬ).„У+02лзЬ) „У+)72„УсЬ)лУ+)74лУзЬ) лУ) сох) „х.
(17.39) Произвольные постоянные интегрирования, входящие в (17.38) и (17З9), находятся из граничных условий на верхней и нижней гранях пластины. Для этого необходимо внешнюю нагрузку д(х) также разложить в тригонометрические ряды по синусам или по косинусам; 2)(х)лл ', А„япХ„х; д(х)= 2 В„созХ„х.
(17.40) л= 1 и=а Если начало координат выбрать на левом конце балки ы) (17.44) Рис. !7.17 (17.45) (17.411 (17.42) (ЕЗ2) Рис. 1?Л8 371 (рис. 17.16), то козффициепты разложений (17.40) определятся по формулам ! 2 ! Ап=- ~ д(х)япл„«17«; о ! 1! 2( Во — — - — ~ г! (х) г7х; Вп»х — ~ у ( «) соя ».„Ы«.
!~ ' " 2~ о о В гех случаях, колла приложенная к балке нагрузка симметрична или ш1гисимметри пга относительно средне! о сечения (рис. 17.!7,!1,!! ).,1ля упрощения расчета ось О! следус! совместить с осью симметрии балки. Тогла в случае симметричнойй нагрузки ! (' А»=0„' Во= — ~ !)(х)!Ь«; В»хи ~ !1(х)созлпхг!х, — 1 — ! а в случае антисимметричной нагрузки ! Ап=- ~ !1(х)з!ил»Ых; Во — — В„=О. (17.43) — ! Напряжения в балке определяются по формулам (17.20). В качестве примера рассмотрим порядок расчета полосы, имеющей поперечное сечение в виде узкого прямоугольник» единичной ширины (рис.
17.18). К верхней грани полосы приложена распределенная нагрузка д(х), а по торцам — касательные силы. Функцию напряжений возьмем в виде ряда по синусам (1734). Найдем решение, соответствующее произвольному и-ному члену ряда (!7.38). Подставив (17.38) в (!7.20), получим выражения для напряжений 370 »2 Ох 2 [С1»~ п СЬ)»У+Сги 7» ЗЬ ~»У+ Сзп)п К ду' х (2 ЗЬ ).„у+ Х„У сЬ Х„у )+ С4„Х„(2 сЬ Х„у+ +Х„УЗЬ)!.„У)1 яп) „х; 22 !т',"'= —,"= — (С,псЬ)!.»У+Сг»ЗЬ л„У+ !Зх2 + Сз»УСЬ 7»У+ С4»У ЗЬ ) »У) Уп Яп) пх; аг,у «ха = "= — [С1» ".п ЗЬ 7.»У+ Сгп ) п СЬ ).»У+ Сз» к хду х (сЬ)'»У+л»УЗЬ л»У)+ С4»(ЗЬ л»У+ + л„у сЬ л„у)) л„сок Л„х. Этим выражениям для напряжений соответствует и-ный член разложения (17.40) нагрузки в ряд по синусам !7„(х)=А„япл„х, где Ап определяется по первой из формул (17.41).
Постоянные интегрирования, входящие в (17.44), определяются из граничных условий на верхней и нижней гранях балки: ! Ь1 Оу !7» тху О! у=Ь о!."1=0; т'п'=О. у ху Подставив в зти равенства выражения о!у"!, т'„",' из (17.44) и !)„из (17,45), получим следующую систему четырех уравнений: Суп СЬ )! и Ь+ С2» БЬ Хи Ь+ Сзи Ь СЬ Хи Ь С4» Ь ЗЬ ) и Ь =— С1» СЬ Хп Ь + Сги аЬ Хп Ь + Сзп Ь СЬ Хп Ь + С4» Ь ЗЬ Хп Ь О! Сг„у..
ЗЬ Х„Ь вЂ” Сг„у „сЬ л„Ь вЂ” С,п (сЬ л„Ь+ Х„Ь ЗЬ л„Ь)+ + С4» (ЗЬ л„Ь+ л„Ь сЬ л„Ь ) = 0; С1»~ п ЗЬ ~ и Ь + С2» )хп СЬ Лп Ь + Сзп (СЬ У»Ь +»и Ь ЗЬ !хп Ь ) + + С4„(ЗЬ у.„Ь+ л„Ь сЬ Х„Ь) = О. Решая зту систему уравнений, найдем постоянные С1»> Сгпи Сзп> С4». Рассмотрим граничные условия на левом и правом торцах балки. Как видно из (17.44), граничные условия для нормальных напряжений ах тождественно удовлетворяются, так как при х=О и х=7, о»=0. Первое, пятое и шестое слагаемые в последней формуле (17.44) образуют сам оуравновешенную систему касательных напряжений т„„так как в верхней (у> — Ь) и в нижней (у<!1) частях сечения эти напряжения направлены в противоположные стороны.
Второе, третье и четвертое слагаемые дают на торцах касательные напряжения, уравновешивающие заданную нагрузку 11. Складывая решения, даваемые несколькими членами рягвц можно определить напряжения в балке с необходимой точностью. ~ 17.9. Обоснование принципа Сен-Венанв В качестве важного приложения решения плоской задачи в тригонометрических рядах можно привести исследование локального эффекта Сен-Венана 8 !.3 и 0 3.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
