2-4_vardanyan_sopromat1995 (772708), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поскольку углы между линейным элементом и касательными к изогнутой срединной поверхности пластины остаются при изгибе прямыми, сдвиги в поперечных плоскостях Охз и Оу= полагаются равными нулю: >4 3923 (20.1) 4>7 Рассмотренная гипотеза является по существу обобщением известной в сопротивлении материалов гипотезы плоских сечений 2.
Длина линейного элемента при изгибе не изменяется. В соответствии с этой гипотезой можно принять е, = — = О. (20.2) 3. Взаимное давление меэссду продольными слоями пластины отРне. 20.2 сутствует. При этом напряжение сз„характеризующее это взаимное давление, принимается равным нулю: о 2 = О. Аналогичная гипотеза вводится в теории изгиба балок. 4. Перемещения пгочек срединной плоскости в направлении осей Ох, Оу (продольные перемещения) полога!отея малыми величинами в сравнении с прогибом и в силу этого не учитываются.
Таким образом, принимается, что и(х, у, 0)=0; о(х, у, 0)=0. (20.3) При этом в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения (сжатия) и сдвига, то есть она является нейтральной. Расчет пластин на основе рассмотренных выше гипотез достаточно прост и позволяет получать доступные для инженерной практики решения. Эти решения и будут рассмотрены в дальнейшем.
Отметим, что теория изгиба н устойчивости пластин составляет большой раздел прикладной теории упругости и строительной механики и ей посвящена обширная научная и учебная литература *. ~ 20.2. Перемещения и деформации в пластине при изгибе Введенные гипотезы позволяют выразить перемещения и и о (рис. 20.3) через прогиб пластины. В соответствии с формулой (20.2) прогиб не зависит от координаты г, то есть н =н (х, у). Подставив в формулы (20.1) соотношения Коши, получим ди дч 'у = — + — =0' дс дх ди дн т„ = — + — = О. дс ду * См., например, Тимошенко С. П, и Войноиекий-!кригер С.
Пластинки и оболочки.— М.. Физмахгиз, 1966. сьеаиннкн плоскость Проинтегрировав эти равенства по переменной г, находим дн и= — г — +)2(х, у); дх ди о = — г — +)"2 (х, у), ду где ),(х, у) н ),(х, у) — произвольные функции, появляющиеся прн интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных. Для определения этих функций используем условия (20.3) Рне. 20.3 и (х, у, 0) =); (х, у) = О; о (х, у, 0) =)2 (х, у) = О. С учетом этих условий формулы для перемещений и и о принимают следующий вид: дк~ дь и= — г —; о= — г— дх' ду (20.4) Определим линейные и угловую деформации: де д'2с ду ду' ' дсп дх ду дц дсч ах=== — г —, ох дх' (20.5) дн до 'у„= — + —.
=— ду дх й 20.3. Напряжения в пластинах при изгибе. Дифференциальное уравнение изгиба пластины е Е2 / д~~ дсп ! о.„= — (ах+па )= — -1 — +ч )1; 1 — ч' " 1 — е'1 дх' ду') ' е Ес ~д~п д'и ! о. = (а,+чек)= — — — ( +ч г); У 1,2 2 х ! 2 д 2 д 2 (20.6) Ес дсп т„,=бу„= —— 1 ч- ь дхду Для определения напряжений в пластинах используем формулы обобщенного закона Гука, в которых положим о,=О. При этом с учетом формул (20.5) получим 410 419 14ь хг г. 2(! чг) ( 4 /дх (20.7) 2(! — ч')( 4 г) ду Рис. 20.4 дх„до.„дх„, дг дх ду до, дх„„дх„„ дг дх ду г=+-, т„,=0.
Ь ( / дх,„дх,„! о,= — ~(( '"+ — '"10!г+14(х, У)= дх ду г) 420 421 Как видно из формул (20.6), напряжения о„, сг, и т„, изменяются по толщине пластины по линейному закону и равны нулю в точках на уровне срединной плоскости. Характер изменения этих напряжений показан на рис. 20.4. Касательные напряжения т, и т„, в соответствии с формулами (20.1) должны быть равны нулю. Однако, в общем случае нагружения пластины это противоречит условиям ее равновесия, так как поперечная нагрузка может оказаться неуравновешенной. Для определения касательных напряжений т„, и т„, можно использовать первое и второе дифференциальные уравнения равновесия (16.1) без учета объемных сил.
На основании первого уравнения запишем Подставив в это уравнение выражения (20.6) для напряжений сг„и т„,, получим Упростив это равенство и произведя его интегрирование по переменной г, находим т„,=т,„=, — 17 ич+.~з(х, у), Ег .д г 2(! — чг) дх где ч г — дифференциальный оператор Лапласа, 7з (х, у) — произвольная функция, для определения которой используем условие отсутствия касательных (сдвигающих) нагрузок на внешних поверхностях пластины: Использовав эти условия, получим Еьг д (э(х, у)=— 8(! — ч') дх Аналогичные выкладки можно произвести на основании второго дифференциального уравнения равновесия (16.1).
В результате получим следующие формулы: Касательные напряжения т,„и т„изменяются по толщине пластины по закону квадратной параболы так же, как касательные напряжения в балках прямоугольного сечения при изгибе. Максимальных значений они достигают в точ- О ках срединной плоскости. Эпюры касательных напряжений т,„и т„приведены на рис. 20.5. о В соответствии с гипоте- Ф х зой об отсутствии взаимного давления между продольФ гг с ными слоями пластины на- я г г пряжение о, положено равным нулю, что позволило ~гч упростить закон Гука.
Однако,это противоречит граничным условиям на внеш- Рне. 20.5 них поверхностях пластины при наличии распределенных поперечных нагрузок. Для определения о, используем третье дифференциальное уравнение равновесия (16.1), в котором объемные силы положим равными нулю. На основании этого уравнения за- пишем Подставим в это уравнение формулы (20.7) для касательных напряжений т,„и т„, и проинтегрируем его по переменной г: Ег Ь г ) г 2(1 — ч~) 4 3 / Ч Ч и+уй(х, у). Ь г= — —, а,= — д(х, у); Ь г=-, а,=О. 2 еЬЛ вЂ”, Ч Ч и+74(х,у) — — о, 24 (! — гг) (20,8) еяз 24(1 — ч~) —,Ч'Ч'и +~4(х,у)=0. Ь/2 5„, = 5,„= 5 = ) т„, Жг; — Ь12 Ь!2 Л1„= ) а„гЫ; — Ь/2 Ь12 Л',= ) ауЫ2; — Ь12 — — 1 — 3-+4:, .
(20.9) (х,8) Л12 М„у — — М,„=Н= ~ т„,гсов; -Л12 Ы2 Ь12 М„= ) а„гг12; М = ) аунг; — Ь!2 -Ь12 Л!2 Ь12 Д„= )' т,„~й; Дг= ) т„о12. - Ь!2 -Ыг (20.13) для напряжений (20.6) и (20.7) Подставляя сюда формулы и учитывая, что Ь/2 ь,г ог=л; ) гог — Ь/2 -Ыг 1Р =О; ) гь1 =— -Л12 Рис. 20.6 422 423 — —,+ —, Ч и — — г г12+уй(х, у)= Здесь 1~(х, у) †произвольн функция. Считая, что пластина находится под действием распределенной поперечной нагрузки д(х, у), приложенной к верхней поверхности пластины, а нижняя поверхность свободна от нагрузки, поставим следующие граничные условия: Использовав эти условия, получим Сложив эти уравнения, находим С учетом этого выражения формула для напряжения а, принимает следующий вид: Нетрудно видеть, что напряжение а, изменяется по толщине пластины по закону кубической параболы так же, как в балках прямоугольного сечения, находящихся под действием распределенной нагрузки.
Характер эпюры а, показан на рис. 20.6. Расчеты показывают, что в тонких пластинах напряжение а, значительно меньше напряжений а„ и а, и им вполне обоснованно можно прейебречь. Вычитая одно из другого уравнения системы (20.8), получим РЧ2Чги =д(х,у), (20.10) где обозначено гг= (20.11) 12(1 — н~) Величина О называется цилиндрической жесткостью пластины.
Запишем уравнение (20.10) в следующем виде: Ю вЂ”, +2,, + —, =д(х,у). (20.12) Это дифференциальное уравнение является основным уравнением, описывающим изгиб тонких пластин. Оно часто называется уравнением Софи Жермен — Лагранжа. й 20.4. Внутренние усилия в пластинах при изгибе. Дифференциальные соотношения Приведем действующие в пластине напряжения к равнодействующим. Для этого выделим из пластины элемент с размерами Ых, Ыу, л и покажем действующие по граням этого элемента напряжения (рис.
20.7). На площадках о1Г„= Ыу Ыг и ь(Г, = Ых Ж эти напряжения создают бесконечно малые нормальные и касательные силы и моменты относительно осей Ох и Оу. Рассматривая силы и моменты, приходящиеся на единицу ширины сечения и суммируя их по толщине пластины, получим Мг Р':г+г М,= — Р— '",+.— ',; (20.14) М„,=М,„=Н= — Р(1 — ч) —,; д р уг дх Рис. 20.8 Д = — Р— Ч~гч. д ду Рис. 20.9 425 получим следующие выражения для внутренних усилий: Внутренние усилия Ж„, Х, и э действуют в срединной плоскости пластины и называются нормальными и сдвигающей силами. При поперечном изгибе пластины эти внутренние усилия равны нулю. Величины М„, М„Н, Д„и Д, являются внутренними усилиями, действующйми в сечениях пластины, перпендикулярных к срединной плоскости, причем М„и М, называются изгибающими моментами, Н вЂ” крутящим моментом и Д„, Я вЂ” поперечными силами.
Харак- с(х тер действия этих внутренних с(0 усилий показан на рис. 20.8. Индексы и знаки у внутренних усилий соответствуют индексам и знакам у напряжений, равнодействующими которых .М они являются. На рис. 20.8 пока~0 залы положительные направления внутренних усилий.
Согласно формулам (20.14) гх внутренние усилия выражаются 8 Ггв через прогиб пластины. Следова- г „='Г2к тельно, они являются функциями с(Г„ переменных х и у. Величины изги- бающих и крутящего моментов, Ряс. 20Л отнесенные к единице ширины се- чения пластины„имеют размерность силы (например, кН м/м=кН), а поперечных сил — размерность распределенной линейной нагрузки (например, кН/м) Между внутренними усилиями и распределенной поперечной нагрузкой д(х,у) имеют место дифференциальные соотношения, для вывода которых надо рассмотреть уравнения равновесия бесконечно малого элемента срединной плоскости пластины (рис. 20.9,а). Выделенный элемент должен находиться в равновесии под действием внутренних усилий и распределенной нагрузки, причем внутренние усилия на противоположных сторонах элемента отличаются друг от друга соответствующими частными дифференциалами (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
