РТЦиС Баскаков.С.И (557461), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ввиду сравнительно Волынок энергии каа а юекгромягннтного пол» (фотовгб здесь прннпяппально необходимо учитывать слепв4пчссквй хаянто ый шум. Вщенпюсп Современнее теория веравтнасюй пролет ввяег собой яксномэтщяровэнную ветвь математики, обобщнвшую аупгярный эмпврнчсакнй материал, накопленный наукой лрв юучевнн рэзносбрпных случайных явлеюй. В основе теория всролпкюгсй лепят понятие полного множестве «элементарных находов» нэк алучяйньлг сабытнй й = (Ао Ап..., А„..).
Символы А, оэнэчяют щпютмопные нахалы некоторого случайного экслервмегпа. Капдаму сабытвюд,ай сопоставлена вещественное чнсло Р(АВ которое няэыяэетсл ееуолмлосмью этОГО событнх Прпннмэются следующие якспомыг 1) вероягпашь неотрвцетглым н ве превмшает еднвнныг ОП Р(А)П П 2) если А, и Ат — нсаовмсстпмые сабытне, та Р(А, »- Аг) = Р(АА+ Р(А ); 3) сумма всех сабытпй, аодерпэщнмп и й, ссгь ластаяернсс событие: 1бй)'» 1(АТ)« '+1(1)'» Иэмеуещс всуехтксспй. Эщтемвючсскаа ванятке ераятнастя случайного сабмткв являетая эбстрэхткой характеристикой, прнсушай ке сэмнм юиершующям нас объектам материальною море, в нх тсорсппо.мнопественвым моделям. Треб)ется кехотарос дополнительное соглэшаяне длл того, чтобы мопво была ювлекэть свсдення о верокт.
костях щ экснервмснгэльньп дэнньп. Общепринято оценнявть юролтнасть аабытня отноалтелыюй частотой блэгалрпятных находов. Еглн проведено И нсэввнснмых нспьпвннй, причем в л «з ннх наблюдалось аобьпвс А, то эмнвркчесия (выбо)юшэя) оценке вероятпастн Р(А), которую манна лалучнгь из этой сернв, пмовэ: Р ,(А) л/Ю. Акшюмы теорпп верацтяощей быля п(нйпйлвргюэны в 30-х годах экядемщюм Андреем Нико лвеввчем Кал (1903 — Ж~~ Обычно палвгвют, что Р Р, аслп 'нмлв ппгьпвнпВ Аг то Г Х 141 СТ л уецютс ходвчу 1 Пд пу Г1. Сяг „е «» Ы Осы эю япм«ою :д жг А).
'Мую П у эумю уг о Т юу. я» ейг Ю д юо я«яс Эмямщ яя юя с аю д.м пняэ у Е уа «,едою ну о Г ду рг д т. Преляо, с:, щляэяя 1ОО неэтеяо ашпсе, мм 13 рээя нэб л н бьгпп А, а П ряэ- аб А. Н ссатв гсг-. (б1) эмлервчгсп\с опсяхв ера м ей Р (А,)=О»3 Р (лб=цэг. Пэ лэняык оя э и «юлга, гю «мс о тятям лолквм быт т ар п«ксх с орах н ятях аобышв. с орсе л . т яьрямппэ р г о, бнтея Р гх: Р(А)=У(А,)=О.Х Оииаю е ке и ЯР ч»скис ц ыгчя с р нюсоа а ыпп, о этэ молл« яо.м д у, лоллоп бги яер г Глава С. Омсам сот т а * мп Фумщкв рапймлещав» и »латы«та вервтвесгя.
Пусть К вЂ” слу ай»ае еслач«нс, т.с, совокушпкть вссвозмомкьп еещссг ев»ых чшел к, пр»юсчвющвк случайвме ткаченка Исырпываюпгсс спасские сгкпптяческкх свойств Х ьюшю получать, располагал ясслучайкой фуякцасй р(к) аещссгэевного ергумевта к, которая раааа всрояпюсги того, что случаупюс числа ю Х примет значение. Равиое пчк меньшее «оютмтяаго хг Р[л)-Р(Х««), случайная вслячи ла Фуаюз»а Р(х) называется функчиаа ресарс)слсми слу- чайноВ веакчюш Х. Еел» Х момет прюппл»ь любые за»- чван», то р(х) »алке сл гладкой пеубы ающсй фулпшсй, зяачевпа которой левш яа отрезке 0« Р(к) «1.
Имс« лу ц ° ) л р гр(- )ъар( )=Г. Прокзводввв от фулкцая распре«еленка р(к) = бр/бх ссгь гыоммюль раслрсдсле»«л ееролмиосп (пл», короче, »лплиоспь епюлм»сю»к) двя«ой с»укгб»ой ее«пса»ы. Очсвцйло. по р(л) бх = Р(х с Х 4 к о дл), фу»квак распрсхс плог посс ь верея~ »ест» т. е. вслачява р(к)дх есть еровпюсп попаванкя случайной »елвч»вы Х в полуюпервал [х, х о бх).
Для»спрсрьмкой случайной валат»вы Х плотною ь вероятности р(к) прсштаалжт собой глаакую фувэшпо. Если мс Х— дяскрегааа случали «сл»ч»яа, првввмаьэщаа фккспроввввыезпаче«кя(хъхъ...,х„.,,)свсроатяасшмв(Р Ръ-.,р -) соотвстствсвяо, та длв мсс плопюсгь «сро»тлосш выра«естся «ак сумма дельта-фуякцвйг р(х) = г Руг(х — юь д решптс згщачт 2 Черт» шпрггу озал»лет а»ей»я»ге уо. рсгяцэшгг»о ыпоам «тку всходов случайвых вшпп»пей В обоях случаю плопюсгь верояглостп дол»ты быть ксотряцатгльвойг р(х) дб я удовлепюр»ть усэоаюо корм»- ровс» ) р(. Усуеавгшк Мммпты елу мйвэй амюшпь Реэульзатам« этпмримеатов кэл случайвымв вслачявамп, кэк прав»по, саумат средяле звачспла шх»лк алых фуюяай ог »тех велич»п Если гр(к) — аз»селга» фувкцля от к (пошла случайного испытая»Х тс, по апрсдедеваю, се среднее зпэчсккс 1 «[к) ( гр(х)р(к)дх.) (62) Следует заметать следу«мпег ваябольшпй вшад а орел»ос зкачевце дают т учасг осл к, где оююврсмевяо велик» «ак усрсд«камаз фу»клял П (к), твк к плотность вероатш«г» Рфф В статистической ралпотехвякс шаро«о прлмсвяютса особыс чвслоаые харюггсрэспмв случвйвык велич»«, мтзымммые ях моэм»ма».
мсмавт его п рсята сл)майкой ее- ал. Ом ыныс аакпп а *спыпск кск !ЗЕ нячавы Х есть арсднсе значмше нй атспевн случайюй псременюйг щ, х' ( х'р(к]дх. мамшп с.чучайвсй величины Матемнтвчшкае Озпщвшш вбабО(н. ет в вершшпаствем смысле навязав кредита арвфма- «власте» арсдввм шныратом епучйдгой «елвчвнм. Используются тапке Ве мрасьнмс мопслм» случайяык всннчпв. залаашмые алегпнлпсй абщсВ бюрмулойг р„=(к — йр / (х — хрр(х)д». (бб) днсперсвп Вазшейшай псатральный момент — тю всзывсеыа» днслсрОгл и.'=Ю-(кх-х)з. (бу) Очевндна, чго и» = «с — уха+ Дс хс — (В)с. (бй) Всчнчвва и т. и квадрстнмВ юреаь ю двспсрснв, иазывастш срсднкл кса)рапюаскнл оппюнеявсм, юппхы сс)шш даа капнысгаеннаго опнсшпм меры разброс» результатае отдельньп алучайнык испытаний отнаппгльво математвчсскага оюппвва Рсвааамунае ршпределсюа Пусть вашпораа случайвал слачюп Х мопчт прппамать значения, прнвадлезшщне пппб отлсыУ х, <к Пасс, пРнчем всРаатаасгн пгсшдаюи а лгсбмс аяугрсввне «втсрналы Однвакоаой пшрвны Ьк равны.
Тшю плотность всршпнасгя среннпсвадрат яче- псос атюаненне ( (( х<хг, Р(х)=~ 11(тз хг). «г <х Пко О, к>щ. бгункпвю рссщмлсленва наколет пупм ввпгрнрававнаг г О,л<хь Р(х) )р(()4(= ',х,ба<ха, 1, х>х. и резвые зад чн 3 яд Проспйшам «влаегса момент первого порядка, тю называемое мпясмпяяческсс охшдаиис гпг к ) хр(х)бп (бд) катарас слунзп теарспгпссай агрнюй среднего значения случайюй вслвчваы, получаемого в ластаточяо абшврньп ссрпск гюяытснвВ, Момент второго порщка мз =хс ) хзр(х)бх (бу) Гааза а.
Оаюзп сев сатвасм* а в удатсмапюесксе оипщиие ! ( хчх, х к да хз — тс 2 ссгссппвио совпадает с дсвг!юм отрезка сх хз). Как легко праваркю, дисперсии случайюй асса,юиы, сщеющей равно арапе распредсаевве «сроагиостп, о', = (хз — х,)'/12 Гауссаво (нармпсщпзФ (исабедвесщк В ксеркс свучайиьп сигналов Фуплвмапальиее зиачсиие имеет саусоио всмиюсал мрс папсюпл Г [х — ю)*1 р (х) — езр 1С вЂ”вЂ” )/2пе содсриащая даа чиюювых параметра ю п а.
График дивной Фулющи предегаалжт собой колоколообразвую щювую с едввстасщппс маюимумом в точке х =ю (рвс 6!). Нщасредсгаеищм вычислеввем мокло )бсдатьсв, что параметры гауссовв рзщревслсллв к еют смысл соответственно мат атпчсского олиыщпв в дисперсии; ! = ю! аз аз * Фуикпи» распределеииз гауссовой случайной величины (6.9) Р(х) — ~ щр[ — — з — ~дб Замена персмевиой с =(б — ю)/о лает 1 /х — ю! Р(х) = — ~ екр(-ссс )дс Фг(- Зисов Ф-хорошо изучсиисл незлсмсвтарпал бувклии, так называемый интеграл всролтвосгей [151: 1 Ф(к) = — 1 ехр(-сз/46с, )/2в (6.10) Следует обратить милю!щепа те, чтв врв умевмиеющ а график все бщме щкщащуеыа в окрееавсези тОчки к = сп -щ -ьо -вз в пз сп сл рис.
ей Г!мб гю й стассп мч мтвюп рс рплачвьи ав арсз аа г 65. Гагюшпс м в н нх оь о 14! — 241-Ш -1Н -05 О. 05 Рнс 62 Граф с фрпп в р свтювппс» гвугпнсн лучанвон вс е- нсы Гра(яп Фуакцик Р(х) (рне. 62) нмест внд мояотоняоб крн об, нтмснюошебся от мула до славины. Плопюсгь шреатаоспг Фуашнп от шбпабнг61 нслашн» Пуеть У вЂ” случвбнеа вслнчнна, саятапная с Х одвогначноб Фунхнноналапоб талненмосгью сада у = у"(х). Попалсавс случабаоб точки х в ннтершл юнрююб бх н попадясас случайной точка у в атвсчаюшнб ему внхервсл шнрнноб (бу! )У"(х)(бх ншаютея зквпвалентнымн собьпнамн, ноя ому вероатноспг вх оюшдаютг р,(л)бх р„(у))бу!. Отсюда (6П) сг где х Х(у) — Функпня, обратнва по отношснню к у=у(х) Еслн Фуакнношиьвая связь мснду Х н У вогдноэначна, так что югсется вееюлько обратньп ФуюшнВ . г =Вг(ук хг =бг(у), ..., т«бь(у), то Формуха (6.11) обобшаегса еле.
дуюшам обрпомг р„(у) ~рг(кг)! — — (, (652) пю р фд. д сс срюсусюмюс гау и 1 я с аююь Пупь У= Х+Ь, ря малогапгь скот мп Г ( -пу') 2.(6 = — 'с Ьгдяво 2о та» се !с ~су! гбс! о с основ (610 И а аусссе харакпр схучавюс пр лявсано нр абри аюп о рсаасгю. В, с: учсввс в рюуль аге е а арссор е, ь г атсмвп се*се ов д с у Ьч-по л арс о* ао д рмшпс замечу 6 гз2 Г аээ Э. Опсз в'ч с твввмэ злое Хзрштермтаюкяюа фуяквпп В зсоргш верон попый большую роль вгрвсг ствтвшнчесхос срелвее вцзх Э(э) =екрйвх) ) р(к)е"*дх, (а(З) называемое хсрекюсрвсювчэогон фул Ювсп случайной ешн- чннм Х.
С точвсшью до хоэффяппевтэ фувкцнв Ю(е) есть прсобрззовзнне Фурье от плотвосгн всроятяоств. поэтому р(х) = — Э(е)е г бе. 2к (6.14) Опусшя элемевтерныс вышюдкэ, приведем некоторые рсзультяты; для свучзйвой велвчзшс равхомйвво рзспрелювввой пв отрезке О 6 х ф с, Е(э) (юш(ргз) — 1)ГОш)1 (а)з) для гсуссовой слуюйвой вслнчнны с зсдвввммн пврвмстрзмв ю, с Ф() = (Р— *.*П) (аи) располагая хараатернсткюсшй фувкцвсй, пегш нвйтн момюпы случайной велнчвяы. Дсйстснтельно, тзх «эк 6,„Д ~ эбр(х)еь бц 6'Э то, полагая здесь е О х срсзнввзя результат с (63), нвзо- нны нв =/ "Фээ(ОЬ !6!Ъ д решите залечу 7 урви ад Пусн у пьес х д Юэ сспэг, с «м р к-звс э учмюаа с кв, у ро уэ еугэсм я вняв — к*к .
Тс ээм р,(х) !/(2э) то ш,(ф- — г *рбэр.. Дш-у.(ыг.) Г тле.э — фу ю» Б хоп юр роль с нулмьзэ ввдмюн. С помощью шрзкгерньтнчссюэй фуюошн удобно тскве вменять плотюмть веров ностн оэучвйнзй «елввшы, пол. эсргвугсй фувкцн~наму прсобревмзюпа Так, если У 2(х), то Эг(е) екуфэр)=сэРГ)э7(х)з Есл» Улютсл «ычнслять прсобрззовзнве Фурье вЮа (6.14), то постэвлсвюю задаче булст решевв 141 Ис иьэуэ таблачюэй «этс ра (ээ» но«учао с ( э ! ( 1м -' ь й у ,(6= — у( У,(эббе' Ю! 2» ==,—.1«1 и и„ 1 «~~ий 1«1 > и. -о. о Юм Юа(пэ о в«т сера»те тем, что созе змлпэ«пь бо ук серию санте» «э«пса ра суча»эмы сбрэюм змбврьэ ээ аэ «ю у па«зол еб ь ю зол«часа П ссэ чаше буд рсвюпть эючсвээ, блю с»П «сэмы блюзы ««ул Саойстю случай«ы» спев»»оа ну«нато оэппыппа, |по:метр»вал вс просто те велнчавы, »сторм» наблюдаютоэ в апой-««будь момент времени, а азу»и совпуиактн этвх юллчнн, опвкпднхеэ «рюлячвым (эюсвровэнным моментам времен». Зсймсмс» теорвей пюэббньп мвотомсрпьп случай. вых вблвч«н.
Фуке»к рыл|(е»спаса» ° влатвэеп аэрппвеспь Пусть л ы | В е (ХпХ„...,Х„(, бр у рй с»у айв Ю ~ор Х. О ~~~~ ~ ер~ с«уме»э Функни» ркорелезсаа» этоса вэ»тора Р(«э,«э',«4 Р(Х,6«пХ,П«э....,Х.бх|. Отвечаююю сй «.мерка плотность всроатностн р(«п «в...,«„) удовлетворяет слеты»ясеню р(«э,хэ, ...«)6«,6чэ...б»„ Р («э < Х, б «э + 6«э,...,«„с Х б «, + 6«,1. Очес»мы, Фу«»лю раснрелеэен»э монет быль варавва вуюм юпетр»(««пню плотпптн асроатвостн Р(«э,«э,...,х| ( ° - ( р(б„б»...,Е)6(эб(э...бт Лнбс» мвотоысрвв» плопию» облэппт свойствами, обмчвыма лэа плот»оста веро»сносно РРП. в-.~4рб( (" ( р(«в«э, -,«эб«эбхз"-6п-1.
Зван в мсрэую плотпкть, всегда »юнко найт« «нюсрбло д юютность врн аэ ( э юэтэ»перу» пе э»«шлама «оорл»а»тань ээ«ээ» тдде эу й р(тэ «а . « ) ( ээ р(эсэ эээ . ° «„)6« ...6« . Вы юслвюе мпювтса. Распалив« соогютствуююсй многомерной плотиостью вероятности, можно нашдить средние зиа синя люби» аомбиивлий ю рапматризасмьп случзйнык веснчсп и, в «сгносги, вы велеть их момюпы. Так, огравичивспз, наибомс ясзным для лала»евшего слу зем двуыерной случайной величаям, по алалсппг с (66» (6.7) находим ьгатсмюггюшю Оатшюгю Х, Ц х,р(х, хг)б«г 6«з, (6.18) хз = Ц «р(«г. «Т)г)«г б«з и днссерсин оз = Ц («, — хг)зр(хг, «з)г)хг 6«ы (6.19) о( = Ц (хз — хт)ТР[х„хз)б«г без.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
