ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Каждой операторной характеристике цепи Н„(р) можно поставить в соответствие переходную Йл!, (1 — г,) и импульсную Йь, (1— — 1,) характеристики, Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной н импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем Й' (! — !ь)='У'(р)/Х; Йь (1 — 1,) —. Уь (р)/5ь. Здесь К' (р) = у' (1)1 Уь (р) =' уь (1) — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия х' (1) и хь (1) соответственно. Выражая У! (р) и У'ь (р) через операторные изображения внешних воз.
действий Х' (р) = Хе-е!* ~р =.' х (1)1 Хь (р) =- 5ь е — ен =' хь 11) получаем 11~ (1 — гч) = Н (р) Х' (р)IХ = Н (р) е-Р!а!р; Йь (( — (о) =' Н (р)Хь (р)!!5ь . -. Н (р) е''е!' (6.109) з16 При г, = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид У(1) Н ( и йь(Г) — Н(,) (6.!1О) Таким образом, импульсная характеристика цепи йэт (1) — это э функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Нк (р), а переходная характеристика цепи й)„(Г) — функция, операторное изображение которой равно Н», (р)lр.
Выражения (6.109), (6,110) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику й», (1), можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи Нь„(р)=~ е — "йь,(г')Ж, о а по известной операторной характеристике Нэт (р) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи ае+! э й~~ (1) = — ~ ег' Нэ (р) др. 2я) а,— !» Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками й'(1 — 1,) = —" йз (г 1,). (6.11() йг Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени.
В связи с тем что переходная характеристика цепи й' (1 — 1,) численно равна реакции цепи иа воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции й~(1 — 1,) прн г г, равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как Ь' (г — 1,) 1 (1— — Г,), а не Ь' (г — 1,). Заменяя в выражении (6.111) й' (г — 1,) на й'(à — Гэ) 1 (1 — Г,) и используя соотношение (6.103), получаем "' (г — г.) = †„ (й' (г — г.) 1 (г — гэ)1 = 1 (г — гэ) :< Я~ '4 Х вЂ” 'й'(à — Г,)+и'(à — Г,) 6(à — 1~ = 1(à — Г,) —" йт(à — 1,)+ !' Н о о ' э +(ь (Г Го)Ъ|=цб(1 1о) (6.112) Выражение (6.112) известно под названием ф о р м у л ы о б о бШ е н н о й п р он з в од н о й.
Первое слагаемое вэтомвыражении представляет собой производную переходной характеристики прн 1) ) г„, а второе слагаемое содержит произведение 6-функции на значе- 317 ние переходной характеристики в точке 1 =- 1,. Если при 1 =- 1, функция й' (1 — 1) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит б-функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке 1 = 1,. Если функция Й' (1 — 1,) не претерпевает разрыва при 1= 1„т.
е. значение переходной характеристики в точке 1 =- 1в равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной. Определение временнйх характеристик линейных цепей Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на иее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов.
На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение времен* ных характеристик в этом случае начинается с составления оператор. ной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику Л„(р), соотвстствующую задайной паре: внешнее воздействие на цепь хв (1)- реакция пепи уе (1). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (б.!09) или (6.!!О), определяют искомые временные характеристики.
Прн качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при 1Е ) 1о, 1ос (цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи инд ктивностей и нап яжения емкосте" и и этом с тся на значение, соответствующе е посту. пившеи в цепь энергии. На втором этапе (при 1 ) 1„) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (прн этом соответствующие источники энергии выключены, т. е.
представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекакзщие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса, Таким образом, импульсная характеристика пепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рас. сматриваемой цепи. Следовательно, прн переходе Пепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процесесевмЬр ь— ° ФФФФ Пример 6.Х Лля цепи, схеяа которой приведена на рис.
2.12, а, найдем переходную и импульсную хириктеуистики в релсиме холостово хода на зажимая 2 — 2' Внешнее воздействие ни цепь — напряжение на зажимах 1 — 1' х (1) =' ив реакция цепи — нипряжение на зажимах 2 — 2' у (1) = ив. 3!8 Операторная характеристика данной цегги, соответспюующая указанной паре: внешнее воздействие иа цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.6: Р Пьч (Р)=Кггх (Р) =- Р+/!/Е Следовательно, операторные изображения перекодной и импульсной корок.
териспшк цепи имеют вид И (Р) йг (1) =.— = Р Р+й/1- й (1) =,и (р) =: р /7 ! р+/7/Е Е р+/7/Е Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см приложение 1), перекодим от иэображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.18, а, б): /гз (1) = — е Ц~/~; /гв (1) — 6 (1) — /! е Я~/~/Е.
Заменяя в полученных выражениях 1 на / — /ь, находим временные характеристики цепи при !ь чь О: /г1 (1 — 1 ) =-е г! сг гьггЕ /г (/ /ь) =6 (1 /в) /7е Н !г гь)/Е/1. Отметим, что выраягение для импульсной характеристики рассматриваемой цепи 66 (1) могло быть получено и другим путем с помощью формулы (6.112), примененной к выражению для переходной характеристики цепи й'/. Для кичественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в рассматриваемом включении, подсыгдиним к зажимам 1 — 1' независимый источник напряжения е (1) = иг(рис.
6.18, в) Переходная характеристика данной цели численно равна напряжению иа эожимих 2 — 2' при воздей- Рис 6.!6. К примеру 6.7 етвии на цепь единичного скачка иапряясения е (/) — 1 (/), В, и нулевых печаль. ных условиях. В начальный момент времени после коммутации сопротивление индУктивности бесконечно илико, позтомУ пРи 1 /в =. О напРЯжение на выходе цепи ровно нипряжению на зажимах 1 — 1': иг)!,о — иг)г о = ! В, С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при 1 — ье. Все вто объясняет, почему перекодная характеристика начинается от значения /г~ (0) = ! и стремится к нулю при 1-»- гь.
Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению иа зажимок при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения е (1) =- =(б(1), В 3(9 Прн С 0 )О, Оь( все входное напряжение окатьмоется яриложенным к индуктивности, и ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до о+ ! Г 1 (О )= — ) и де= —, А — ь Прп г ~ Оч. источник напряжения может быть заменен коронтозамыкаюи(еа перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от «с (Оз.) до нуля, Напряжение ни индуктивности ривно нипряхению на сопротивлении А», поэтому при с > О+ выходное нопряхсение цепи изменяется от ие (Ое) = — %с (О+) = = — )И.
до нуля. й 86. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА НАЛОЖЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕИНЫХ ЦЕПЯХ Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линей ных цепях основан на использований принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь х = х (() в этом случае представляют в виде линей- ной комбинации однотипных элементарных составляющих ха ((): х (() =- 2,'аа х, ((), а а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбина- ции частичных реакций уа (() на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности: у (() = ~ а„уа (().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
