ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Е. Ващенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А.
Круг, В. С. Игнатовский, А. М.:.яррос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Канторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Микусинский, Б. ван део Поль, П. Леви. При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи н напряжения независимых источников заменяют нх операторными изображениями. Прн этом система интегродифференпиальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов н напряжений.
Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам. же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравне. ний баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к урав. пениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (! .40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями ~7,(р) =о; ~и„(р) = о. (6.59) Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1 42), то в операторной форме эти уравнения принимают внд ~~'„',(7,(р) =~ Еу(р). (6.60) 4 Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть у р а в н ениям и баланса токов и напряжений в опер а т о р н о й ф о р м е, а операторные изображения токов и напряжений — операторными токами и напряжениям и.
По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Л = Х (1ю) и комплексной входной проводимости т' = 'т' ((ю) введем понятия операторного входного сопротивления Я (р) и операторной входной проводимости )' (р). Операторным входнымсопротивлениемпассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях (6.61) г (р) = (7 (р)17 (р), где 7 (р) =,' 1(1) и (7 (р) =.' и (1) — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсннка прн 1 > 0 и нулевых начальных условиях. Величина, обратная 2 (р), называется о п е р а т а р н о й входной проводимостью У(р) = Ы(р) == 7(р) 7и(р).
Операторное входное сопротивление и операторная входиаа проводимость пассивного линейного двухполюсиика, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, ие зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрамн входящих в двухнолюсник идеализированных пасснвимх элементов п схемой их соединения, Как следует нз выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замешен и я, на которой рассматриваемый двухполюсн ик представляется сво- Рнс.
6.6. Операторная схема оямещення сопро- тнялення Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.6!), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости г. (Р) =- )7; ун (Р) = о = 11)7. (6.66) Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 6.8. Е м к о с т ь. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16); с онс ! с.
1с=С вЂ”; ис=ис(0)+ — ).(сс(1. ш с,) о Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.63), получаем 7с (р) =р С(Уо (р) — Сис (О); , (61 ис(р) = — '+ — 7с(р) Р Рь Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нУлевых начальных УсловиЯх (ис (О) = О) они пРинимают внд 7,(р) = РС(7,(р); и,(р) = 7,(р)7(РС).
(6.66) (6.67) им операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторнйми изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, та его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи. Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения 1я (Р) идеализированных пассивных двухполюсников. Е ей С о п р о т и в л е н и е.
Соотношения ия(Р) я(Р)д между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями (1.9), (1.10): ил —— = )с1а,' 1н = Сив. Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), для получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.1О) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями Он (Р) = Й(н (Р)' (6.63) (н (р) = Сан (р). (6.64) Таким обРазом, опеРатоРное входное сопРотивление Яс (Р) и опе- РатоРиаЯ входнаЯ пРоводимость емкости Ус (Р) опРеДелЯютсЯ выРаже- ииями г,(Р) =-1ЪС); У,(Р) =РС. (6.68) Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и иоследовательиая схемы замещения емкости (рис.
6.9, а, б), содержащие независимый источник тока Сис (0) или напряжения ис (О)/Р. При нулевых начальных условиях независимые истачиики тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схе- 'И 7 (Р) за УР) и.(в) %(р1 с(Р)=(Щ ыр(Р а) Рис. 6.9. Операторные схемы замещения емкости; а — параллельная нри ненулевых начальных условиях: б — нослеловательиая нри веиулчевых яачальных условиях; е — нри вулевЫх начальных условиях ме емкости остается только один элемеит — операторное входное сопротивлеиие или операторная входная проводимость емкости (рис.
6.9, в). И и д у к т и в и о с т ь. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивиости связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23): с сл ! пс=Š—; сь=1с(0)+ — ) исс(г. бх ' .Е) е Применяя к этим выражениям теоремы диффереицироваиия (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения иидуктивности в оператариай форме: (ус (Р) =- Р 1.|х (Р) — Ы,. (0); (6.69) 7с (Р) = (с (0)!Р + (уь (Р)/(РЕ).
(6.70) Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входиую проводимость иидуктивиости г,(р) =- Р(.; У,(р) = 17(рц (6.71) и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 6.!О, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещеиия иидуктивиости содержат независимый ис- точник напряжения г'.(ь (О) или тока (ь (0)(р, характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в. Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей! идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как н вмражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, н могут быть получены одно нз другого путем замены )м иа Р.
Аналогичным образом может быть получено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольноголииейного двухполюсиика, составленного из идеализированных пассивных с(ь (а) хс (Р 1ь (Р) Ь(Р) чРС (я(Р) ХЬ(Р) ЯРС "с(Р) ЩР) ф д) а) Рнс. 6ЛО, Операторные схемы замещения иидуктианости: а — последовательная ярх хчхулчьых яччальямх усхоьяях; б — пчрчллчльяья пря ненулевых яэчальхых условиях; я — яря нулчьмх яччальяых услоэяях элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
