ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 61
Текст из файла (страница 61)
° ФФФФ Пример 6.3. Определим порядок сложности цепи, схеми которой приведена на рис. б,д, а. Преобразуя участки цепи, содержащие последовател~но и пираллельно включенные однотипные реиктивные элементы (рпс, б.д, б), определяем общее число реактивных элеменпюв цепи рсс .=- б. Риссматриваемая цепь содержит один смкостнои контур, образованный емкостями Сь Ськ, и источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности Е,, Е„|.эя,), поэтому порядок сложности данной цепи не может превышатв четырек.
й 6.2. КЛАССИЧЕСКИИ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДИЪ|Х ПРОПЕССОВ Свободные и принужденные составляющие токов н напряжений Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариаитных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (см.
(1.61)1 ач — -|.а, ~ +., +а,— +ае у=1(1) .|чу йт | у йу йгч й|э — ! йГ ! равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения а, — + а, | +...+а,— +а,у=О, (6.6) йч у йч — 'у йу й|ч й|ч — 3 йГ которое получается из (1.61) при )'(1) =- О.
Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.6) характеризует так называемые с в обод н ы е п р о це с с ы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомннм, что функция Е (1) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения). Таким образом, характер свободных процессов ие зависит от вида внешнего воздействия на цеяь, а определяется только параметрами пассивных елемеитов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации. Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установивпэимся режимам работы цепей до и после коммутации.
В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, 278 свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер). Частное решение уравнения (!.б!) определяет п р и и у ж д е ни ы й р е ж и м работы цепи, т.е.
режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по перноаическому закону (сохраняет неизменное значение!, то частное решение уравнения (Е61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации. Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какой- либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной у„и принужденной уп составляющих: У = Уси + Упр. Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает 1!пз у,„=- О, поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации у„„=- 1!ш у.
с Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются,то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряженнем. Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени н для определения упр можно воспользоваться методом комплексных амплитуд, Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение упр можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов илй напряжений, Вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности.
Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда Внешнее воздействие на цепь х (() описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей у с л о в и я м д и р и ха е, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода.
В этом случае Функция х (1) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде ~уммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение у р может быть найдено как сумма мгновенных значений частичных токов илн напряжений, вызванных в установившемся после ком- 279 мутации режиме каждой из гармонических составляющих внешн г его воздействия в отдельности. Для определения свободной составляющей у„реакции цепи необ ходимо найти т корней р, характеристического уравнения а,р'+а, ~ р'-'+...+а, р+а,=О (6.6) соответствующего однородному уравнению (6.5). Когда все корни урав.
пения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид У .=А, ег ~-(А, ег '+ ... +Ате~т'= ~ч"„А; еР'', (67) т. е. каждому простому корню р, соответствует слагаемое свободной составляющей вида ю р ~ у„=А;е ', где А; — постоянная интегрирования. Если какой-либо корень р„характеристического уравнения (6,6)' имеет кратность и, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида у,'"„' = (А, + А, ~ + А, Р -~-... + А „1" — ') е" ~ ' =-- е" ~ ' ~ Ат Гг- '. (6 8) /=-! Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни р; характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): ке (у;1 ~ О, так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер.
Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами. 1. Анализ цепи д о к о м м у т а ц и и. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей ч момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (г= =0). 2. Определение независимых начальных у с л о в и й.
Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостеи в момент времени (г =' = 0,). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцеплення и электрн ческого заряда цепи.
280 Составление дифференциального уравн е н и я ц е п и п о с л е к о м м у т а ц и и (при г=э О). дифферен„иальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрическог „о равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключен„всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой ок или напряжение какой-либо ветви. 4, Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при Г- сс).
В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят прннужииую составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи). 6, Определение свободной составляющей рея к ц и и це п и. На этом этапе составляют характеристическое „равнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации). 6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.
7. Определение постоянных интегрирован и я. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их т — ! первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия пепи после коммутации. 8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям.
Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при Г) О, Переходные процессы в последовательной ЙС-цепи при скачкообразном изменении э. д. с.
Рассмотрим переходные процессы в последователоной ЯС-цепи (Рис 6.4, а) при скачкообразном изменении э. д. с. идеализированного источника постоянного напряжения Е , при г(0; е (г) =- Е,при г О. Такое изменение э. д. с. источника напряжения происходит наприме моме ер, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6,4, б, ключ 5 в омент времени г = 0 перебрасывают из положения ! в положение 2. 28! Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на за жимах источника энергии при г' ( 0 (предполагается, что до коммута ции цепь находилась в установившемся режиме).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
