ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(6.38) Здесь 1 пр — — Е 1УМв+ (спŠ— 11о1С)в — амплитуда принуждентб — (1тС ной составляющей тока; оо = агс(и К вЂ” аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи. Для определения постоянных интегрирования А„ А, продифференпируем правую и левую части (6.38) ви (О 'псв) — = о11т и сап (сп( — со) — А, (6, — )о1„) е а( — А, (6+1о1„) е (6.39) и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.36). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно А, и А„находим А (б+1тсв) Мп 12 — 1с сов Ч~ 1 1 тпр 21тсв т спв 12 †(б †(свсв) в1п т '1В . 1т по 2! тсв С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду с( св с 1 св . Г бв(пч тсовч ) ~Х 2 тсв тсв 1всв с — )псвс ) 2 т пр + ~ — — ~ гйпм„1 1 ре с'.
(6.4)) свсв С1св Предположим, что частота со внешнего воздействия близка к частоте ов„свободных колебаний, а добротность Я настолько велика, что о1„практически совпадает с резонансной частотой цепи овв. С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается: 1с =- (3!и ср соз овс( — соз со з!п спвс) 1т о е = — 1 е-о' гйп (сп 1 — <р). Таким образом, в последовательной И.С-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени.
В начальный момент времеви амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде принужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный (4 —:5) т после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, и переходной процесс в цепи можно считать практически закончившимся. Ь 2/тир /мир -гг„ Рис, 6;7. Зависимость тока последовательной мьС-цепи от времени при включении источника гармонического напряжения: а — и-м„бмв: б — и.. м„б О Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и принужденной составляющих: / =- 1 „р з(п (ы/ — гр) — /мир е е' вбп (юе/ — ~р).
(6.42) Если частота внешнего воздействия со в точности совпадает с резонансной частотой цепи гое, то входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (<р = О) и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а) ! .= 1„„,р (1 — е б') з1п юр/. (6.43) Как видно из рисунка, амплитуда тока цепи при го =- гое плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению 1 „р. Ни пРи каких значениЯх 1 амплитУда тока после коммУ- тации не превышает этого значения. 11ри включении в последовательную И.С-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не Равна ей, в цепи наблюдаются б и е н н я, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду принужденной составляющей (Рис.
6.7, б). Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока (6 = О), то нз выражения (6.42) получаем / м — ма ~ / м.4-ма 1 = 21„, он з( п ~ /)со.( ' / — р)- 2 ) 'ч 2 = 1,„(/) соз 1 — '' / — гр) . 2 (6. 44) Как видно из этого выражения, ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной, а амплитуда тока 1 (1) медленно изменяется во време- ни: 1 (1) = 21„, ~ э(п (6.45) причем максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду принужденной составляющей. Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную )с1.С-цепь обысняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных ко. лебаиий фаэовые соотношения между свободной и прниуждениойсоставляющими тока непрерывно изменяются, а разность мгновенных фаз этих колебаний (ы — ы,)1 линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз будет равна 2йп, где А = О, 1, 2, ..., сумма мгновенных значений (,„и 1,„будет максимальна, а в те моменты времени, когда разность фаэ будет равна (2А+ 1)л, — минимальна.
Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и принужденной составляющей ыа = (ы ые~. В реальных колебательных контурах коэффициент затухания б имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер. 5 6.3. ОпеРАтОРный жетОд АПАлизА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно.
Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями надих символами (изображениями).
Взаимное соответствие между функцией времени а (1) и ее изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого Ю А (р) = Ь [а (()] =]" е-зе а (() с(( (6.46) е или обратного па+!»» а (() = Ь вЂ” ' (А (р)] = — ~ еж А (р) с(р 2п] о,— !о преобразований Лапласа н указывается знаком соответствия а (() =' А (р). Функция А (р) называется операторным изображен н е м фу н к ц и и а (() или изображением функции а(() по Лапласу.
Исходная функция времени а (г) но отношению к своему операторному изображению является о р и г и н а л о м. Комплексное число р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл последнего понятия будет пояснен в следующем параграфе). К =,' К»»р. (6.48) К соответствует ум- Умножение функции времени а (!) на постоянное число йожению на это же число ее изображения: Кл (!) =' КА (р). (6.49) изображений этих Изображение суммы функций эре»лени равно сумме функций: и .ы а! (!) —.
~~ А! (р), л=! »-! (6.50) где а! (!) =' А; (р). Из курса высшей математики известно, что для функций о (г), равных нулю прн ! ( О, интегрируемых при Г ) О н удовлетворяющих неравенству еа,! где К и ое — некоторме постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при йе (р) ) ое. Изображение А (р) в полуплоскости йе (р) ) оэ является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при йе (р) — ее. На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа ]6, 7]. Операторные изображения некоторых функцяй приведены в приложении !.
Следует иметь в виду, что в ряде справочников, а частности в (6], приведены таблицы преобразовании Карсена — Хевисайда О» Ак (р) == р ] е э! а (!)»(! =рА (р), е которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множители р.
Йапомиим некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной иа р: Если начальное значение функции а (!) равно нулю а (О+) = О, то днффе. ренцированию функции а (!) соответствует умножение изображения этой функции на р(теорема дифференцирования) «а (!) — ~ рА (р); (6.5!) при а (Ое) чь 0 Ыа (8) — =,' рА (р) — а (О'+) . (6.52) Повторным применением теоремы дифференцирования, можно получить выражения для производных высших порядков: Из а (!) лиа а(!) ~ иэ =.' р (рА (р) — а (О+)) — — 1 л(! (! = о+ аа (Е) = рт А (р) — ра (О+) — — ! л( а(!) = «А ~«« — а "(~) () —,.
р и« .Юй ига — ! з=! !=о+ Интегрированию функции времени в пределах от О до ! соответствует де. ление изображения этой функции иа р (т е о р е м з и н т е г р и р о в а н н я: ) а (!) и =,. А (р)!р! о (6.53) смещению функции времени на (е соответствует умножение изображения нае э!'(теорема запаздывания): а (! — тэ) =' е '"' А (р), а смещению иэображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число )л соответствует умножение оригинала на е ! (те о р е и а с м е ш е н и я): е а (!) =.' А (р+)л).
а (г=о) — )!тп рА (р); и це р>о и ((= со)=-))и! рА (р) з о предполагается, что соответствующие пределы существуют). Если изображение А (р) может быть представлена в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней: а„р"+ а„, р" '+...+а! р+аз (6.55) О„Р"+ Ь гР -'+...+Олд+бэ А (р) М (р) причем степень полннома М (р) выше, чем степень полинома д( (р), а уравнение и(р) = о (6.
56) Значения функции времени при ! = 0 н ! = ьл могут быть найдены с по. мощью предельных соотношений ие имеет кратиых корней, то для перехода от изображеиия к оригиналу можио воспользоваться теоремой разложеиия ега г, ~ О ) . )у (ре) М(р) ' ЫМ~ '(Р Ьг Ва (6. 57) где ра — корни уравнения (6.56).
Теорема разложения может быть сформулироваиа также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена иа случай, когда А (р) является произвольиой меромарфиой функции р, т. е, фуикцией, ие имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7). Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относител но опеРаторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравне- нпЯ, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех 297 Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
