ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Во всех случаях функцил 2о„(р) илюот один полюс рхх = О.! диаграммы нулей и полюсов функции 2ох (р) для 6 ) ыо, 6 = ыь и 6( юо изображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функ. ции 2мх (р) являются полюсами функции )сих (р), а полюсы 2их (р) — пузами ) пх (Р)- Из примеров 6.6 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи.
Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. 310 й аз ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКтеРИСТиКИ линеЙНЫх ЦепеЙ Единичные фУнкции и их свойства Важное места в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми е д и н и ч н ы и и ф у н к ц и я м и. Единичной ступенчатой функцией (функц и е й Х е в и с а й д а ) называется функция ( О при с<те; (1 при(= Г,.
(6.93) При Ге = О для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1 (1) (рпс. 6.14, б). График функции 1 (г — ге) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна ! (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть е д и н и ч н ы м. Функцию Хевисайда Рнс, 6.!4.
К определенню еднннчной ступенчатой фуннцнн 1 (1 — 'ге) удобно использовать для аналитического представления раз- личных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообраз- но изменяется в момент коммутации: м ~ ( -~.) = 1 ' "'" '~"' 1 г(1) при г зт',. (6.94) где ~ (1) — ограниченная функция времени. При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего всздействия иа цепь О при г -Г,; х(г) = -( = Х =соп51 при 1~~ го (6.95) где (е — момент коммутации.
Внешнее воздействие такого вида называется н е е д и н и ч н ы м с к а ч к о м. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде С» Са+ С» С а) и са С Рнс. 6.!6. Представление прямоугольного импульса в ваде равностн двух нееднннчных скачков Если прн С =- 1, в цепь включается источник гармонического тока или напряжения О при 1~1,; Х, соз(сот+чу) при 1)1 то с использованием функции 1 (г — (е) внешнее воздействие на цепь можно представить в форме х (г) = 1 (1 — Се). Х соз (со1 + чР).
Если внешнее воздействие на цепь в момент времени с = 1а скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х, до другого Х„то х(1) = Х, + (Х,— Х,) 1(1 — ге). Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой Х и длительностью (н (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков х1 (г) = Х.1 (1 — 1е) ихс(1)=Х 1(1 — Се — 1„), сдвинутых во времени на тв (рис. 6.15, б, в): х (1) = х, (1) — х, (1) = Х [1 (1 — 1,) — 1 (1 — 1, — 1»)[. (6.96) Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью И и высотой 1/сьс (рис.
6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от М. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем прн И вЂ” » 0 она стремится к бесконечности, но пло- о(С "С ) ~( а) б) Рнс. 6Л6. К определению д»функпнн 3!2 щадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть адн н и ч н ы м и м п у л ьс о м. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 6 (! — 1,) н называется 6 -ф у н к ц и е й илнфункцией Дирака.
Итак, 6(! ) 0 прн !~Го ( оо при!=1„ (6.97) причем (6.98) При 1ч = 0 для 6-функции используется обозначение 6 (1). При построении временных диаграмм функции 6 (! — 1,) н 6(!) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком ао около острия (рис.б.16, б, а). Для установления связи между 6-функцией н единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая Х = 1/6! и устремляя 6!к нулю, получаем 6 (! — Г,) =1ип ' ( ' — 1 (à — 1„), (6.99) ас а М а! откуда (6.100) 0 при ! Л! — Ц вЂ” 1,) при 1,(1~1ч+М; при г «» то + 61- х,(!) = 3!3 Таким образом, 6-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от б-функции.
Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1 (! — 1,) и 6 (! — 1,) удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. рассмотрим, например, функцию х, (1) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям Производная функция х, (1) цо времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью И и высотой 1/Лй 0 прн г' -га; 1761 ПРИ 1 ( Г Го+М 0 при!)1а+М.
При М-о. 0 функция х, (1) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция Нх,Яà — в Ь-функцию: 1(г — уа)=11шх,(г); ьс- о 6( 1,) Вш "" (О ела Ю откуда непосредственно следует, что б (1 (о) = 1 (1 го) Н 1(о оа)= 1 6(о Го)мо. ыри выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации 1, удобно расчленять на три различных момента: — момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, 2 ) Пх,(а)/7а О оо еаои Е: в ео го+да а пУ 64 -о с.. б) Рнс 6.17, К определенна аннан между еднннчнммн функ- нннмн ㄠ— собственно момент коммутации и го †моме времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на ц„ б (1 оа) а(1 ~ 1.
(6 101) В общем случае ~ 1 при гоЕ Ро (о1' ( 0 при 7 фр„Я. (6,102) 3!4 произведение произвольной ограниченной функции времени 7 (1) на 6 (( — 1о) ~ 0 при г~г, [ ~((о)6(0) при 1=(о следовательно, 1(Г) 6(1 — г) = ~(1,) 6 (Г 1,), (6.103) Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции 7'(г) на 6 (г — 1,) равен либо значению этой функции прн К = го(если точка Го принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если 1о не принадлежит интервалу интегрирования): ' [' 1(1)6( — 1)Я=~(1о) ( 6(1 — Го)Ж=~ (6104) [ 0 при 1 ф[1,,Ц.
Таким образом, с помощью 6-функции можно выделять значения функции г(г) в произвольные моменты времени го. Эту особенность 6- функции обычно называют фильтрующим свойством. Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка илн единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу, Используя рассмотренные свойства единичнйх функций, получаем Ы 1 (Š— Го)) =- ~ 1 (1 — 1о) е о' й = $ е - М й = е Ыо|Р; о и О 1" [6 (1 — (о)] .= ~ 6 (Г го) е — о'гЫ= е — Ф». (6.105) о При 1 = 0 операторные изображения единичных функций имеют простой вид: (6.106) 1 (г) =' 1!р; 6 (() =,' 1.
Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Рассмотрим линейную электрическую цепь, ие содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок х (() -= х' (1) = Х Х Х !(1 — г ), а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях у (1) == у" (1). Переходной характеристикой й'(1 — 1) линей"ой цени, ие содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неедииичного скачка тока илн напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях: й' (à — (о) -.= Р' (1)~Х. (6.107) 315 Из выражения (6.107) видно, что Й' (1 — г,) = у' (1), если Х =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.
Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной. Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади 5ьл х (!) = хь (!) = 5ь 8 (1 — Гь) Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим у (1) = уь (!). Импульсной характеристикой Йь(1 — 1ч) линейной цепи, пе содержащей независимых источников энергии, йазывается отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты н конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях: (6, 108) (! !о) = у (1)15ь. Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно ровна реакции цепи на воздействие единичного импульса (5ь = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.
Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время Й а не угловая !» или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная)— частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временнйм характеристикам цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
