ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В качестве элементарных составляющих ха (() можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотрен- ных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили эле- ментарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции вре- мени, единичного скачка или единичного импульса. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основан- ный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бес- конечной суммы гармонических функций времени, получил название с п е к т р а л ь н о г оь> .
Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика которой й' (() известна. Пусть внешнее воздействие на цепь зада- *> Этот метод будет рассмотрен более подробно цра изучении курса «Радиотехнические цепи н сигналы», 320 ется в виде произвольной функции х = х (1), равной нулю при 1( ( 1 и непрерывной при всех 1, за исключением точки 1= 1„где х (1) может иметь конечный разрыв (рис.
6.19). Функцию х (г) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на Лт: (е)~ ь х(1) жх(Га) 1(1 — 1,)+У,Лх(ть).1(1 — та). (6.113) Здесь х (1а) — высота начального скачи'х ~ ка функции х(1); Лх(с„) ж бт —,~...ив высота скачка, подаваемого в момент времени 1 = та (на рис. 6.19 этот скачок заштрихован). В соответствии с определением переходной характеристики (6.107) реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в маь спт времени г = т„, равна произведению высоты скачка на переходи1ю характеристику цепи й ' (1 — т„).
Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6.113), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики Рис, 6.19. Представление произвольного внешнего воздействия в виде суммы неединичиых скачнов у(Г) — х(1а) йг(1 — 1а)+ ~ — ~ й'(1 — т„) Ат.
(6.114) (г=та Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в виде.(6.114), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Ьт. При Ат — 0 суммирование заменяется интегрированием: у(1) =-х(Ге) 1гх(1 — Га)+ ~ ( 1ьх(1 — т) г(т. (6.115) ,1 от заа. 566 32! Выражение (6.115) известно под названием и н т е г р а л а Д юа м е л я (и н те г р а л а н а л о же н и я).
Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие х = х (г) в любой момент времени г после коммутации. Интегрирование в (6.115) осуществляется на промежутке га ( т 1, причем выражения для х (т) и й' (г — т) получаются из выражений для х (1) и Ьь (г) путем замены 1 на т и 1 — т соответственно. С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т..е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (С) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции х - х ([) в точках разрыва, ° 1ФФФ Пример 6.6.
Найдем реакцию цепи на внешнее воэдейспыие, эидаваемое функцией Х х (С) вида (рис. б.20) 0 прн С(0; х (с) прн 0(с. св; х р) прп С "с~се; 0 прп х (с)= Ризбиеаем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интерваяами непрерывности функции х =- к (С). При С ( О реакция цепи у .— — у (С) тождестенно равна нулю (реакция цепи не может оперезсать по времени внешнее аолдейспыие на цепь).
На участке 0 ( С < С, функция х = х (С) ненрерыени, поэтому реакция цепи находится непосредственно с помощью выразсения (б.)тб) с у(с)=, (о) л р)+] йх, (т) л' (с — т) йт. йч о с, у(с)=х,(о) л р)+~ ' лв р — ) йт+ йх, (ч) о + [,г (с,) — х,(с,)] лв (с — с,)+ (' йх (т) З + ~ л(с — ч)йч. йт с, При С ) Св интервал интегрирования содержит две точки разрыва функции к (С), Для определения реакции цепи в этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на три промежутка ]О, С,[, [С„Св[„]Св, П учесть рвакцию цени на скачки функции в точках Св и С, Принимая во анима" ние, что при С ) С йх (С)[йС =- О, получаем у (С) =х, (0) М (С)+ ' Лв (С вЂ” т) йъ+ [хв (С,) — х, (С,)] Лв (С вЂ” 9+ йхв (ч) йт с, + ) — лв (с — т) йт — хв (св) Л' (с — с,).
С* йхг (т) йт ПРи С, ( С ( Св интеРеа.в интегРиРованиЯ ]О, С[ содеРжат однУ точкУ Раз. рыва функции к (с), Раэбивия интервал инпыгрирования на два промежутка 10, с,[, ]с, П и учитьыия реакцию цепи на воз) действии скачка функции х (С) в точке получаем ° ееее ! .
4 Д' Пример 6.9. //Ойдем напряжение на зажимок 2 — 2' цели, стема которой лри иведена но рис. 8.12, а, если налржиение на зажимах 1 — 1' мной цели изменяется во времени по закону -'Ч41 У~ 0 прп ! 0; и (!) = ие прп 0(!«-!,; ,116 О прп !~!!. - -р~ 'Фу Пере«одная «ароктеристика донной цели в рассматриваемом вкяювении бмяа определена в примере б.7: Л' (б= При ! ( 0 запря«кение на зажимах 2 — 2' тождественно ровно нулю. При 0(!~!, сз и, (!)=и, (0) Лз (!) +~ Л! (! — т) дт=ие йив (т) — ш/!. О и ае-и!/ь + ~и „ат — и и — тиь д и — ас/ъ + [ !а+а/с)! [ Ъ а+ /1/1. О а вас+ р е — яи! /(.
и. а+ /г//. При !> !с из (!) =-из (О) Лс (!)+ ) — Л' (! — т) дт — и, (!,) Л! (! !!) — ие-а / ! йи, (т) -Ю !. йт О и ае + [Е!и+П/Е! ' — 11 — и евь Е-П !! — !и/!.= а-1-/!//. — е / [1 — е!~+а/~ > Н). а-(-л//. !. ' Определение реакции цепи на произвольное внешнее С[ М9пс воздействие по ее импульсной характеристике Ч,()у'~~ Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика /зе (1 — !,) которой известна, описывается произвольной функцией х = х (!), равной нулю прн ! ( !„и непрерывной при всех !, за исключением точки 1= !,„где функция х (!) может иметь конечный разрыв (рис.
6.21). Функция х (!) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов хз (!) длительностью !зт, сдвинутых один относительно другого на Ат: х (1) ~ х„(!). (е,ие) 323 Рассматривая элементарный импульс х» (!) (на рис. 6.21 заштрнхован) как разность двух неединичных скачков х (т ). сдвинутых по времени на Лт, выражение (6.116) можно представить в форме сс с, ы ь;сст с х(!) ж ~~х(т») (1(! — т») — 1(! — т„— ЛтИ = » » ! (С вЂ” т») — ! (с т» лт) (6.117) » Лт где 5» = х (т„) Ьт — площадь элементарного импульса х» (с).
Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Лт. Учитывая, что Рис. 6.2!. Представление произвольного внешнего воздействия в виде суммы импульсов ! (с — т») — ! (С вЂ” 㻠— Ат) 1нп = о(! — т»), ьг о Лт внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиении по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов х(Г) =Х8»6(! — т»). (6.118) В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи у» (!) на воздействие одиночного импульса х» =- 5» Х м6 (с — т„) равна произведению площади импульса 5» на импульсную характеристику цепи )са (с — т„): 8„йв (с т,) Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов Я» на соответствующие импульсные характеристики Ьв (! — т»): у (!) ж л'с 8» )с (с — т») = ~л."с х (т») )с (г — г») Сьт.
Устремляя сзт к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно с у я = ~х(т))св(с — т)с(т. н Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции це- (6.119) 324 ° ЭЭЭЭ Пример 0.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
