ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. гл. 2) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивиости могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее (см.
гл, 2) приемов преобразования активных двухполюсников, Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи н напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций. Операторная завнвалентная схема цепи имеет такую же структуру, как н эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополннтель име независимые источники энергяи, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший воммутации.
30! Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации. В связи с тем что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электрическогоравновесия цепей по нх операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов.
Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяет анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений. Общая схема применения метода Наметим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода. 1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, хак и при использовании классического метода анализа переходных процессов. 2. Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации.
Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями. З.Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система. уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл. 4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений и с к о м ы х т о к о в и н а п р я ж е н и й. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ранее метода сигнальных графов. 5. Определение оригиналов искомых ток о в и н а п р я ж е н и й. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа 161 и использования основных свойств преобразования Лапласа.
Если изображение инте- ресующей функции представляет собой отношение двух полииомов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения. ° ФФФФ Пример 6.4. Для цепи, схема которой приведена на рис. б,11, а, найдем зависимость тока и напряэкения индуктивности гз, иэ от времени при (,м О. 3,д.с. идеилизированного источника постоянного нипряжения е 11) при 1 = О скачком изменяется от Ег до Ев: Е, прп 1<0; е (1)=- Ег при 1 > О.
Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока илдуктивносош гз(()) = 1э(()ь) = (э(() ) = Е,[гс,, Для построении оаериторной эквивалентной схемы цели восле коммутации (рис. б.!1, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их операторными схемами тгмеичения, а з. д. с. идеализированного источника напряжения [ч лг Е Рис.
6.1!. К примеру 6.4 Е, — операторной э.д.с., Е, 1р) .= Е,(р. Используя метод конглурлых токов, состивляем систему уравнении электрического равновесия цепи в операторной Форме (й, + йв) )о (Р) — йь(т (Р) '-- Еэ)Р; — йэ1г (р) + (йг + р1) 1,е (р) = — 1Ег1йы гле 1п (Р) = 1г (Р) Ф й: 1т (Р) — = 1э (р) пе 1э. Решая эту систему уравнений, находим операторные иэображения искал~ого тока 1э (Р) = [йэйгЕв + р1.
(йг + йэ) Е У(рйг (р1 (йг + йэ) + йгйв)) и напряжения (1 (Р) = РЕ1 (Р) — Е Е1й, =- [Ей, (Еэ — Е ))г[РЕ (йэ+ йэ) + йгйэ). 1)реобразуем получениыг выражения к такому виду. чтобы для выполнения обратного преобриэовиния Лаллисо можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1: 1 Е, [Р+й. йэ1[Е (й.+йэ)[) йг р [р-с й й 1[1, (й,+йх)]) Е (й,+йэ) ! Ез (Еь — Ес) из (р) (Р+Нс Ее(И 0(с+Ее)1) )(с+Не Учитывал, что (1(р+ ы) = е ои и (1[р (р+ а)1 ев (! — е )1а, получаем аыражения для искомыл тока и наиряженил индуктивности при 1 ~ О (ь== — е 1+ — (! — е 1)= — — — ! — е 1 Е, Е, ŠŠ— Ед и, и, и, Я,(Е,— Е) иь= е Нз+йь еде т = (Й, + йь) 11(Ягель) — постоянная времени рассматриваемой цепи, Как видно иэ полученнык соотношений, в начальный момент времени ток ин- дуктивности солраняет то же значение, что и до коммутации (ь (О) = Е /Яь а затем плавно изменяется, стрелтсь в пределе к Е;Еы Напряжение индуктив- ности в начальный момент времени скачком изменжтся от нуля до иь (О+) = =- и (Еь — Е,) (и, + Еь), а затем плавно уменьиигется до нуля, 1(етрудно эал~етить, что в начальный момент времени (1 =- О+) ток и на- пряжение индуктивности принимают тикие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником то.
ка (рис, б.11, в), гиок которого равен еь (О) .=- Е,)яы Таким образом, в начало. ный момент после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализиро- ванному источнику тока (при нулевых начальнык условиял ток зпюго иппоч- ника ривен нулю, и, следовительно, вепыь, содержащую индуктивность, в началь- нЫй момент времени мозсно считать разомкнутой). 5 в4. опердторные ХАрлктиристи((и (3,06, 55 ! ЛИНЕЯНЫХ ЦЕПЕЯ -- ''-,: Р-1д епйфХ-3(Ртльсг) реакция цепи на зкспоненциальное воздействие Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей.
С этой целью найдем реакцию цепи на э к с п о н е н ц и а л ь н о е в н е шпее воздействие а(1) =Ае-", где А и з — некоторые комплексные числа. Коэффициент А = Ае(тл имеет размерность внешнего воздействия и называется обобщенной комплексной амплитуд о й, величина з = о + 1аз — имеет размерность с-' и называется об обще и и о й (к о миле к си ой) ч а стот ой.
Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при 1ш А =-- 1ш з =-- 0 выражение (б.72) описывает экспоненциально затухающее (о ( О), экспоненциально нарастающее (о ) О) или неизменное (о == О) внешнее воздействие. Сумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание а (1) = Ае"- + Ае-*' = А ее' (е( ("'+ ел) + е 1("' ( Вл)1 = = 2Аеси соз (еа(+ фл), (6.73) 304 амплитуда которого нарастает (о ~ О), затухает (о ( О) или неизменна во времени (о =- О).
Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты з = о + /м можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференциро- 1 ванне экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция ли- .
нейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты з является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени. Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону и=Уе'- .
(6.74) В этом случае ток сопротивления гл=)с-'ил =Бе-!Я, (6.76) ток емкости Й4с Ф 1с = С вЂ” зСУе- ш (6.76) и ток индуктивностн 305 Ф (с= — ~ пью= — Уе- . ! в (6.77) г. зЬ Входным сопротивлением Я (з) пассивного линейного двухполюсни-" .. ка прп экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока: Л (з) = ий. (6.78) Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии Ла(з) =Р; Яс(з) =1/(зС); Лс(з) =зЕ, (6.79) Полагая в выражениях (6.79) з= р, получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая э = ро — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненцпальном внешнем воздействии а (Г) = Ае/"', а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов— входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии а (») = — Аеы.
(6.80) Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80). Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленныл» из таких элементов, и,далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отнои ению операторных изображений соответствуюи(их токов или напряжений при нулевых начальных условиях. Понятие об операторных характеристиках Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных ч — ч' н пара выходных й — я' зажимов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
