ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности ( (0») == 1, (О ) = О, а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цепи (6.23) при »= 0„=-0; (6.26) В связи с тем что установившееся значение тока этой цепи после коммутации равно нулю,ток прн 1 > 0 содержит только свободную составляющую: 1 -= 1,. ») Приведенные здесь результаты легко использовать для анализа переходных процессов в одиночном колебательном контуре, причем в связи с тем, что свободные составляющие тока н напряжения контура определяются при выключенных источниках энергии, нетрудно заключить, что характер свободных процессов в одиночном колебательном контуре не зависит от способа подключения контура к источнику энергии, т.
е. от того, является данный одиночный контур «последовательным» или »параллельным», 287 Характеристическое уравнение последовательной Н,С-цепи Ц, + яр+ ПС=-О (6.27) юеет два корня (6.28) те 6 =- )7/(2Г.) — коэффициент затухания; ы, = )Ф 1.С вЂ” резонанс ая частота цепи. В зависимости от соотношения между величинами ~, и 6, или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи, ° с 0эе~ Оо Я й т' с й 26 ории характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественны~и различными, комплексно-сопряженными или вещественными динаковыми (кратными).
Рассмотрим каждый из этих случаев. Вещественные различные корни. При малой юбротности последовательной ЙЕС-цепи (Я(!(2, т.е. )с ) 2р и ~ ) м,) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вецественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после соммутации (~ ) О) содержит два экспоненциальных члена: ) =). =А, е" '+А, е'*'. (6.29) Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29) бИГ =- =- р,Л,е~ ' -,'- р,А,егп и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования А, и А,: А, + Л, =- 0; р,А, -~- р,А, ==- Е~Е, откуда Е Е А,— 7- (Р~ Ра) 27. ')/8з — о>„' — Š— д А,— л (Р~ — Рд 2Е ~ГЬ'-' — в3 ' С учетом (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид — ("' — ""): Е 2с р ~' — ~оо, Расположение корней р„р, характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени — "' — "'=~в"м'4 Е приведены на рис.
6.6, а. Переходной процесс в цепи носит а п е р и од и ч е с к и й (неколебательный) характер, причем вследствие того, что !р,! !р,1, вторая составляющая нормированного тока цепи тз> затухает быстрее, чем первая 60. 288 Ком п л е к с н о-сап р я же н н ы е кон ..... добротности последовательной И.С-цепи (Я ) 1!2, т. е. )7 ( 2р и 6 ( в,) характеристическое уравнение (6.27) имеет два комплексно- сопряженных корня Рпг = — 6 '+ 1всв где в„=- 'г' в3 — 6' — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения).
Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением 1т Рк=р .2 0 Яе (в.б (к бе ла П к к 1 Ф Е (в,с) "Е(вв 1 -1 а/ -е(э„б) б) г) Ряс. 6.6. Расположение корней карактернстнческого уравнения а плоскости комплексного переменного н аапнснмость свободной составляющей тока последоаательной 111.С-цепн от времени для: а — 6 нк, б — Ь<вьк в — Ь-О; в — б-я (6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования А, = = Е/(12в„Е), А, = — Е1(12в„Ь) может быть с учетом соотношения 1~с 1~с в 21 = з!ив,г преобразовано к виду — е — ев яп в 1=1 (1) соя (вва 1 п12)' Е всв где 1т (1) = Ее а~l(вввЕ). Таким образом, при включении в последовательную ЖС-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют к ол еб а тел ьн ы й х ар а кт е Р Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функ"ню, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени.
Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периой зак ма 289 дическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а за. тухаиие колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении, Расположение корней р„р, характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от вре.
мени показаны яа рнс. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным ре. зонансной частоте последовательного колебательного контура ы,, Чем меньше коэффициент затухания б, тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между ы,„и в, и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при 6 =-= О, корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят н е з а т у х а ю щ и й х а р а к т е р (рис.
6.6. в). Таким образом, резонансная частота НЕС-цепи численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания 6 равен нулю. Пунктирными линиями на рис. 6,6, б показаны кривые ~ / (/), которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются о г и б а ю щ и м и. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, т = 1/6 = 2Е//с называется п ос т о я н н о й в р ем е н и последовательной /сЕС-цепи.
Очевидно, что за промежуток времени / =- т ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой пепи может быть охарактеризована также л о г а р и фмическим декрементом колебаний О, который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний Т,„= 2н/в„= = 2 я/)'в~о — бэ. Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих то.
ка для ~, > О и /, + Т„, можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора /м а определяется только добротностью цепи Я: =1п /~ (~Д 6У 2пб и (6.31) Ую1 — б' Р' Я' — 0,25 Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмический декремент колебаний равен нулю при 6 = О Я =- оо) и обращается в бесконечность при Ь = оз0 (Я = 1/2). Кратные корни.ПриЯ= 1/2,т.е.прий=2риб= ые характеристическое уравнение последовательной ЯЕС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня р, = р, = — 6, расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного пере" менного р (рис.
6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при г > О в этом случае имеет внд (6.32) ( = /,„= (Л, + А,/) е-". Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования А, = О, А, =- Е11 и подставляя их в выражение (6.32), получаем окончательно г = Е1е-ег(Ь, (гак н для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет а п е р н о д и ч е ск и й характер (рис. 6.6, г), поэтому условие (1 = 112 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим. Итак, характер перекохпых процессов в послеловательиой 1гг.С-цепи полиостью опрелелиетсв расположением корней характеристического уравиеиии в плоскости иомплексиого переменного, Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного пере.
менного присуща не только последовательной 1сЕС.цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности. Подключение к последовательной 1т(.С-цепи источника гармонического напряжения оч ! г'. Š— + с(1+по(0+) + Ы! =Ем з!и ю1, (6.33) г1! С е а дифференциальное уравнение цепи ьм г сп ! 1. — + 1с — + — 1= юЕ соз ю1. оса й1 С (6,34) Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значения тока цепи ! (О+) и его первой производной по времени — „1 1г И~пользуя независимые начальные условия и с (0,) = ис (О ) = 0; 1ь (О, ) = 1ь (О ) = 0 !о* Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную И.С-цепь с высокой добротностью Я )) ! 12).
Свободные процессы в такой цепи, как была установлено ранее, имеют калебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени 1 =-О, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при 1 = 0 равно нулю (гр = — п/2). Уравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид (6.36) (6.37) (6.40) и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем си ~ 1(0+)=1'1,(0. )=0; — ! =О. (6.36) Ш )с=с ~ Далее, суммируя составляющие тока и 1 и соз (сп1 ~ в)1 21) =1 о з(п (Ы р) 1св =А е (о 1"св) 1.з А е (о+1 св) 1, находим общее решение уравнения (6.34) при 1 Э 0: 1 р 51п (спг — 1р) + (А1 е "" ' —,' А, е "" ) е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
