ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Операторной, нли обобщенной, частотной хар а к те р и с т и к о й Нье (р) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи уь = у„(() к операторному изображению внешнего воздействия хе = х, (») при нулевых начальных условиях: Ньч (р) = )кь (р)IХ (р), (6.81) где г'„(р) =.' у„(»); Х, (р) =' хе (г), Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений 'линейной цепи, находящейся под экспоненпиальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной испи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внеитем воздействии вида (6.80) Нее(р) =— уь ке ке — хк ее Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Нь, (1»о) достаточно в выражении (6.81) заменить р на (ь».
Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Ке (р) = а = О. Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для оператор. иых сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.7!) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свой~гз 1 *и Ф»мяю Й ~ йг Как и комплексные частотные характеристйки, операторные характеристиси цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная.
В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают; операторное входное сопротивление 2„(р) = и, (р)77,. (р); (6.82) операторную входную проводимость У ° (Р) = 1 (Р)1и (Р); (6.83) операторные к о з ф ф и ц и е н т ы передачи п о напряжению к„М) = и, (р) (и, (,) (6.84) и току 6» М) = 7 (й)1, (Р); (6.85) о п е р а т ор и ое п е р ед а т оч н ое с оп р от и в л ение г», (р) - и, (рУ7, (р) (6.86) и операторную передаточную проводимость У»; (р) = 1» (и)/ У, (р). (6.87) Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.
Определение операторных характеристик Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить )»» на р. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных ураанений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях. Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов т — ч'. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения еэ (1) и построим операторную схему замещения пепи при нулевых начальных условиях.
Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник е, (1) =' Е, (р), явилась главной ветвью т-го контура, составим систему контурных уравнений пепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток т-й ветви, совпадающий с током т-го контура: 1. (Р) =- Е. (Р). (6.88) л (р) Здесь Л (р) — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; Л (р) — алгебраическое дополнение элемента г„ (р). Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление г„ (р) н операторную входную проводимость цепи у,э (р) со стороны зажимов т — т': г„(р) = Е, (р)11, (р) = Л (р)1Л (р); У„(р) =- 11г- (Р) = А- (Р)1А (р).
Аналогичным образом можно найти н передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток 1, (р) = Л„ (р) Е, (р)(А (р) (6.89) н напряжение и„(р) = г„ (р) 1„ (Р) = Л,, (Р) г, (р) Е, (Р)1А (р) (6.9()) ветви, содержащей сопротивление г„(р) и являющейся главной вет- вью Ьго контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению К»ч (р) = и» (Р)1Е» (р) = Ля» (р) г» (Р)1»» (Р), операторный коэффициент передачи по току и»т (Р) = 1» (Р)~~ч (Р) = А» (Р)1йяэ (Р) операторную передаточную проводимость У . (Р) =- 1 (р)1Е (Р) = А » (р)1А (Р) и операторное передаточное сопротивление г,.
(Р) = и, (р)~11, (р) = А.» (р)г, (р) л„„ (р). В связи с тем что определитель Л (р) и алгебраические дополнения Л (р), Л,» (р) представляют собой полиномы от собственных и вза- имных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а со- противления контуров являются рациональными функциями р с веще- ственными коэффициентами, любая операторная характеристика ли- нейной электрической цепи Н», (р), не содерэкаи(ей независимых источ- ников энергии, также является рациональной функцией р с веп(ествен- ными коэффициентами, т. е, может быть представлено в виде откос»е- ния двух полиномов н»э(р) ~(р) '"' +""-' +" +""+" (6.91) м (р) ь„р + ь, р — '+... + ь, р+ ь, 308 1,(Р) я 12(Р) 2 ог(Р) р =-я,эь о б 2 о!(р р =об рт в) а) Рис.
а,!2. К примеру 6.5 Ринее были получены выражения для комплексного входного сопротивления (З 12) и комплексного коэффициента передачи (2.1б) данной цепи 2мх (/со) = я + /ы/-; Кх,х (/вэ) = !ы/./(я + !и/.). Заменяя в этих выражениях /ю на р, находим операторное входное сопротивление Уых (р) и операторный коэффициент передачи цели по напряжению: 2мх (Р) = Я тр/-=-( (Р+Я/!)' Кмх (Р) = я+ р/, р+я/д Здесь ое, Ь, — вещественные коэффициенты, значения которых опре делаются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.
Напомним, что значения аргумента Ро!, при которых Лэ (Р) = О, М (Р) ~ О, называются н у л я и и, а значения аргумента р„ы при которых М(Р)=О, У(р)ФО,— полюсами функции Н,„(р), рещая уравнения /У/ (Р) = О; М (Р) = О и разлагая полиномы й/ (р) и М (Р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду Н (Р) )( (Р— Рвд (Р— Рч ) (Р— Рвя) (6 92) (Р— Рхэ) (Р— Рхх) .. (Р— Р ) Здесь К = а„//э„— вещественное число, называемое м а с ш т а бным коэффициентом.
Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции Н! (Р) определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента К. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты р = о + !оэ называется д и а г р а ммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой д и а г р а м м о й функции.
При п~ктроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно /оэ и о, нули изображают кружками, а полюсы — крестиками. ° ФФФФ Пример а.з. Для цепи, схеми которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление Лм„(р) со стороны зажимов 1 — 1' и операторный коэффициент передачи ло напряжению Кмх(р) от эажилюв 1 — 1' к эажимам 2 — 2' в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'.
Построим диаграммы нулей и полюсов функций 2о„(р) и Кет (р), Можно убедиться, что аналогичные результаты пол1учаются и лРи Рас ассмо. трении операторной схемы замещения цепи (рис. б. 2, а). Полюсно-нулевые длигроммы функций 2ох(Р) и Кохх (Р) изобрижены на рис. 6,12, б,о соответственно. функция 2их (Р) имеет один нуль Рос = — Р1Е функция К„» (р) имеет одни нуль рт = О и один полюс рх, = — р1Е, ФФФФФ ПРимер 6.6.
Найдем операторное входное сопротивление 2ых (р) последа вательного колебательного контури (см. Рис. 8.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диагримму функции 2ох (р). Ро Рпс. 6.13. К примеру 6.6 Операторное лчодное тлротивление последовательного колебательного контура равно сулшое операторных сопротивлений входящих в контур элементов 1 ро+ ПР1Е+ 11(ЕС) 2хх. (Р)=П+РЕ+ РС Р Используя введенные ранее обозначения 6 =- П/(2Е) и юо = — 1Г~/ ЕС, запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде 2мх (р) Е ' 1. ро-1-26р+юг о(Р— Ро1) (Р Рог) РР— Рхх В зависимости от соотношения между величинами 6 и юо опериторное входное сопротивление может иметь два разлитных вещественных нуля Ра1 зз= 6+ 1' 6" — юо два одинаковых вещественных нуля Ры =- Роо = или два комплексно-сопряженных нуля Ргп оз= — 6 ш 1ыео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
