ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное ус. ловие ис (О+) = ис (О-) = Е' (6.9) Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении и„, напряжения на емкости ис, тока сопротивления Я Юг е(б) е(8) а) е(б) Ех Ег Е~=р а р ь Е сд ис Ег сб "ссиссб с 0 ! г л се й! тс -( Ес (е,йе)уа Сс сесб сс г1 Еса сссб а ! г зэк,лг, р 1 г ' 8 ч б, г, 8) а) Рис.
6.4. К исследованию переходных процессов при скачкообразном нвнеасннн э. д. с, в последовательной яо-испи: а, б — схемы чссю с — а;О; с — Ш=о; а-а,ъаььв Е„, тока емкости Ео), однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения. Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при г . 0 ""с . иа + ис = Е', сс =- С вЂ”; си 1с = 'и =- с' иа = Фн 282 все неизвестные величины, кроме ис. получаем вис, ЯС вЂ” +ис =Е. Ю Напряжение на емкости при г ) 0 представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих ис = ис э+ исс . (6ЛО) Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости будет равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения на емкости — напряжению источника энергии после коммутации.
Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости (6.11) ис э = Ез Характеристическое уравнение цепи ЯСР+ 1.— — О имеет единственный корень Ръ = 1~ ЯС) = 1~тс где тс =- )сС вЂ” постоянная времени последовательной )сС-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости ис„содержит один экспоненциальный член -О~с ис =А, ео*'=А, е (6. 12) Используя выражения (6.10), (6.11) н (6.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях (6.1 3) ис=Еэ+А, е Для определения постоянной интегрирования А, воспользуемся независимым начальным условием (6.9).
Полагая в (6.13) г =- О, ис = = ис (0„) = Е„получаем Е, = Е, т- А„откуда А, = Е, — Е,. Таким образом, прн заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации (г '=э 0) определяется выражением ис=Е,— (Е,— Е,) е (6. 14) Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Е„н Ез показана на рис. 6А, в — д. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости 1с, которая прн 1 э 0 определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени н умножения результата на С: (6.15) л 283 Как видно нз рисунка, в начальный момент после коммутации на пряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установив.
шемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменя. ется от нуля до начального значения: сс (О+) = (Е. — Ез)(К. (6.16) а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. В связи с тем что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую. Анализ выражения (6.16) показывает, что значение тока емкости (О,) численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения э.
д. с. Е,. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, з. д. с. которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напрязкения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно счипшть короткозамкнутои, т. е. сопротивление емкости равно нулю.
Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. Прн 1ь (О ) =- О ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т. е, сопротивление индуктивности при 1 = Оь имеет бесконечно большое значение. Как видно из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от зйсачения э. д. с.
идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи тс, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока н напряжения уменьшаются в е — 2,718 раз. Можно показать, что при любом 1) О Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цепи численно равна длине подкасательной к кривой ио,„или 1с„при любом значении 1 = О, т.
е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой 1 = ~т ) О и точкой пересечения временнбй оси касательной, пРовеДенной к кРивой ис,„ или сс„ в точке ис„ (1,) или )ссо (1,) Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым ~'< „, или и,,„ наиболее удобно проводить при 1, = О. В этом случае она пересекает ось времени в точке 1 — тс (рнс. 6.4, в — д). Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свобод" ные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи н напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.
Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, учитывая, что к моменту времени, равному 4тс после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,02 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени (4 —:6)то после коммутации. Подключение к последовательной И:цепи источника гармонического напряжения Р ассмотрим переходные процессы в последовательной ЯЬ-цепи, содержащей идеализированный источник, э.
д. с. которого е (1) изменяется во времени по закону 0 при г<0; Е соз (юГ+чр) при Г) О. (6.17) Временная диаграмма е(г) при ф- 0 приведена на рис. 6.6, а. В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, (п (О ) = О.
г ет/е е~/х Рис. 5.5. К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического наприукенни в последовательную утб-цепь Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока 7 = 1ь, при Г ) 0 имеей внд Ь вЂ” +Н=Е соз (уог+ф). и'у (6.18) Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд (пр = — соз (ит+чр — ф), ~т г и — Кеу-у ( уу'. у= уу( ууиу уу р у лекснога входного сопротивления рассматриваемой цепи.
Характеристическое уравнение цепи Цу+Я=О 285 имеет единственный корень р, = — К(Е, поэтому свободная состав- ляющая тока содержит один экспоненциальный член 1„=- А,е где ть = Е!Я вЂ” постоянная времени последовательной )сЕ-цепи. Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации: лт — Оть 1 = — соз (ыг+ф — ~р)+А, е (6.19) Для определения постоянной интегрирования А, воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю: (6.20) 1 (О.ь) =-(с (Оь) == 1ь (О ) =О.
Подставляя (6,20) в выражение (6.19), получаем — соз (ф — «р) + + А, = О, откуда А, = — — соз (ф — ~р). ~т г (6.2!) и„, лш — мч 1 = — соз (Ы+ф — ср) — — [соз (ф — ~р)) е а г Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой ф э. д. с. идеализированного источника напряжения и аргументом Ч~ входного сопротивления цепи. Если ф выбирают таким образом, что начальные значения принужденной 1ир (О+) и свободной 1,„(0,) составляющих равны нулю (ф =- Ч -Ь п/2), то свободная составляющая тока тождественно равна нулю.
Переходные процессы в цепи в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При ф = — у или ф = Ч~ ~- и начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых ! =- 1 (1) и 1 р — — (нр (1) выражено наиболее резко (рис. 6.5, б). Как и для последовательной КС-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени тх.
За промежуток времени г — ть свободная составляющая тока уменьи~ается в е раз и к моменту времени 1 — (4 + 5)ть после комму тапки переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися. 286 С учетом (6.21) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид Подключение к последовательной )тьС-цепи источника постоянного напряжения»> Последовательная )сьС-цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия.
Если э. д. с. идеального источника напряжения изменяется во времени по закону 0 при 1<0; Е =сопи( при Г >О, то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения ио (0,) == ис (О ) = 0; (ь (0») = гв (О ) = О, (6,22) Составим уравнение электрического равновесия цепи па методу токов ветвей А — +Ж+ис(0+) + — ) й(1=Е. гп 1 и. ФЕ с .) о Дифференцируя правую и левую части (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации Ь вЂ” + (с — + — 1=-0. Ы»1 Ж, 1 (6.24) бс» бг ' С Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
