ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 57
Текст из файла (страница 57)
5.20. К примеру 5.5 от Х практически совпадает с линеиной при изменении Х вЂ” х в пределах от 0 до > В, следовательно, в этои области риссматриваемая ВАХ может быть ап- ироксимирована полиномом второи степени. ° ФФФФ Пример 5.6. Проверим, мохсно .ш иппроксимировоть ВАХ >см рис. б 2О, а) с помощью экспоненциального полинома вида >5,>0). Для определения константы с выберем три значения аргумента х1 О, хг = 1, хэ — 0,5 и найдем соответствующие им значения функции уг — О, уь -- 0,3 и уч ..- 0,095.
ОВ Подставляя зти значения в вырижение аб.>2), получаем с — — О,ОВ2. Липее строим зависимость вспомогательной функции у = >к >у — 0 б — с) от Х =- х (рис. б.Л), Как видно из рисунка, в пределах от Х = 0 до Х вЂ” —. ! зависимость У >'Х) приктически совпадает с а С> Р линейной, следовательно, в этой облисти расом атривиемая ВА Х может быть аппроксимировина экспоненциильным иолиномом рассматриваемого типа. диода о,г Из приведенных примеров следует, что задача выбора аппроксимирующей функции не имеет единственного решения. Выбор той или иной функции во многом зависит от опыта и интуиции исследователя и в значительной степени определяется простотой нахождения значений коэффициентов функции и удобством ее применения для анализа. о,ц а,в >,г х Рпс.
5.2!. К примеру 5.6 Определение коэффициентов аппроксимирующей функции Рассмотрим кратко основные методы определения коэффициентов аппроксимирующей функции. Наиболее часто для этой цели ис>п>льзуют метод в ы б р а н н ы х т о ч е к, в соответствии с которым зна- 26! чения коэффициентов аппроксимирующей функции определяют исход„ из совпадения значений этой функции со значениями аппроксимируе.
мой функции в ряде заранее выбранных точек, называемых у з л а. м и и н т е р п о л я ц и и (от лат. !пгегро(агу — подновлять). Если для аппроксимации ВАХ, задаваемой множеством точек (х,, уз), выбрана функция у=у(х,а„а,, ...,а„), (5.!3) имеющая и неизвестных постоянных коэффициентов а,, а„..., а„, то для определения этих коэффициентов выбирают л наиболее характер- ных точен ВАХ, лежащих в пределах рабочей области. Подставляя значения хз и уз в каждой из выбранных точек в выражение (5.13), по. лучают систему из и уравнений у; = у (х!, а„а,„., а„), решая кото- рую, находят значения всех неизвестных коэффициентов.
Очевидно, что такой выбор коэффициентов действительно обеспечивает совпаде- ние значений аппрокснмируемой н аппроксимирующей функций в уз- лах интерполяции, однако в промежутках между ними погрешность аппроксимации может быть весьма существенной (информация о ходе аппроксимирующей функции в них не учитывается), что является недостатком этого метода. В отличие от метода выбранных точек метод н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклоне- ний $ значений аппроксимирующей функции у — (х, а„ аэ..,., а„) от значений исходной функции у;(хз) в произвольном числе точек т, не связанном с числом неизвестных коэффициентов п: ~л $ = ~ч' [у(х;, а,, а,, ... а„) — у!)'.
с=-! Приравнивая нулю первые производные 5 по каждому из коэффи- циентов, получаем систему из п уравнений для определения л неиз- вестных числовых значений коэффициентов: да, /= ! Р3 да, да !'= ! дэ ду (х!, а„а2, ., а„) — -= '~~ 2[у(хм а,,ат,...,а„) — ут[ ' ' ' ' .=О. даа даа /=! Метод наименьших квадратов требует весьма громоздких вычислений и применяется обычно только в тех случаях, когда необходима высокая точность аппроксимации. Если гипотеза о характере аппроксимирующей функции проверялась методом выравнивания, то неизвестные значения коэффициентов аппроксимирующей функции могут быть определены по известным знач качениям коэффициентов 1(о и А', линейного уравнения (5,4), связываю ,ощего между собой значения вспомогательных переменных Х и 1'.
с. ставляя уравнение прямой линии, вдоль которой располагаются чки Ху Ут1, и сРавниваЯ его с УРавнением, описывающим зависи-ть между вспомогательными переменными, которое соответствует проверяемой гипотезе о виде функции у (х) (например, с уравнениями «5 5), (5.8) или (5.1!)1, находим значения искомых коэффициентов. $ ° $ ° $ Пример 5.7. Определим значения коэффициентов экспоненциального поли- нома 1 = ае " + с, аппроксимирующего ВА Х кремниевого диода (см. рис.
ьи 5 20, а) в диапазоне напряжений от 0 до 1 В. Возможность иппроксимации ВАХ, приведенной на рис. 5.20, экспоненциальным полиномом укаэанного типа была показана в примере 5 5. Там же было найс)ено числовое эничение коэффициента с. Составим уравнение прямой (рис. 5.2!), на которой в рассмитривиемом диапазоне изменения аргуменли располагаются точки Ху, Ур 1 — У,)г(У, —. У,) =- (Х вЂ” Х,)1(Х, — Х,).
Здесь Х,, 1', и Х, 1'з — координаты двух любых точек, через которые проходит донная прямая. 3ыбйрая Хг - 0,2, У, — - — 0,95 и Хэ —— — 1, )гэ = — 0,42, получаем уравнение прямой в следующей форме: )г:.— 0,66Х вЂ” 1,08. Сравнивая это выражение с выражением (5.1!), гюлучаем соотноимния для определения неизеестнык значений коэффициентов а и Ь: 1й а = — 1,08; Ь!и е -- 0,66, откуда а -=. 0,052, Ь = 1,52. Таким обризом, в диапазоне от 0 до 1 В рассмитривиемая ВА Х может быть алпроксимировано выражени~м, мА, 1 = 0,082 ( е 'Ь З" — 1) .
На практике для аппроксимации характеристик нелинейных элементов в основном используют степенные полиномы у -- аь -, 'а,х 1- а,х + ... + а„х" (5.14) Рис. 6.22. Кусочно-линейная аппроксиыааия выходных (а) н проходных (б) характеристик полевого транзистора с. 263 и кусочно-линейные функции. Аппроксимация с помощью степенного полинома универсальна н позволяет повышать точность расчета путем увеличения степени поли- нома. "о с, Любые аппроксимирующие функции могут быть разложены в степенные ряды и приведены к виду (5.14).
Поскольку сложность определения значений коэффициентов аппроксимирующей функции возрастает с уве- иса 0 и„ личением числа членов полино- а) б) ма, для аппроксимации ВАХ обычно используют полиномы низких степеней. Часто для ап- Аппроксимация вольт-амперных характеристик в окрестности рабочей точки Па практике часто приходится иметь дело с рабочей областью ВАХ настолько узкой, что можно считать, что изменение токов и напряжений происходит только в окрестности некоторой рабочей точки.
В таких случаях нет необходимости аппроксимировать ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, а достаточно ограничиться аппроксимацией лишь в окрестности выбранной рабочей точки. Пусть ток и напряжение некоторого нелинейного резистивного элемента в рабочей точке равны! и ир. Значение тока ( этого элемента, соответствующее некоторому новому значению напряжения и — ир + + Ли, можно представить в виде ряда Тейлора ( —.-((ир)+ — 1' (и ) Ли + — 1" (ир) (Аи)'+.
1 1 (5.15) Здесь 1(ир):- (р — значение тока в рабочей точке, 1' (ир), 1" (ир)— значения производных тока' по напряжению в рабочей точке, определяемые либо по заданной функции 1 === ~ (и), аппроксимирующей ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, либо по табличным значениям, функции 1; (и;) с помощью формул численного дифференцирования: ~ (и +,) —; (и.,) ю' (из) =- и.+,— и, с (иг 1) — 2! [из),-4 (и4 1) "( (и., — из)4 Вводя обозначения а, == 1(и ) ==- (р, а, =  — 1' (ир); а, = -, 1" (иа); ..., 1 выражение (5.!5) можно представить в виде полинома относительно приращений напряжения 1 =- а„+ а,йи + а, (Ли)' + ...
(5.16) 264 проксимации ВАХ применяют неполные (укороченные) полнномы, т. е. полиномы, не содержащие членов некоторых степеней. Так, если ВАХ нелинейного элемента проходит через начало координат, то в полиноме (5.14) отсутствует член нулевой степени (а, -- 0). Симметричные ВАХ описываются нечетными полнномами, т. е.
полиномами, содержащими члены только нечетных степеней. Аппроксимация с помощью кусочно-линейных функций заключается в разбиении рабочей области аппроксимируемой функции иа несколько участков (интервалов) и замене функции на каждом из них отрезком прямой. С увеличением количества интервалов точность аппроксимации возрастает, однако для упрощения анализа цепи желательно использовать кусочно-линейные функции с минимальным числом интервалов.
Примеры кусочна-линейной аппроксимации ВАХ представлены на рис. 5.22. Как правило, при аппроксимации ВАХ нелинейных резистивных элементов в окрестности рабочей точки используются полиномы низких степеней, причем в большинстве случаев, когда приращения напряжения Аи = и — ир и тока А1 =- 1 — (р весьма малы, можно ограничиться полиномом первой степени 1 =- ав + а,би. (5.17) Таким образом, вольт-амперные характеристики нелинейных резистнвных злементов могут быть линеаризованы в окрестности выбранной рабочей точки. й 6.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии Ранее, при рассмотрении графических методов анализа нелинейных цепей, было показано, что реакция нелинейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
