ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Количество уравнений электрического равновесия может быть уменьшено за счет исключения нз основной системы уравнений зависимых токов и напряжений с помощью методов узловых напряжений и контурных токов. Методы узловых напряжений и контурных токов Известно, что метод узловых напряжений основан на том, что напряжения всех ветвей произвольной электрической цепи могут быть- выражены через ее узловые напряжения. В матричной форме зависимость напряжений ветвей от узловых напряжений определяется соотношением, получившим название у з л о в о г о п р е о б р а з о в ани я: и — А'н!О (7.5) Здесь А' — транспоиированная матрица узлов; н, и„ вЂ” матрицы- столбцы мгновенных значений напряжений ветвей и узловых напряжений соответственно ° ФЭФФ пример тпь Убедимся в справедливости аютношения (7.5) на примере цепи, сяеми потирай приведена на рис.
7.8, а. Митрица умов этой цена, соотвеасствуюи!ая ее графу, ипображгннол~у на рис 7.3, б, имеет вид — ! О О О 1 О О О 1 ΠΠ— 1 А -.: 1 Π— 1 — 1 О О 1 О О О О 0 — 1 О Подспитляя транспонированную матрицу О 1 узлов О --1 О О О 1 О О О О 1 ΠΠΠΠ— 1 1 — 1 О О О 1 — ! ΠΠΠ— 1 в выражение (7.Б), получаем — 1 О О О иь иьв О 1 О О иэв О О 1 О О О 1 — 1 О О 1 — 1 ΠΠ— 1 "вь иь игь — ию и„— и,„ и„— и„ вЂ” ит — иьь иь ив э и Аналогичное соотношение может быть получено непосредственно из рас. смотрения схемы цеии (рис 7.3, а).
Для формирования системы узловых уравнений воспользуемся компонентным уравнением пепи в форме у. умножая матрицу узлов на каждое из слагаемых, входящих в выражение (7.4), получаем А! — А!у + Ач(н — Ат(нв. 335 Левая часть этого уравнения представляет собой матричную запись уравнения баланса токов (!.46), поэтому А!у + Аа'и — А а'пу = О. Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения (7.6) и выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме А'а А<и(о — — А (Уи — ! ) (7.6) или т(((1)н(о = )(о. (7.7) Из выражений (7.6), (7.7) видно, что матрица узловых проводимостей исследуемой цепи и матрица-столбец узловых токов У«л) = АУА' и )(о = А (Уиу — !у) (7.8) могут быть получены с помощью простых алгебраических операций над матрицей узлов А и компонентными матрицами 1', и, ), Поскольку компонентные и топологические матрицы цепи содержат значительное количество нулевых элементов, прн формировании матрицы узловых проводимостей У(и1 н матрицы-столбца узловых токов )<о используют специальные алгоритмы, учитывающие разреженность матриц А, У, пв, 1 и исключающие тривиальные операции над нулевыми элементамй.
й(ожно убедиться, что система узловых уравнений цепи для мгновенных значений (7.7) и система узловых уравнений той же цепи для комплексных действующих значений (4.22) имеет одинаковую структуру и могут быть получены одна из другой с помощью таких же преобразований, которые необходимы для взаимного преобразования компонентных уравнений для мгновенных значений и компонентных уравнений для комплексных действующих значений. й т О 0 0 0 0 О о )7 о о о 0 0 — 100 О 1 0 0 010 0 — ! 1 0 )та О )7;т 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 О вС 0 0 <ваа) х О 0 Ф-з) ' 0 0 0 0 0 О 0 0 0 О О 0 0 0 1 0 0 — 1 — 1 000 — 1 0 0 1 336 ° ФФФФ пример 7.3.
Псоолазул выраасвнал (7.3), сформируем матрацу узловых проводимостей п матрицу-столбец узловых токов цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а. Матрица узлов А н компонентные матрицы цепи У. нв, 1в были получены в примерах 7.1 и 7.2. Подставляя эти матрицы в <7лз), находим о Π— ! — о — 1 1 е(1 ( — +++к)! ( — + — +еС); 1 1 5/-е — 100 О ! 0 0 -Я;0 О 010 0 — 1 1 0 001 0 0 — 1 — 1 000 — ! 0 0 1 — е! Й„ — !00 0 ! 0 0 010 0 — ! 1 0 ! — !е (0) 0 001 0 0 — 1 — 1 000 — 1 0 0 1 — !7 (0) е!й,— 1, (О) !а(0) и (0) 1 — 1~ (О) 0 0 0 0 0 ! 1, (о) 0 (7 (о) О 0 о о 1 — 1 о о о 0 0 0 0 0 я;~ о О атее 0 0 0 О 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Я;~ О 0 О 0 (еЦ) еО О 0 0 еСО О О О (я(.~)-1 Нетрудно убедиться, что аналогичные выраасения могут быть получены и с применением рассмотренного в ел.
4 илгоритми, используемого в ручных методах форл!ирования уривненид электрического равновесия. Сформировать уравнения электрического равновесия цепи с применением ЭВМ можно и методом контурных токов. Используя компо. нентное уравнение цепи в форме У и учитывая, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей с помощью соотношения 1= В'!Нм называемогоконтурным преобразов а н и е м, нетрудно прийти к системе контурных уравнений цепи в матричной форме Х<!г! гп = еср Здесь с!г — матрица-столбец контурных токов; У<!!> = ВУВ'— матрица контурных сопротивлений; еп — — В (Х!, — и„'! — матрица- столбец контурных э. д. с., В и В' — матрица главных контуров и трапспонированная матрица главных контуров рассматриваемой цепи.
В связи с тем что компонентные матрицы У и У содержат в общем случае операторы дифференцирования з и интегрирования з-', узловые и контурные уравнения цепи для мгновенных значений наряду с производными содержат интегралы от неизвестных функций времени. Метод переменных состояния Наличие интегралов в уравнениях электрического равновесия цепи, составленных методами узловых напряжений и контурных токов, значительно затрудняет решение этих уравнений и в течение длительного времени ограничивало возможности применения данных методов при машинном анализе цепей.
Интегралы, входящие в уравнения электрического равновесия, могут быть устранены путем дифференцирования, однако при этом повышаегся порядок соответсгвующих уравнений, что также является нежелательным. Поэтому представляет интерес попытка составить уравнения электрического равновесия таким образом, чтобы они вообще не содержали интегралов. Интегралы в уравнениях электрического равновесия возникакп только тогда, когда напряжение емкости выражают через ток ис = ис(0)+ — д! гс с1г ! Г. с,! о или ток нндуктивности через напряжение ! р гг = гс (О!+ — д! ис с!г. о Если в качестве независимых переменных выбрать не контурные токи или узловые напряжения, а напряжения емкостей и токи индуктивностей, то уравнения электрического равновесия цепи не будут ~держать интегралов от неизвестных функций времени. Такие уравнения называются уравнениями состояния цепи, а независимые переменные (токи индуктивностей и напряжения емкотей) — переменными состояния.
Такое название отажает тот факт, что именно токи индуктивностей и напряжения ем„~стей определяют запасы энергии в реактивных элементах и, следовательно, характеризуют энергетическое состояние цепи. Рассмотрим методику формирования уравнений состояния на примере простейшей последовательной )сЕС-цепи (см. рис, 2.20, а), основная система уравнений электрического равновесия которой имеет вид аис ес =-С вЂ”; ю е'и иь=-Е— ш иа+ис+ис=-е; (7.9) 1я = 1ь:=1с=1,' Выбирая в качестве независимых переменных (переменных состояния) напряжение емкости и ток индуктивности, выразим остальные переменные, входящие в эти уравнения, через ие и (х: ""с )71ь + 1- — + ис = е; 1с =- С вЂ” ' Н а1 (7,10) или дХЫ1 =- аХ + дп,. (7.! 1) Ггь 1 Ге Здесь Х = — вектор переменных состояния; и, =- И ~0 à — Я(Е; — 17Е1 Г 1/Е; 0 1 тор внешних воздействий; а =-.
~ ~ 11С; 0 ~' ~0; 0 ~ — мат- рицы, элементы которых определяются параметрами пассивных элементов цепи. ЗЗЗ Получена система уравнений электрического равновесия, в которых в качестве неизвестных фигурируют напряжение емкости и ток индуктивностн. Разрешим уравнения (7.10) относительно производных: й,/Ж = — — Жь!Š— иеЯ. + еЯЕ; Лис/й = 1,!С и представим полученную систему уравнений в матричной форме Выражение (7.11) является стандартной формой записи уравнений состояния цепи, не содержащей зависимых источников энергии, Очевидно, что число независимых уравнений, составляемых по методу переменных состояния, будет равно числу независимо включенных реактивных элементов, т.
е. порядку сложности цепи. Если исследуемая цепь содержит топологические вырождения, к которым относятся емкостные контуры и индуктивные сечения, то система уравнений электрического равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями (7 11) будет содержать алгебраические уравнения, составленные на основании второго или первого законов Кирхгафа и отражающие связь между напряжениями емкостей или токами индуктивнастей, входящих в соответствующие контуры или сечения. Матрицы а, д, входящие в состав уравнений состояния цепи, могут быть выражены через компонентные и топологические матрицы рассматриваемой цепи (4, 5, 81. й 7.3.
ВЫБОР МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ДЕПИ Численные методы решения уравнений электрического равновесия При решении отдельных частных задач теории цепей, таких, как исследование цепей нулевого порядка илн анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процессы в электрической цепи можно описывать системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Уравнения же электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой систему ннтегро-дифференциальных уравнений.
Интегрирование таких уравнений в современных программах анализа цепей осуществляется„как правило, численными методами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного интервала времени последовательностью точек Г,, 1„..., 1„, ... на временной оси. Искомая реакция цепи у = у (1) в этом случае приближенно представляется множеством дискретных значений у, = у(1,), у, = = у (11), ..., у„= у (Г„), ... определяемых в результате последовательного выполнения ряда шагов интегрирования. Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. Прн использовании я в н ы х методов для получения у„(решения системы уравнений на л шаге интегрирования) используют результаты, полученные на и предыдущих шагах: (7.12) Уи =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
