yavor1 (553178), страница 55
Текст из файла (страница 55)
5 28.12. Броуновское движение и постоянная Больцмана Рис. 28.7 1. Попытаемся оценить, куда переместится броуновская частица за время наблюдения 1, которое значительно больше времени свободного пробега молекулы т. Для этой дели разобьем время иаб>людения на большое число равных интервалов Л1=1/А> с таким расчетом, чтобы и эти интервалы были много больше времени сво- бодного пробега. Ниже мы оценим вели- 2 18 ф чину этого интервала. За время Л1 частица сместится на 1 "' е 11 1р РасстоЯние 7., котоРое мы назовем шпа- г 3 л4 гом» частицы.' На протяжении этого пути >т 1" й частица испытает огромное число ударов 47 = пз ~ й (Л11т=!О") со стороны окружающих ее 6г молекул.
А это означает, что каждый по- 13 следующий «шаг» броуновской частицы абсолютно не зависит от направления предыдущего «шага» и угол между ними меняется совершенно случайным образом. Итак, мы никоим образом не в состоянии предсказать, где будет находиться броуновская частица в любой момент времени. Движение броуновекой частицы абсолютно хаотично. 2. Двигаясь беспорядочно, частица то отдаляется, то приближается к своему первоначальному положению (рис.
28.7). И так как ее перемещения во всех направлениях равновероятны, то может показаться, что частица будет все время топтаться около своего начального положения. Однако опыт показывает, что это не так. Например, капля чернил в воде постепенно растекается. Частицы краски — это и есть броуновские частицы. А это значит, что за достаточно большой промежуток времени они постепенно удаляются от первоначального положения. Среднее расстояние, на которое броуновская частица удаляется от начального положения за промежуток времени, значительно больший времени среднего пробега молекулы, называется средним квадратичным перемеигением частицы. Метод вычисления этой величины предложили в 1904 — 1907 гг.
А. Эйнштейн и М. Смолуховский. 3. Для решения этой задачи обратимся к рис. 28.7. Здесь 1,— сшаг» частицы; расстояния от частицы до первоначального ее положения в следующие друг за другом промежутки времени Мо М„Л1„..., М, обозначены соответственно через Я„Я„Й„... ...
„Я „(на рисунке обозначены только й,:=- 1., Я„11, и 11„). Углы, характеризующие направления последующих перемещений частицы, обозначены соответственно ср„~р„<р,„..., ~рм На основе теоремы косинусов составим систему равенств: 17, '= Я,'+ 1.' — 2Й,1.
соз фо Й', = й,'+1Р— 2К,1 соыр„ 11т =Йэ-~+1.' — 2йл Асоз~рл Легко заметить, что при сложении левых и правых частей квадраты промежуточных перемещений сокращаются; останутся только Я~, 2 и )г', =- 1.-. Итак, й' =%1.' — 21. ()1,сов ~р,+ И,соз~р, (-... +)7л, ~ соз~рэ ~). Все слагаемые в скобках суть случайные величины, принимающие с равной вероятностью любые положительные и отрицательные значения. Следовательно, при болыном числе наблюдений среднее значение суммы в скобках равно нулю.
Отсюда следует выражение для квадрата среднего квадратичного перемещения, которое обозначается Л', )г" или (й'>: (28. 14) 4. Как показали Эйнштейн и Смолуховский, эту величину можно выразить через время наблюдения, свойства жидкости и размеры частицы. Сделаем приближенный, но зато достаточно простой расчет. Для этого вначале оценим промежуток времени М. Броуновская частица с массой глж!О-" кг и радиусом гж ж 10- ' м представляет собой объект одновременно и макроскопический, и микроскопический.
С энергетической точки зрения это— микроскопический объект, ибо частица участвует в тепловом движении и ее кинетическая энергия равна средней энергии теплового движения молекул, т. е. ЧйТ. Но с точки зрения импульса это — макроскопический объект: импульс броуновской частицы р=-~Г2~иК вЂ” — -'г' 2лт'1,яТ существенно больше импульса молекулы р,= Р 2т, '1,'яТ. Отношение импульсов — '= )/ — „",' = у' -,",— — ',-,'== (о . Естественно, что столкновение молекулы с броуновской частицей похоже на абсолютно упругое столкновение частицы со стенкой Я 17.3): молекула отскакивает от частицы практически с той же 269 скоростью в противоположном направлении, а импульс броунов- ской частицы меняется на малую величину Лрж2р,.
Потребуется огромное количество столкновений молекул с броуновской частицей, чтобы она «забыла» о первоначальном направлении своего движения и стала двигаться в другом направлении. «1исло этих ударов можно оценить так: Л,=р1р,= 1О. Это позволяет оценить промежуток времени Аг, в течение которого частица проходит один «шагм ЖжЛ'»тж!0" 1О-" =10-' с. Естественно, что за время наблюдения порядка г'ж1 час число «шагов> составит 1о» 1'«' = — = —, =! 0'.
л«1о- 5. Поскольку с точки зрения силового воздействия броуновскую частицу можно рассматривать как макроскопический объект, то суммарное воздействие сталкивающихся с ней молекул можно приравнять силе вязкого трения Р =6пг»1в Ц 11.8). Однако если воздействие силы вязкого трения на макроскопический объект сводится к его торможению, то в случае броуновской частицы эта сила на длине «шага» сначала затормозит частицу, а затем вновь разгонит ее до прежней скорости движения, но в другом направлении.
Итак, работа средней силы вязкого трения на длине «шага» примерно равна удвоенному значению кинетической энергии теплового движения: Р,»7 ж2«„. Подставив значения величин, имеем — ° бпгт)п7. ж 2 ° —, йТ. 1 3 2 2 Умножим обе части равенства на время наблюдения и учтем, что е1ж А77.; получим: пг»1П7.»жй77. Итак, Л» = Ж7.» =- — 1. ж Мы получили формулу Эйнштейна, пользуясь которой можно из результатов наблюдений за поведением броуновской частицы определить постоянную Больцмана, а затем и число Авогадро Я 26.9), Такие опыты поставил в 1908 — 1913 гг. К.
Б. Перрен, получивший впервые для числа Авогадро надежное значение: 6 10"~А1,~7.10" Эти классические работы сыграли огромную роль в обосновании статистической физики. 270 ГЛАВА 29 ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ ф 29.1. Тепловые машины и развитие техники Прогресс человечества теснейшим образом связан с развитием энергетики. Овладение попым источником энергии, открытие новых путей се преобразования и использования — это обычао целая эпоха в истории материальной культуры. Так, мощный расцвет промьппленности в Х1Х в.
был связав с изобретением первого теплового двигателя — паровой машины. Создзние двигатечн внутреннего сгорания послужило базой для развития автомобильного транспорта и само. легосгроения. Газовая турбина буквзльно в последние два десятилетия вызвала переворот в авиации — замену тихоходных самолетов с поршневым двигателем реактивными и турбовинтовыми лайнерами, скорость которых приближается к скорости звука, а в последнее нрсмя — н сверхзвуковыми.
С помощью реактинных тепловых двигателей осуществлена вековая мечта человечества — выход в космическое пространство. Основная доля электроэнергии вырабатывается тепловыми электростанциями, генераторы которых приводятся в действие паровыми турбинами. На атомных электростанциях энергия, выделяющаяся при ядерных реакциях, также преобразуется сначала в энергию пара, который приводит в дви'кение паровую турбину, а последняя — ротор генератора, в котором вырабатывается ток.
Из курса восьмилетней школы читатель знаком с устройством и принципом действия ряда тепловых двигателей, таких, как паровая машина, паровая турбина, двигатель внутреннего сгорания. В данной главе мы воспользуемся началами термодинамики для того, чтобы изучить общие свойства всех тепловых машин и назначение их основных узлов, а также выяснить параметры, определяющие к, п. д, этих машин и пути его повышения. 9 29.2. Тепловой двигатель 1. Все тепловые двигатели, независимо от их конструктивных особенностей, решают одну и ту же задачу — превращение внутренней энергии в механическую.
Для этой цели энергия, выделяющаяся при сгорании топлива или при ядерных реакциях, передается путем теплообмена какому-либо газу. Расширяясь, газ производит работу против внешних сил, приводя в движение какой-либо механизм. 2. Очевидно, что в тепловом двигателе газ не может беспредельно расширяться, ибо машина имеет конечные размеры. Следовательно, после расширения газ должен быть затем сжат так, чтобы он сам и все детали машины пришли в первоначальное состояние. После этого может быть произведено повторное расширение и т.
д. Итак, мы приищи к выводу, что тепловой двигатель должен работать циклично; в течение цикла за процессом расширения газа следует его сжатие до первоначального состояния. Реальные тепловые двигатели обычно работают по так называемому разомкнутому циклу, когда газ после расширения выбрасывается, а сжимается новая порция. Однако это существенно не влияет на термодинамику процесса, и мы будем ниже рассматривать замкнутый цикл, когда расширяется и сжимается одна и та же порция газа. 3. Для того чтобы двигатель в течение цикла совершил полезную работу, необходимо, чтобы работа в процессе расширения была больше работы сжатия. В этом случае внешние тела, окружающие 271 Рис.
29.! 929.3. Схематическое устройство и энергетический баланс теплового двигателя 1. На основе предыдущих рассуждений можно рассмотреть схему устройства и энергетические процессы, характерные для любого теплового двигателя, независимо от его конструктивных особенностей. Жглейзявлл Любой тепловой двигатель состоит / из трех основных частей: рабочего тела, нагревателя и холодильника !рис. 29.2). Рабочим телом служит какой-либо газ !или пар), за счет расширения которого совершается ра;: .явлв:х = бота. Рабочее тело получает не!:оторое количество теплоты Я, от нагревафл тела — тела, у которого за счет сгорания топлива или за счет ядерных Хвллчгалллат реакций поддерживается постоянной высокая температура Т,. Наконец, при сжатии газ передает некоторое количество теплоты Я, холодильнику — телу, температура которого Т, постоянна и всегда ниже температуры нагревателя. За счет этого давление газа при сжатии ниже, чем при расширении, что, как 272 двигатель, получат больше механической энергии, чем отдадут при сжатии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
