yavor1 (553178), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. Я =-О, имеем Разделим обе части равенства на Лт и учтем, что Лт/ЛУ = р есть плотность газа. Перенеся все члены с индексом 1 в одну часть, а с индексом 2 — в другую, получим (30.7) рь 2 рй Формула (30.7) есть уравнение энергии для потока идеального газа, иначе она называется уравнением Бернулли. 281 2. Подставив в (30.7) значение давления р = Кр Т7М (см. (26.18)) и учитывая, что се —— с„+(Ййи), имеем с с + егТь + ср7 ц (30.8) Используя значение (26.18), получим ь~~ Мс р, ь~ ~Мс„л — + — — = — + — — ° 2 Я р~ 2 Я р~' Мс ср т ср Но — = = —, ибо — =у.
Итак, й ср — сг т — !' ст — + — — = — + — — ° т ш ь! т Рь (30.9) 2 т — !Ш 2 т — !рс' Это выражение для уравнения Бернулли нам понадобится в дальнейшем. 3. При движении идеальной несжимаемой жидкости ее плотность и температура остаются неизменными. Полагая в равенстве (30.7) рд — р, = р и Т, = Т„имеем (30. 10) Это н есть уравнение Бернулли для несжимаемой идеальнойжидкости. й 30.5. Скорость распространения упругих возмущений 1. Представим себе, что в каком-то слое неподвижного газа внезапно повысилось давление в результате быстрого сжатия или нагревания.
За счет избытка давления этот слой станет рас!ниряться, передавая импульс давления соседним слоям. Сжатие этих слоев будет передаваться все далыпе, и в газе возникнет волна упругих возмущений. Аналогичное явление можно наблюдать, если бросить в воду камень. Здесь также возмущение передается от слоя к слою, и по воде бежит круговая волна (рис. 30.2). Фронтом волны называется поверхность, во всех точках которой термодинамические параметры (скорость, плотность, давление и температура) газа имеют одинаковые значении.
Скоростью перемещения фронта волны !скоростью волны) и называется скорость передачи упругого возмущения от слоя к слою. 2. Для вычисления скорости волны удобно перейти к системе отсчета, которая движется вместе с фронтом волны. Действительно, в системе отсчета хуг, связанной с невозмущенным газом, процесс распространения волны является неустановившимся, ибо параметры газа меняются со временем.
В системе же отсчета х'у'г', движущейся вместе с фронтом волны, процесс установившийся, и к нему можно применить уравнения неразрывности, 282 импульсов и знергии, рассмотренные в предыдущих параграфах (рис. 30.3). В движущейся системе отсчета невозмущенный газ набегает на фронт волны со скоростью и = — в; сжатый газ отстает от фронта Рис. 30.2. волны и движется влево со скоростью и, = — о, — щ (рис. 30.4). Применив к потоку уравнения неразрывности (30.4) и импульсов (30.6), получим Ри =Рси4 р+Рй =р~+Р~4.
(30.11) Выразив из первого равенства и, =ри/р, и подставив во второе, Гееееиа':.'; йе)езиущен , еее ....:'::...еж~ газ; Рис. 30зк Рис. 30.3. получим для скорости распространения фронта волны выражение (30.12) Г Р Рх Р 3. В газах возможны волны двух типов — ударные и звуковые. Ударная волна характерна тем, что на фронте волны термодинамические параметры меняются скачком и разности давлений р, — р и плотностей р, — р могут быть весьма значительными.
Поэтому говорят, что фронт ударной волны представляет собой скачок уплоагненил. Звуковьы волны представляют собой волна слабьгх возмущении. Разности давлений и плотностей представляют собой очень малые величины: Ьр(~р и Лр((р. Поэтому можно в формуле (30.12) положить р, = р+ Лр ж р, и для скорости звуковой волны получится следующее выражение: а= ~/ р.
(30.13) 4. Звуковые волны распространяются довольно быстро, и при прохождении фронта волны через газ процесс его сжатия следует считать адиабатным. Это позволяет вывести более удобное выражение для вычисления скорости звуковой волны. Воспользуемся выражением для работы при квазистатическом адиабатном расширении газа на малый объем Л)г (см. (27.25)).
Полагая рх= р — Лр, )гз= )7 — Л)', рз= р+Лр, )ге= )г+ Л)г, имеем р,)7,— рз(гз (р — Лр) (У вЂ” Л)г) — (р+Лр) ($г+Л)г) — 20г Ьр+р Л)г) А— С другой стороны, А = р,р((гз — )Гт) = 2рЛ)г. Приравняв получим 2 (1' Ьр+ р Л)') зги выражения, или Л)г Лр т р ' (30.14) Появление знака минус вызвано тем, что при расширении газа объем возрастает, Л)г> О, а давление уменьшается, следовательно, Лрс О. Масса газа и= р)7.
При изменениях объема меняется и плотность, но масса газа сохраняется. Следовательно, р р (30. 15) Подставив в (30.14), имеем Лр Лр т Р Р (30.16) Скорость звука, согласно (30.13) и (30.16), выразится следующим образом: (30.17) и р или, учитывая, что по уравнению газового состояния р =КРТ!М '(см. (26.18)), имеем (30.18) (р+Лр) (и+Л ) =(р — Лр) 07 — ЛР). Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим 2Лр)г =- — 2Л)гр, откуда следует, что относительное изменение объема равно относительному изменению плотности (по модулю): Таким образом, скорость звука в идеальном газе целиком определяется его температурой. Зная, что для воздуха у == '/, (двухатомный газ) и 7И =- =-29 кг!кмоль, рекомендуем читателю самостоятельно показать, что здесь скорость звука а=20)' Т (в м1с).
ф 30.6. Учет сжимаемости газа. Число Маха 1. Выше уже говорилось, что в некоторых случаях можно сжимаемостью газа пренебречь и полагать, что его плотность является постоянной величиной. Введем критерий, позволяющий оценить те условия, когда такое упрощение задачи допустимо. Наибольшее возрастание давления в газе, очевидно, получится в том случае, когда он полностью затормозится, Пусть до торможения его скорость равна о, давление р и плотность р. После торможения скорость о, =- О, давление р, = р+ Лр и плотность р, = р + Лр. Согласно уравнению Бернулли (30.9) т р т (р+лр) 2 т — 1 р т — 1~р-1-лр/' Или так т 1'в+ля р') т лр /лр л'1 2 т — 1~,р+лр р7 т — 1р+лр1,Лр р!' Но согласно (30.13) и (30.17) — — = а', — == †. Подставив в предыЛр р а" ЛР и т дущее равенство и учитывая, что Лр(~р, имеем в~ т Лр 7 а~1 Лр — = — — ° — (а" — — ~=а'— 2 т — 1 р(, т) р 2.
Итак, относительное изменение плотности газа при торможении потока лр гы р 2а~ ' (30.19) М= —. о а ' (30.20) Число Маха служит критерием сжимаемости газа. Именно, нз (30.19) следует, что если число М мало, то Лр ((р, и сжимаемостью газа можно пренебречь; если же число М велико, то плотность газа меняется существенно, т. е. сжимаемостью газа пренебречь нельзя. Отношение скорости потока о к скорости распространения звука а называется числов Маха: 5 30.7. Конус Маха 1. Источником звуковых волн является любое тело, движущееся в газе.
Это тело, набегая на неподвижный газ, создает впереди себя область повышенного давления, что и служит причиной возникновения волны упругих возмущений. Форма этой волны существенно зависит от скорости движения тела. Для простоты рассмотрим я-аг вначале точечный источник: те- ло, размерами которого в данной а 4 4 аа а~ задаче можно пренебречь. 2. Пусть скорость движения "т'"<Р тела и меньше скорости звука, М =о~а(1.
Фронт звуковой волны представляет собой сферу, центр которой лежит в точке, где находился источник в тот момент, Рис. 305. когда ои возбудил волну. Пусть в начальный момент тело нахо- дилось вточкеО„ через секунду — в точке О„ еще через секунду— в точке О, и т. д, (рис.
30.5). Через 4с тело будет находиться в точке О,. Фронт волны, вышедшей из точки О„есть сфера с радиусом Ь', =4а; из точки О, — сфера с радиусом К, = За; из точки Рис. 30 б. О, — сфера с радиусом )с, = 2а и т. д. Из рис. 30.5 видно, что в этом случае тело все время движется внутри сферической волны, которая его опережает. Путь, пройденный телом за 1 секунд, равен 1=о1; ои меньше радиуса сферической звуковой волны Я=лг. Совершенно иной результат получится, если скорость точечного источника о больше скорости звука (М) 1). В этом случае тело пере- А' а ! з)па = — = — = —. Е с М ' (30. 21) 3 30.6.
Ударная головная волна 1. Рассмотренный в предыдущем параграфе случай точечного источника представляет собой весьма упрощенную идеализацию явлений, возникающих при движении в газе тела со скоростью, превосходящей скорость звука. На самом деле впереди тела, имеющего Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
