yavor1 (553178), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Силовое же поле, наоборот, стремится по возможности упорядочить распределение молекул с тем, чтобы онн заняли уровень с наименьшим значением потенциальной знергии. Под действием обоих этих факторов молекулы газа распределятся по всему сосуду, но их концентрация в разных точках окажется различной. А именно, наибольшая концентрация молекул окажется там, где их потенциальная энергия минимальна; в тех же участках, где потенциальная энергия велика, концентрация молекул окажется малой. 3. В качестве примера можно рассмотреть характер изменения концентрации молекул в атмосфере Земли (и других планет).
Опыт показывает, что по мере подъема над поверхностью Земли атмосферное давление и плотность воздуха убывают (табл. 26.3). Заметим, что при исследовании атмосферы следует вводить поправку на изменение температуры газа с высотой, что несколько усложняет расчет. й 28.11. Барометрическое распределение 1, Выведем выражение для закона распределения молекул в силовом поле. Для простоты рассуждений будем считать температуру газа постоянной во всех точках. Для расчета введем понятие о вероятности нахождения молекул в данной точке силового поля, где потенциальная энергия молекулы равна О. Вероятность ш равна отношению концентрации молекул в данной точке поля п к концентрации молекул л, в той точке поля, где потенциальная энергия равна нулю: ш=п/л,, (26. 20) 2. Анализ характера воздействия силового поля и теплового движения молекул, проведенный в предыдущем параграфе, показывает, что вероятность нахождения молекулы в данной точке сосуда зависит от ее потенциальной энергии в этой точке и от температуры газа.
Чем больше потенциальная энергия У, тем меньше вероятность того, что молекула окажется в этой точке. Чем выше температура, тем вероятнее, что молекулы распределятся более равномерно, т. е. тем больше вероятность найти молекулу в данной точке сосуда. Введем вспомогательную переменную х, равную отношению потенциальной энергии молекулы У к средней энергии ее теплового движения ет'лТ, т. е. х= ИЬТ. Тогда оказывается, что вероятность найти молекулу с данной энергией есть некоторая функция этой переменной: ш =Ях). (26.21) Потенциальная энергия молекулы на некоторой высоте й=й,+Ь, равна сумме энергий: У=У,+У,. Переменная л= —, = —. -1- 1— ,„= х, +х,.
Вероятность )(х) =~(х, + х ). Как доказывается в теории вероятностей, вероятность сложного события, состоящего из двух независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности: щ =щ, щь или ~(х,+х,) =)'(х,) ~(х,). (26.22) Можно показать, что единственная функция, удовлетворяющая этому уравнению, это показательная функция вида г (х) о-«» (26.
23) Для проверки воспользуемся свойством показательной функции: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, т. е. (26.24) ц- ю иь+ чп — ц-ак1, ц-~л» Основание а 1 может быть. выбрано совершенно произвольно. Зто отразится лишь на численном значении коэффициента а. Обычно выбирается основание натуральных логарифмов — иррациональное число е = 2,71828... При а = е коэффициент а = 1. 3. Итак, вероятность найти молекулу в точке поля, где ее потенциальная энергия равна У, выразится так: У ц, (26. 25) Знак минус в показателе появляется по следующим соображениям. Как уже указывалось, чем больше потенциальная энергия молекулы в данной точке, тем меньше вероятность того, что молекула там окажется.
Следовательно, искомая вероятность является убывающей функцией. А при основании а 1 показательная функция убывает, если ее показатель является отрицательным числом. 4. Сопоставив уравнения (26.20) и (26.25), получим выражение для концентрации молекул: о и =-и е лг. О (26. 26) Соответственно получим для плотности газа У р=ре г (26.27) и для давления о р=р,е "'. (26.28) 5. Если рассматривать распределение молекул в поле силы тяжести Земли (нли другой планеты), то при й((Я, где )т — радиус планеты, можно положить, согласно (18.21), что (7 = таей, где т,— масса молекулы, д — ускорение силы тяжести и й — высота над поверхностью планеты.
Для давления получится выражение (26,29) О График этой зависимости показан на рис. 26.8. Она называется барометрическим распределением. Аналогичное выражение получится и для плотности газа. Этот результат хорошо согласуется с данными эксперимента для атмосферы Земли. Именно барометрическим распределением объясняется отсутствие атмосферы у Луны и крайняя степень разреженности атмосферы ззт Марса. Благодаря малой массе этих небесных тел у них относительно слабое поле тяготения: на Луне сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, на Марсе — в 2,6 раза. Ио, как видно из (26.29), о ьер1 Рис.
26 Э. Рис. 268. при малом у резко возрастаег вероятность того, что молекулы окажутся на больших высотах (рис. 26 9), где поле тяготения значительно слабее, чем на поверхности планеты. Скорость молекул может здесь оказаться больше второй космической скорости, и газ рассеется в мировом пространстве. ГЛАВА 27 ИДЕАЛЬНЫВ ГАЗ И ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ ф 27.1, Внутренняя энергия одноатомного идеального газа 1. Идеальный одноатомный газ является простейшей термодинамической системой, и его внутреннюю энергию можно легко вычислить. Вспомним, что молекулы идеального одноатомного газа мы рассматриваем как материальные точки, взаимодействие между которыми столь мало, что им можно пренебречь.
Отсутствие сил взаимодействия означает постоянство потенциальной энергии молекулярного взаимодействия (2 19.5). Сумма энергий покоя самих молекул тоже постоянна, нбо сами молекулы прн тепловых процессах не изменяются. Полагая в (20.2) ку,">+8,">+...+ь"с ~ = сопз1, получим, что внутренняя внергия идеального одноатомного газа представляет собой сумму кинетических внергий поступательного движения молекул плюс некоторая постоянная величина.
В термодинамике принято обозначать внутреннюю энергию символом У, а не еу„как мы это делали в гл. 20. Итак, У К1+ К2+ + Кп + сопз1 (27.1) где К„, К„ ..., Кн — кинетические энергии поступательного дви- жения отдельных молекул. Учитывая, что средняя кинетическая энергия молекулы е„=(К„+ К,+...+Кн)(((, а согласно (26.8) гь — — ь(, Ит, получим и =ИВ +сонэ!= и ИИТ+сопй, где ()( — общее число молекул в газе.
Постоянное слагаемое в выражении (27.2) нередко опускают, поскольку во всех дальнейших расчетах оно не играет роли. 2. Из (27.2) следует, что внутренняя энергия идеального газа полностью определяется его абсолютной температурой. Она не зависит от того, с помощью какого процесса газ пришел в состояние с этой температурой. Соответственно и изменение внутренней энергии идеального газа при переходе из состояния с температурой Т, в состояние с температурой Т, определяется только его начальным и конечным состояниями, но не зависит от характера процесса, с помощью которого раз переходит от первого ко второму состоянию: и,— и,= — и (т,— т,), 3 (27.3) $27.2. Работа при расширении идеального газа 1. Пусть идеальный газ заполняет некоторый цилиндр, перекрытый подвижным поршнем (рис.
27.1). При перемещении поршня на бесконечно малое расстояние Лх совершится элементарная работа ЛА =г" Лх. Из определения давления следует: г" =р5; так как В Лх= = ЛУ есть бесконечно малое изменение (г объема газа, то элементарная работа ЛА =р ЛУ. (27А) При расширении газа он совершает ло- рис. 27!. ложшпельную работу против внешних сил (ЛУ)0). При сжатии же газа работа отрицательная, поскольку АУ~0; ее совершают внешние силы, сжимающие газ. 2, Работа, совершаемая при изменении обьема газа на конечную величину У,— У„находится следующим образом (см.
$ 18.1). Разбиваем полное изменение объема на элементы объема ЛУп ЬУь ..., ЛУн. Вычисляем средние значения давления на отдельных участках: П) Р)+Рь )й) Р2 ГРз !хч Рм+Рм+! Тогда полная работа А =ЛА,+ЛА,+... +ЬАн = Рср '(~)У)+рср ' л)Уь+ ° ° ° + рер ' ьУУ (27.8) 239 Чем меньше выбранный элемент объема Л)7, тем точнее совпадет результат численного расчета с истинным значением искомой работы. 3. Графически работа изображается площадью криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком давления, а слева н справа крайними ордннатами (рис.
27.2). 4. Следует обратить внимание на тот факт, что работа при изменении объема газа определяется не только начальным и конечным состояниями газа, но и характером процесса, с помощью которого Рис. 27 2. Рис. 27.3. газ переходит от начального состояния к конечному. Зля доказательства сравним рис. 27.2 и 27.3. Здесь начальные и конечные состояния газа одинаковые,тем не менее работы А' и А не равны между собой: А'(А, поскольку промежуточные состояния в обоих процессах отличаются. А это означает, что сила давления газа не является консервативной и работу силы давления нельзя рассматривать как разность потенциальных энергий (см.
2 18.6). 3 27.3. Первое начало термодинамики и теплоемкость газа 1. Изменение полной энергии неподвижного газа сводится к изменению его внутренней энергии: Лв. = АУ= У,— У,. Подставив в (21.9), получим Я= У,— У,+А. (27.6) Для одноатомного газа с учетом (2?.3) это выражение для первого начала термодинамики примет внд О =- —,)Уй(т,— т,)+ А. з (27.?) 2. Количество теплоты, полученное газом, состоит из двух слагаемых. Одно из инх — изменение внутренней энергии — определяется только начальным и конечным состояниями системы и не зависит от характера процесса, переводящего систему из начального состояния в конечное; второе слагаемое — работа — зависит от характера процесса, который происходит с газом.
Естественно, 240 что и количество теплоты зависит не только от начального и конечного состояний, но и от характера исследуемого процесса. Итак, количество теплоты и работа являются количественными характеристиками не состояния системы, а процесса, происходящего с ней. Так же как нельзя говорить о «запасе работы» в системе, нельзя говорить и о «запасе теплоты». Количество теплоты и работа суть количественные характеристики двух разных форм изменения энергии системы, а не какие-то особые виды энергии. Именно поэтому ие имеет физического смысла термин <тепловая энергия», который нередко встречается в литературе.
3. Удельной теплоемкостью называется отношение количества теплоты, полученного системой, к ее массе и изменению ее температуры: (27.8) где т — масса системы, Т, — начальная и Т, — конечная температуры. Удельная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу с единичной массой для повышения его температуры на один градус. Единицей измерения удельной теплоемкости в Международной системе единиц служит Дж!(кг К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
