yavor1 (553178), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Здесь — 1 — . 1=-806 — 1=80. га" а сгФ )г 1 — и'/с' )г 153, 994! Следовательно, при этих скоростях кинетическая энергия протона в 80 раз больше его энергии покоя. Пренебрегая энергией покоя по сравнению с кинетической, получим из (16.3) приближенно для ультрарелятивистских скоростей (16.6) 9 16.3. Энергия и импульс 1. Выведем соотношение между полной энергией тела и его импульсом, которое нам потребуется в дальнейшем. Для этой цели возведем в квадрат выражение для релятивистской массы (13.3); после несложных преобразований получим т'с' — т'и* =- лг'с' г или, умножив на с~г т'с' — т'и'с' = т,'с' (16.7) Учитывая, что импульс тела р = ти, полная энергия гт = тс* и энергия покоя ггг,=- т~с', имеем хчг д+ )гвсг (16.8) В ультрарелятивистской области К-8 = рс. (16.9) 2.
Анализ выражения (16.8) показывает, что существуют два способа изменения полной энергии тела. Во-первых, можно изменить импульс тела, не меняя энергии покоя. Для этого необходимо изменить скорость движения тела относительно избранной системы отсчета. Во-вторых, можно изменить энергию покоя; при этом, естественно, изменится н масса покоя этого тела. На первый взгляд неясно, с помощью каких процессов можно изменить массу покоя тела.
На самом же деле такие процессы возможны, что будет показано в гл. 20 и 21. 5 !6.4. Кинетическая энергия и работа 1. Рассмотрим случай, когда на тело действует сила )с; составляющая угол сг с направлением перемещения. В общем случае мы можем считать силу переменной, а траекторию тела криволинейной.
188 Положим 8, =8 — '(, Л8, 8, =8+'!, Л8; '/ Лр р =.р+'! Лр. Л8 28.=Лр 2рс' или Л8 тс'=Лр тис'. Тогда Итак, Л8= ЛК=.=и Лр. и разделив (16.10) на Л1, учтем что иЛ( =-. Л(, — - = Г = Г соых. Лр и (16. 10) Умножив !39 Разложим силу на две компоненты (рис. 16.1), тангенциальную г"!=-Рсозя и нормальную Р„=сз(пи, и рассмотрим, как они влияют на кинетическую энергию тела. Нормальная компонента силы меняет только направление вектора скорости, но не меняет ее абсолютной величины (см.
й 4.8), поэтому нормальная компонента силы не меняет кинетической энергии тела. Действительно, в выражение для кинетической энергии (16.4) входит квадрат скорости, сле- д!, довательно, кинетическая энергия зависит только ог модуля скорости (или ! импульса), но не зависит от направления этих векторов. Тангенциальная же компонента силы влияет именно на абсолютную Рис. !6.!. величину скорости (или импульса), но не на их направление. Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит под действием тангенциальной компоненты силы. Последняя, согласно (13.5), может быть записана так: р.— л1 дл р,= !з гг д! Действительно, тангенциальная компонента силы характеризует изменение абсолютной величины импульса в единицу времени, поэтому следует в выражении (13.5) вместо разности векторов рассматривать разность модулей этих векторов.
2. Пусть под действием силы тело переместилось на малое расстояние Л) в течение малого промежутка времени Л(. При неизменной энергии покоя изменение кинетической энергии тела равно изменению его полной энергии: ЛК==-К,— К,=-(8,— 8,) — (8,— 8,) =-8,— 8,=л8. Изменение полной энергии может быть вычислено с помощью выражения (16.8): 8; = К+ р',сс, 8,' = Д+ р,'с'.
Вычитая из первого равенства второе, получим (8 — 8,) (8,+8,) =-(р,— р,) (р. + р,) с. Прн неизменной энергии покоя изменение полной энергии тела равно изменению его нинетической энергии. Тогда получим ЛК= Р,Л(= РЛ1 (16. 11) 3. Физическую величину Р, Л1 =- РЛ1 соз а назовем элементарной работой: ЛА = г Л( соз а == Е, Л1. (16. 12) Из (16.11) и (16.12) следует ЛА =- ЛК, (16.13) т. е. элементарная работа равна бесконечно малому измененшо кинетической энергии тела.
4. Рассмотрим случай работы произвольной силы на конечном участке траектории (рис. 16.2), Разобьем эту траекторию на малые мм' Рис. 1е.2. участки Л1„Л1„..., Л1„. Лля каждого участка, согласно (16.13), имеем: ЛА,= ЛК,= К,— Кв',ЛА е — ЛКВ= К2 — К;";ЛАи=- ЛКп= К вЂ” Кп Сложив все эти равенства и обозначив полную работу на конечном участке пути А =ЛА, + ЛА, +...+ЛА„, имеем 4 — К Кв, (16.14) ибо все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Итак, работа силы на конечном участке пути равна измененшо кинепшческой энергии тела, т.
е. разности значений кинетической энергии в конечной и начальной точках траектории. Выражение (16.14) выведено на основетрормул теории относительности и потому справедливо для движений тела с произвольными скоростями (по при условии, что энергия покоя не меняется). 5. Учитывая важность этого результата, рекомендуем читателю самостоятельно вывести выражение (16.14) для случая действия постоянной силы в приближении и Яс (ньютоновская механика). Можно, например, воспользоваться выражениями (4.9), (4.10) и (7.2) и получить еие ти1 2 2 (16.15) 140 ф 16.5.
Мощность 1. Средней мощностью за промежуток времени Л( называется отношение работы, совершаемой за это время, к пролоежутку времени: й„-' —,", . (16. 16) Мгновенной лоощностыо называется предел, к копюрому стрелштся средняя ллощность за бесконечно малый промежуток времени: у =- 1!Щ (16.
17) ы оЛ1 2. Мгновенную мощность можно выразить через силу и мгновенную скорость, Для этого подставим в (16.17) выражение (16.12), получим (Ро — ) =Рс1!ш — =7ои, л1Л , лг ьс о Л1) ьс оЛГ где и — модуль мгновенной скорости. Следовательно, у = р, и = г и соз тх. (16.18) Заметим, что если сила перпендикулярна траектории (со =Ы2), то н работа, и мощность равны нулю.
ф 16.6. Единицы измерения энергии, работы и мощности 1. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то работа и энергия измеряются одними и теми же единицами. В Международной системе единиц (СИ) единицей работы является джоуль. Джоуль — это работа, совершаемая силой 1 Н на расстоянии 1 м: 1 Дж —.-1 Н 1 и. Размерность работы: [А)= [г) И =-М1,'7 '. Ту же размерносгь можно получить и так: 1А) = Щ] = [т) [со[ = М!'Т-'. Наглядное представление о масштабе джоуля можно получить пз следующих соображений: если тело массой 2 кг движется'со скоростью 1 м!с, то его кинетическая энергия равна 1 Дж.
2. В системе СГС единицей работы является эрг: 1 эрг = 1 дин 1 см. Очевидно, что 1 Дж = 10' эрг. В технике нередко энергия измеряется в килограммометрах (кГ м или кгс м): 1кгс м =1кгс [м=9,81 Дж. 141 В тепловых расчетах энергию иногда измеряют в калориях; по определению 1 кал = 4,1868 Дж ж 4,2 Дж = 0,427 кгс м. В атомной физике применяется единица измерения энергии электрон-вольт (эВ) и ее производные: килоэлектрон-вольт (1 кэВ = = 10' эВ), негаэлектрон-вольт (1 МэВ = 10' эВ) и еигаэлектронволып (1 ГэВ = 10' эВ). 1 эВ = 1,6 10 "Дж.
Смысл такого наименования единицы энергии будет выяснен ниже (см. 9 18.7). 3. Единицей измерения мощности в системе СИ служит вавил: 1 Вт =- 1 Дж/с. Применяются также единицы: 1 эрг/с=10 ' Вт; 1 кГ м/с =-9,81 Вт; 1 л.с. =75 кГ м/с=735,499 Втж 736 Вт; 1 ккал/ч =,' =- 1,163 Вт. 1О~ 4,2 Лж зеоо с Рекомендуем читателю в порядке упражнения вывести соотношения между единицами: киловатт-час и килокалория; лошадиная сила и килокалория в час; гектоватт-час и килограммометр.
9 16.7. Импульс и энергия локализованной частицы 1. Частица называется локализованной в некоторой части пространства с характерным размером а, если для ее координат справедливы соотношения хь(х(хь+ а, уь(у(у, + а, г,(г(г,+а. (16.19) Это означает, что частица не выходит за пределы кубика, изображенного на рис. 16.3. Естественно, что неопределенность координаты частицы совпадает с характерным размером области локализации: Лхж Луж Лг- а. (16.20) Рис. 16.3. Воспользовавшись соотношением неопределенностей (14.5), найдем неопределенности проекций импульсов: Лр„ж Лр„ж Лр, жй/а. (16.21) 2, Попытаемся оценить величину среднего значения импульса этой частицы. Из (16.21) следует, что разность двух произвольных 142 значений проекции импульса на любую координатную ось не превосходит Ь(а: О <(р„,— р„,(<Ь(а.
— р' Ьа К =- — =— 2»л 2л»пе (16.24) Для ультрарелятивистской частицы в соответствии с (16.9) получим К „рс) Ье(а. (16.25) Если число частиц в единице объема (т. е. концентрация частиц) равна и, то очевидно, что па' = 1, откуда следует, что а = и-чь Подставив в (16.24) и (16.25), выразим кинетическую энергию через концентрацию частиц: — Ьепч К) —, 2ш К „) Ьса г'. (16.26) (16.27) 4. Итак, частица, локализованная в некоторой области пространства, ие может покоиться: среднее значение ее импульса равно р ж Ь(а, среднее значение кинетической энергии равно К ж Ье(2таа (или К „Ье(а). Этот результат представляется на первый взгляд парадоксальным, он противоречит нашему повседневному опыту, где мы наблюдаем множество покоящихся тел.
Разобраться в этом парадоксе нам помогут две задачи. Задача Е Пусть на столе лежит копеечная монета (т = 1 г = = 1О ' кг). Оценим ее средний импульс и скорость. Область лока- *) Мы видим, что среднее значение импульса локали ованной частины не меньше неопределенности импульса, т. е. р~Г»р. Аналогично и энергия ~»-'"-Л~». Но сумма модулей двух величин не меньше модуля их разности: ( р„, ( + ! р„, ! ) ( р„,— р„, ( ж Ь,(а. Среднее значение проекции импульса иа ось абсцисс: р„= '(, ( ! р„, /+ ( р„, / ) ~ Ь(2а.
Аналогично для других проекций р. ж ра ж о, ~ Ь(2а. (16. 22) Отсюда следует выражение для среднего значения импульса частицы р=~l р,'+р„'+р,'Рь 1г' ЗЬе(4аежгь(а, (16.23) где а — размер области локализации *). 3. Выведем выражение для средней кинетической энергии локализованной частицы. Для нерелятивистского случая имеем согласно (16.5) и (16.23) лнзации здесь по крайней мере не меньше ее размеров: а ж 1 см = = 10-' м. Среднее значение импульса Ь 1О-' р — — — — 10 " кг м!с !0-2 средняя скорость 10-32 и = ~ =, = 10-м мгс. 1О- Естественно, что такой скоростью можно пренебречь и с полным правом считать монету покоящейся. Мы вновь видим, как и в Э 14.3, что в области ньютоновской механики можно пренебречь следствиями из соотношения неопределенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
