yavor1 (553178), страница 24
Текст из файла (страница 24)
А именно, мы показали, что при достаточно медленных движениях вполне допустимо пользоваться формулами ньютоновской механики, при анализе же быстрых движений правильные результаты дает только теория относительности. Попробуем более точно ввести критерий того, какие движения следует считать медленными, а какие — быстрыми. Допустим, что аппаратура позволяет производить измерения величин с точностью до и значащих пифр.
Тогда, если относительная ошибка (т. е. разность между двумя величинами, деленная на измеряемую величину) меньше 10 ", то мы ее обнаружить не сможем. Подсчитаем, при какой же скорости движения тела не могут ыт быть обнаружены изменения его массы. Относительная ошибка прн измерении массы Ьм м — и, — = 1 — )' 1 — и'/с'.
ги т (13.8) Эта ошибка должна быть меньше 10 ", следовательно, 1 — ) 1 — и'/с' < 1О " нли 1 — 10 "< )Г1 — иь/с'. Возведем неравенство в квадрат, что возможно, нбо единица больше чем 10-". Тогда 1 — 2.10-"+10 '"<1 — и'/с' или и<с)' 2 10 "— 10 "*. Учитывая, что 10-'"(( 10 ", имеем и < с) 2 10-". 1!8 Пусть, например, измерения производятся с точностью до шести значащих цифр (а =6). Тогда и ( с)Г2 10-' = 423 км/с.
Таким образом, при скоростях движения, не превосходящих четыреста километров в секунду, масса пои в-лг коя отличается от релятивистской массы менее чем на 10-', т. е. менее чем на одну десяти- Ь тысячную долю процента! В реальных условиях дан,н о кй жения больших тел их скорость значительно меньше указанною предела — даже космические '4, ракеты имеют скорость около 10 км/с, т.
е. в 40 раз меньше. Да и измерения в технике редко Рис. 13 ли когда производятся с такой точностью. Ясно, что в этих условиях применение законов ньютоновской механики для расчета движения тел даст идеальные по своей точности результаты. Однако в мире атомных частиц нередко встречаются скорости, близкие к скорости света в вакууме. В этом случае только приме- кение законов теории относительности даст правильные результаты. В частности, при анализе движения быстрых микрочастиц удалось опытным путем проверить выражение для релятивистской массы (13.3), причем результаты эксперимента оказались в отличном согласии с теорией, 2.
Изложенные соображения позволяют нам ввести следующую классификацию движений (рнс. 13.2). Ньютоновская область. Скорость движения тел столь мала, что измерительная аппаратура не позволяет обнаружить релятивистские эффекты замедления времени, сокращения длин, возрастания массы н т. и. Здесь вполне допустимо пользоваться законами ньютоновской механики. Релятивистская область. Скорость движения достаточно велика, и релятивистские эффекты становятся вполне измеримыми. Естественно, что здесь правильные результаты дает только теория относительности. Ультрарелятивистская область. Скорость тела становится почти равной скорости света в вакууме. Точнее, разность между скоростью тела и скоростью света меньше чувствительности измерительного прибора. Конечно, и в этом случае только применение законов теории относительности даст верные результаты.
В нашем примере, когда точность измерений не превосходит 1О ', классическую область скоростей составляют скорости, меньшие 400 км(с; ультрарелятивистскую область — скорости, отличающиеся от скорости света менее чем на 300 м!с; остальной диапазон скорое~ей — это собственно релятивистская область. 3. Рассмотрим, как же меняется импульс тела под действием постоянной силы. Из уравнения (13.5) при условии, что при (, =- 0 начальный импульс р, =О, следует: р = г"г'. (13.9) Итак, под действием постоянной силы импульс возрастает пропорционально времени. В ньютоновской области импульс возрастает только за счет роста скорости, ибо изменением массы можно пренебречь.
Наоборот, в ультрарелятнвистской области скорость тела практически не меняется, и импульс растет только за счет роста массы. Естественно, что в промежуточной (релятивистской) области рост импульса происходит за счет возрастания обоих сомножителей — как скорости, так и массы. При этом скорость растет медленнее, чем в ньютоновской области, именно из-за возрастания массы ускоряемого тела. ГЛАВА 14 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ й 14.1.
Начальные условия и измерительная аппаратура 1. Успешное применение рассмотренного в гл. 8 метода решеяия основной задачи динамики в ньютоновской механике неизбежно приводило ученых к мысли, что эти методы являются универсальными, что их можно применять для решения любых задач. При этом никто всерьез не задавался вопросом: а можно ли на самом деле задать начальные условия настолько точно, как это нам необходимо? Само успешное решение задач приводило к мысли, будто бы начальные условия могут быть заданы с произвольной степенью точности.
Конечно, измерение координат и импульсов производится сопределенной погрешностью. Однако в Х1Х в. предполагалось, что путем усовершенствования измерительной аппаратуры погрешность 1!9 измерений может быть сделана сколь угодно малой. Дальнейпгее развитие науки показало несостоятельность этой точки зрения.
Попытаемся на примере проанализировать в общих чертах действие приборов, с помощью которых можно измерить координаты и скорости тел. 2. Для определения координат самолета применяется радиолока. тор (рис. 14.1). Антенна локатора излучает радиоволны короткими импульсами. Волна, дойдя до самолета, отражается от него и возвращается к антенне. На экране локатора получаются две отметки: от отправленного н принятого (отраженного) сигнала. Зная скорость Рис.
14.1. движения луча по экрану и и скорость радиоволны (с = 3.1(г" м/с), Ь 2Х можно из пропорции — = — по величине смещения отметки суи с с дить о расстоянии до самолета Х =- — 1,. Смещение на экране гра- 2и дунруется в километрах (ибо величина с(2и постоянна и известна). Это позволяет без дополнительных расчетов сразу же определять координату самолета по отметкам на экране осциллографа.
Заметим, что с помощью прибора, который служит для определения .мгновенных значений координат, невозможно измерить мгновенные значения скорости. Правда, наблюдая за движением отметки на экране локатора, можно определить среднюю скорость самолета за некоторый промежуток времени, но мгновенную скорость самолета в момент измерения координаты найти с помощью этого прибора невозможно. 3. Существуют приборы, с помощью которых можно измерить мгновенную скорость точки. Например, тот же радиолокатор можно переоборудовать так, чтобы он сравнивал частоту колебаний в волне, которую посылает антенна, с частотой колебаний в волне, которая отражается от самолета.
Если самолет движется со скоростью о вдоль оси абсцисс, то темп времени в связанной с ннм системе отсчета измеяяется по сравнению с темпом времени в системе отсчета, связанной с радиолокатором (см. 2 12.9). С изменением темпа времени, естественно, изменяется частота волны, что будет видно на экране переоборудо- 120 ванного радиолокатора: при удалении самолета от локатора волна растягивается вдоль зкрана (рис.
14.2), при приближении — сжимается (рис. 14.3). Пользуясь преобразованиями Лоренпа, можно вывести соотношение между часто~ой отправленнои волны т и частотой Бреющее еееее Рис. 14.2. Фижзгеелаг Рис. !4.3. (14.1) Но ограженной от самолета волны т'. Частотой называется число колебаний в единииу времени; следовательно, частота колебаний волны в разных системах отсчета обратно пропорциональна промежутку времени между двумя событиями (например промежутку времени между отражением волны от самолета н приемом ее радиолокатором (рпс. 14.4)).
В системе отсчета, связанной с локатором, имеем часготу волны т н промежуток времени И. В системе отсчета, связанной с самолетом, соответственно т' и Л!'. Тогда Лг лг' ' ннлнилнл нн!ныу, ч!н и!и!ньсаалп ьнлаа дьи!кс!си а направлении, противоположном направлению оси абсцисс), получим Д! Д! 1+о/е г' 1 — в!1сл (!4.2) Рис. 14.4.
Если же самолет приближается к локатору, то его скорость имеет противоположный знак и частота отражаемой волны возрастает: (14.4) Это явление называется оптическим продольным згр!ректом Допплера. С его помощью легко измерить скорость самолета — достаточно сравнить частоты излучаемой и отраженной волны. С помощью эффекта Допплера можно измерить также скорость тела, которое само излучает свет, например скорость движения звезды (см.
й 59.8). 4. Однако прибор, позволяющий измерить скорость материальной точки (следовательно, и ее импульс), пе позволяет измерить ее координату. Действительно, для измерения скорости по эффекту Допплера необходимо иметь синусоидальную волну с определенной частотой, для измерения же координаты самолета радиолокатор должен излучать волны короткими импульсами, а такие волны не являются синусоидальными. Следовательно, для одновременного измерения координаты и скорости (или импульса) движущегося тела необходимо иметь два прибора, из которых один измеряет координату, второй — скорость. Нильс Бор (один из основателей современной квантовой физики) показал, что все измерительные приборы можно разделить на два класса таким образом, что приборы одного нз ннх дают информа- Сравнив оба выражения, получим (14.3) Итак, частота волны, которая отражается от удаляющегося самолета, будет меньше частоты волны, которую посылает локатор.
г еl ппю, дополншпельную к той, которую дшот приборы другого класса. Например, одни приборы служат для измерения координат, другие — импульсов или скоростей. Полную информацию о характере движения тела можно получить только при совместном применении приборов обоих типов. 3 14.2.
Соотношение неопределенностей 1. Приборы, с помощью которых производятся измерения координат н скоростей, взаимодействуют с телом, параметры которого измеряются. Так, радиоволна, достигая самолета и отражаясь от него, оказывает на самолет определенное давление и тем самым изменяет его координату и скорость. Конечно, в случае самолета эти изменения совершенно ничтожны, и мы можем их не учитывать. Однако по мере проникновения в микромир стало ясно, что измерительный прибор может вносить серьезные возмущения в характер движения микрочастицы, и воздействием прибора пренебрегать нельзя. Это связано с особой природой микрочастиц, которую мы рассмотрим в разделе, посвященном квантовой механике.
2. В. Гейзенберг проанализировал результаты всевозможных экспериментов, которые могут быть проведены для измерения координаты частицы н ее импульса (или скорости). Он пришел к выводу, что особая природа мнкрочастиц приводит к тому, что при одновременном измерении координат и импульсов возникают неопределенности в их значениях, равные Лх и Лр„соответственно. Эти неопределенности связаны соотношением ЛхЛп Ь, (14.5) где постоянная Планка А = 1,05443 10 " кг.м'lс — одна из важнейших мировых констант, имеющая огромное значение в описании явлений микромира.
С этой величиной мы часто будем встречаться в квантовой механике. Аналогичным соотношением связаны неопределенности координат и импульсов и по другим осям: ЬУ ЛРэжй, Ьг ЛР,жй. й 14.3. Соотношение неопределенностей и классическая механика 1. Сопоставляя метод решения основной задачи динамики с соотношением неопределенностей Гейзенберга, мы видим, что они противоречат друг другу. Действительно, для определения закона движения необходимо максимально точное задание начальных условий; соотношение же неопределенностей показывает, что начальные условия могут быть заданы лишь приближенно, причем степень приближения не беспредельна. Но тогда неясно, как же в классической !23 механике удается найти закон движения с произвольной, наперед заданной точностью? Для ответа на этот вопрос проанализируем три задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
