yavor1 (553178), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В первой из ннх рассмотрим движение макроскопического тела (ракеты); во второй — движение микрочастицы (электрона) на макроскопической траектории и, наконец, в третьей задаче — движение микро- частицы на микротраектории. 2. Задача 1. Ракета массой 10' кг вращается вокруг Земли по круговой орбите. Радиус орбиты 5500 км; скорость ракеты 8 км!с. С какой точностью могут быть за- даны радиус и скорость? Для того чтобы ракета двигалась по окружности, вектор скорости в каждой точке траектории должен быть перпендикулярен радиусу. Зто значит, что компонента скорости вдоль радиуса должна равняться нулю.
Но если эта компонента точно равна нулю, то и ее неопределенность Ли, тоже равна нулю. А тогда, как показывает соотношение (14.5), неопределенность Рис. !4.5. в значении радиуса станет беско- нечно большой. Но мы можем пойти на компромисс. Пусть радиус орбиты задан с неопределенностью Лг, а радиальная компонента скорости равна нулю, но с неопределенностью Ло„, которая может быть получена из соотношения неопределенностей Гейзенберга (рис. 14.5)! Лг. Лр„жй. Если прн этом неопределенности интересующих нас величин значительно меньше их самих, то можно считать, что задача решена достаточно точно.
Положим в нашем случае, что Лг = 1Л 1О-" м, — эта неопределенность примерно равна диаметру атома. Ясно, что на практике оп!ибка любого измерительного прибора значительно больше! Тогда неопределенность радиальной составляющей импульса ракеты ф ю-м Лр — = — — 10 " кг м/с Дг !Ос М а неопределенность радиальной компоненты скорости ДР„ Ф Лп =- —" ~ — — - =10 " м!с. с м ~Л~ !Ои !О-Ы Но ведь орбитальная скорость ракеты 8. 10' и!с несоизмеримо больше полученной неопределенности! Итак, при анализе движения макроскопического тела соотношение неопределенностей не играет никакой роли, Мы можем впол- !24 пс пренебречь неопределенностями координат и скоростей, полагать, ч !о начальные условия могут быть заданы с той точностью, которая пам нужна, и решать основную задачу динамики классическими ме!одами.
3. Задача 2. Электрон движется в бетатроне (приборе для ускорения электронов) по круговой орбите радиусом 2,5 м со скоростью, равной 990о от скорости света: о =- 0,99 0 == 2,97 1О" м(с. С какой !очностью могут быть заданы радиус орбиты и скорость электрона? В отличие от предыдущей задачи, здесь следует учесть зависимость массы от скорости.
Масса покоя электрона 1и, =- 9,1.10 " кг. При данной скорости движения его масса у 1 — о-"1с~ )7 1 — 0,99з )7 ! 99,0 01 1,411.0,1 Поскольку масса электрона значительно меньше массы ракеты, нельзя задать радиус орбиты с такой высокой степенью точности, как это было сделано в предыдущей задаче, Однако если мы зададимся неопределенностью радиуса Лг =- 0,05 мм, то орбита будет определена весьма точно — относительная ошибка составит Лг 0 05 2,5 10' — = — — — 2 1О 1-=- 0,002%.
Неопределенность радиальной компоненты скорости 7! 10 — э4 Ьэ,-,я Л,— 7 9 Ш ы 5 щ ьжО,ЗМ7С. При скорости электрона, почти равной скорости света, радиальной компонентой в 30 см!с можно безусловно пренебречь, положив ее равной нулю. Следовательно, и в этом случае, когда микрочастица движется по макроскопической траектории, соотношение неопределенностей фактически не играет никакой роли. И здесь можно полагать, что начальные условия могут быть заданы с нужной степенью точности, и решать задачу классическими методами (с учетом релятивистских эффектов). В дальнейшем мы узнаем, что сложная природа элементарных частип (электронов, протонов, нейтронов и т.
п.) не позволяет, строго говоря, рассматривать их в качестве материальных точек, и их траектории нельзя так просто рассчитывать. Однако в случаях, аналогичных рассмотренному, вполне допустим такой подход к решению задачи о характере их движения. 4. Задача д. Рассмотрим движение микрочастицы на микроорбите, например движение электрона в атоме. Радиус атома примерно равен г 0,5 Л-=-5 10 "м; орбитальная скорость примерно равна ож 10' м(с. При данной скорости можно пренебречь релятивистскими эффектами и считать массу электрона равной его массе покоя.
Неопределенность радиуса положим равной одному про«енту от значения радиуса, т. е. Лг = 0,01г = 5 10 " м. Тогда 125 неопределенность радиальной компоненты скорости х 10-34 бог и~.лг 9.10 з1 5 )о-м — 2,2. 10' м~с, что почти равно скорости света. Итак, неопределенность радиальной компоненты скорости в 220 раз превышает орбитальную скорость! Очевидно, что в этом случае никакой речи о движении электрона по орбите быть не может, ибо скорость его движения совершенно не определена.
Наоборот, если мы зададимся некоторым разумным значением неопределенности радиальной компоненты скорости, например Ло,!о=1вю то мы совершенно ничего не сможем сказать о траектории. Действительно, если Ло,=- 0,01 о == 10' м~с, то неопределенность радиуса в А зто в 220 раз превышает сам радиус! Ясно, что здесь говорить о какой-то определенной орбите совершенно невозможно. 5, Итак, мы убедились, что соотношение неопределенностей не влияет на применимость методов ньютоновской механики или теории относительности к макроскопическим объектам. Здесь по силам и начальным условиям можно с любой наперед заданной степенью точности найти закон движения частицы, рассматривая ее как материальную точку. Соотношение неопределенностей фактически не ограничивает применение этих законов и к микрочастицам, которые движутся в микроскопических областях пространства. Так, вполне имеет смысл говорить о траектории электрона в радиолампе, электронно-лучевой трубке, ускорителе и т.
п. Совсем иная картина наблюдается в микрообластях — атоме, атомном ядре, кристаллической решетке твердого тела и т. д. Из-за соотношения неопределенностей здесь методы классической механики оказываются совершенно непригодными. В частности, здесь теряют всякий смысл такие классические понятия, как закон движения частицы, ее траектория, мгновенная скорость и т. п. Бессмысленно говорить о траектории электрона в атоме или о скорости движения протона в атомном ядре. Для решения этих задач используются методы квантовой механики. ЧАСТЬ ВТОРАЯ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ГЛАВА 15 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА З 15.1.
Замкнутая система тел 1. Для точного решения задачи о характере движения некоторого тела следует учесть все силы, действующие на него со стороны всех окружающих его тел. Но этих сил фактически бесконечно много. Кроме того, данные силы являются переменными, ибо в результате взаимодействия между собой окружающие тела движутся весьма сложным образом. В результате при такой постановке задачи ее фактически решить нельзя из-за непреодолимых математических трудностей. На самом же деле задачу можно существенно упростить, если учесть, что не все окружающие тела действуют на данное тело с одинаковыми силами.
Так, если спутник движется вокруг Земли на орбите с радиусом примерно г = 8000 км, то Солнце действует на него с силой, которая значительно меньше силы притяжения Земли: 7'з т™з 17' МзЛ' г2 танис где й = 1 астр. ед.= 1,5. 10' км, Мз = 6. 10" кг и Мс = 2 10" кг. Подставив численные значения, мы получим, что Солнце действует на этот спутник с силой, в тысячу раз меньшей силы притяжения Земли, Читатель может убедиться, что сила притяжения Луны будет еще в 200 раз меньше, а действие остальных планет — ничтожно мало. 2. Этот расчет показывает, что мы можем в первом приближении отвлечься от действия на спутник всех тел, кроме Земли.
Следовательно, можно рассмотреть сиапему, сасвоянщю иэ двух 7пвл— спутника и Земли, и считать, что их взаимодействие в основном определяет характер движения спутника. Все остальные тела можно считать внешними по отношению к этой системе и действие этих тел учесть в виде поправок к основной силе. 3. Принято силы, с которыми взаимодействуют между собой составные части данной системы, называть внутренними силами. 127 Внешними называются силы, с которыми вся система илп отдельные тела, входящие в ее состав, взаимодействуют с окружающими тел амн.
Система тел называется эамкнупюй (или изолированной), если можно пренебречь действием внешних сил по сравнению с внутренними. 4. Так, в рассмотренном примере систему тел Земля — спутник можно в первом приближении рассматривать как замкнутую. С еще большей степенью точности можно считать замкнутой солнечную систему. Действительно, силы взаимодействия между Солнцем н планетами значительно превосходят силы, с которыми на эти планеты действуют даже самые близкие звезды.
Ближайшая к солнечной системе звезда расположена на колоссальном расстоянии тс =4,5 свет. года ") =- 4,2 10" км; расстояние же от Земли до Солнца г = 1,5.10' км. Полагая, что масса звезды примерно равна массе Солнца, получим гс тпгд!.Рг йг Д4,2.!Огз1г —.„=гг,.м =-,--=~ !',з.!О ) — 10" Итак, здесь внутренняя сила (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
