yavor1 (553178), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда и'=О, и=-о. Подставив в (12.6), имеем О=, откуда Ас+   — -- — Ао. (12. 7) б) Пусть точка покоится относительно Земли. Тогда и' =- — о, и — О, Подставив в (12.6) и используя (12.7), имеем — о= — Ао1М, откуда Ф == А. (12.8) в) Пусть вместо материальной точки в вагоне распространяется световая волна.
На основе второго постулата теории относительности — принципа инвариантности скорости света во всех инерциальных системах — получим длина отрезка не зависит от того, в какой области пространства этот отрезок находится: из 1, = 1, следует 1; ==-1;. Если бы преобразование было нелинейным (рис. 12.8), то из 1,=1, следовало бы 1;~1;, т. е. длина стержня зависела бы бт того, в какой области пространства он находится. Зто означало бы нарушение однородности пространства.
Естественно, что аналогичное рассуждение справедливо и для времени. Поэтому мы будем искать релятивистские преобразования в виде линейных функций: х'=Ах+В1, !'= — Мх+Л'1. (12.1) (12.9) и' =- п =- с. 108 Подставив в (12.6) и используя результаты (12.7) и (12.8), имеем Ас — Ас с=- „, откуда М = — Ао7с'. (12.10) 4.
Полученные значения В, М и У подставим в (12.6) и получим релятивистский закон сложения скоростей (вдоль оси абсцисс): (! 2.11) ф 12.6. Предельный характер скорости света 1. Из релятивистского закона сложения скоростей вытекает предельный характер скорости света: ни в какой системе отсчеспа тело не может двигаться со скоростью, превосходяи(ей скорость света в вакууме. Действительно, пусть тело движется относительно вагона со скоростью и', не превосходящей скорость света в вакууме: 0 ~ и' «-с. Вагон же движется относителыш Земли со скоростью о, также меньшей скорости света, 0(о с. Тогда легко показать, что скорость тела относительно Земли (при любых и' и о, меньших с) будет также меньше скорости света.
Для доказательства найдем разность между скоростью света в вакууме и скоростью тела в новой системе отсчета: и'-!. с (с — ь) (с — и') с (12, 12) 1+и'ь/сс с(1+и'с/с'-') Поскольку мы с самого начала предположили, что скорость тела в старой системе отсчета и скорость самой системы меньше с, то с — и.~О. Итак, сс(с. (12.13) 2. Полученный результат безусловно справедлив для частиц вещества. В самом деле, всегда существует система отсчета, в которой частица движется со скоростью, меньшей скорости света в вакууме (например, покоится, т. е.
и' =- 0). Но тогда она и в любой другой системе отсчета будет двигаться медленнее скорости света в вакууме. Заметим, что при выводе мы не прибегали ни к каким предположениям о структуре и свойствах частиц вещества, а основывались только на основных постулатах. Следовательно, полученный результат является совершенно общим, справедливым для любых частиц вещества, для любых тел. Итак, скорость света в вакууме есть максимально большая скорость в природе. 109 $12.7. Преобразования Лоренца 1.
Преобразования координат, соответствующие двум основным постулатам теории относительности, были впервые получены Лоренцом. Для вывода искомых преобразований подставим в выра>кение (12.1) значения постоянных В, М и Л/; получим х'=А (х — о/), 1' = А (! — ох/с'). (1 2.14) Из принципа относительности вытекает полное равноправие обеих систем отсчета: можно считать покоя1цейся систему координат, связанную с вагоном; тогда система координат, связанная с Землей, будет двигаться относительно вагона со скоростью о' = — о (взаимность преобразований Лоренца).
Преобразования координат примут вид х=А (х'+о/'), 1= А (1'+ох'/с'). (12. 15) Подставив выражения (12.15) в (12.14), имеем х' = А' (х' + ор — оу — о'х'/с'), откуда после сокращений получим А= 1 $~1 — с9с' (12.16) Окончательно преобразования Лоренца примут впд у =у, г'=г, ~ х — ы х = ! 1' ! — с'/с' 1 — сх/сс Р 1 — сс/сг (12. 17) или х'+ сМ х= Р 1 — с'/сс 1'+ах'/сг Р' 1 — с'/с' (1 2.18) 2. В классической механике пространство и время рассматриваются как понятия, незанисимые друг от друга.
Из преобразований Лоренца вытекает тесная связь между пространственными и временными координатами: не только пространственные координаты зависят от времени (это мы имели и в преобразованиях Галилея), но и время зависит от пространственных координат, а также от скорости движения системы отсчета. 3. Преобразования Лоренца и релятивистский закон сложения скоростей соответствуют принципу инерции.
по Действительно, если тело движется равномерно и прямолинейно относительно одной инерцнальной системы отсчета (скажем, относительно вагона), то оно будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно любой другой инерциальной системы: из и' = сопз1 и о = сопИ следует, согласно (12.11), что и и = сопз1. ф 12.8. Длина отрезка 1. Пусть стержень расположен параллельно оси абсцисс и покоится в системе отсчета хуг (например, на земной поверхности). Его длину в системе отсчета, относительно которой он покоится, обозначим 1„=х,— х, (см. рис. 2.2, стр. 30). В системе отсчета х'у'г', движущейся относительно системы хуг со скоростью о (например, в вагоне), длина стержня 1 определяется так! 1=х',— х', при условии 1; = 1;.
Из преобразований Лоренца (12.!8) следует хо+ Ыс х,= У ! — ос1с* х(+М, х,= Г ! — ос1сс отсюда хс — х, +о(1с — 1,) г ! — о'1сс (12. 19) Положив по условию 1; =1;, имеем 1 = 1, )сс1 — о'1с', (12. 20) 2. Назовем длину стержня в той системе отсчета, относительно которой он покоится, собственной длиной 1,. Из (12.20) следует, что длина стержня в любой другой системе отсчета, относительно которой он движется, меньше собственной длины.
Заметим, что в разных системах отсчета, движущихся с разными скоростями относительно той системы отсчета, в которой стержень покоится, длина этого стержня различна. А отсюда явно вытекает, что релятивистское изменение длины не вызвано никакими деформациями стержня (или другими аналогичными процессами). ф 12.9. Промежуток времени меащу двумя событиями 1. Любые явления, происходящие с телами, будем называть событиями.
Пусть в точке А, где находится интересующее нас тело, в момент времени 1, происходит некоторое событие, а в момент времени 1,— другое событие. Тогда промежуток времени между этим событиями т, = 1, — 1,. Этот промежуток времени измерен в системе отсчета хуг, связанной с исследуемым телом (собственное время).
Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе отсчета х'у'г', движущейся относительно хуг со скоростью о (вдоль осн абсцисс). Используя выражение (12.17) и учитывая, что события происходят в одной точке А, т. е. х, =- х„ имеем й — О т. у ~ — с2,еа у1 — ~'~а~ " 2. Итак, искомый промежуток времени (12. 21) у ) — о",с' Мы получили фундаментальной важности результат: промежуток времени между двумя событиями имеет наимсныиее значение в системе отсчета, связанной с точкой А, где происходят исследуемые события.
В любой другой системе отсчета этот промежуток времени будет больше. Время т, называется собственным временем. Иными словами, в движущейся системе отсчета время замед.жется по сравнению с системой отсчета, в которой происходят события и которую мы приняли за неподвижную. 3. Замедление времени в движущейся системе отсчета позволяет объяснить одно любопытное явление. Под действием космического излучения на границе атмосферы возникают частицы, называемые мюонами (см.
й 83.3). Эти частицы обнаруживаются затем на поверхности Земли. Толщина атмосферы— порядка 300 км. Даже в том случае, если мкюны движутся со скоростью, очень близкой к скорости света, время их движения сквозь атмосферу — около 10 ' с. Между тем опыты над мюонами показывают, что эти частицы неустойчивы и самопроизвольно распадаются. Время жизни мкюна 1О-' с, т. е. в тысячу раз меньше, чем время его движения сквозь атмосферу к поверхности Земли! Как же согласовать это кажущееся противоречие? Оказывается, никакого противоречия здесь нет.
Действительно, в системе отсчета, связанной с мкюном, время его жизни 1О-' с. Система же отсчета, связанная с Землей, движется относительно мюона со скоростью, близкой к скорости света. В этой системе темп времени замедлен и мюон живет около 10 ' с — в тысячу раз больше, чем в системе отсчета, связанной с этим мкюном. $12.10. Промежуток времени между причиной и следствием 1. В природе часто встречаются события, связанные между собой определенным видом связи, которую мы называем причинно-следственной. Так, для того чтобы пуля попала в мишень, необходимо предварительно произвести выстрел.
Здесь выстрел является тем событием, которое служит причиной, а попадание пули в мпшень— следствием. При этом необходимо отметить два характерных свойства этого вида связей между явлениями: а) вначале всегда происходит событие, когорое является причиной, а уж затем — следствие; б) если каким-либо образом устранить событие, которое служит причиной, то не произойдет и другое событие, которое является следствием. Покажем, что хотя в теории относительности время в разных системах отсчета протекает по-разному, последовательность во времени между причиной и следствием сохраняется. Рис, 12.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
