yavor1 (553178), страница 31
Текст из файла (страница 31)
18.1. /Х !У бс' л',4 чб ДЮ чр 14 Рис. 18.7. Результаты вычислений сведем Таблица 181 1 Л с а= —, с лп=аас+ +ЬЛсс-.. + +ьА ьА= ьнсрЬс рл+рлрс рср= 1 Г с„ 1 2.000 0,2500 0,5000 0,0238 0,0238 0,0217 0,0455 0,0198 0,0653 0,2384 0,0238 2,100 0,2268 0,4762 0,0455 0,2167 2,200 0,4545 0,0652 0,1978 2,300 0,4348 О, Г890 0,0181 0,0833 О,!В!З О,ОВЗ4 0,1736 0,4167 0,0167 0,1001 0,1000 0,1668 0,4000 0.1600 0,0!54 0,1154 0,1539 0,1155 0.3846 0,1479 2,600 0,1296 0,0!42 0,1297 0,1425 0,1372 0,3704 О, 1429 О,!З24 0,0!32 О,!429 0,0!23 О,!552 2,800 0,1276 0,3571 0,1552 0,1232 10 О,!!89 0,3448 0,01!5 0,1667 О,!774 0,1!50 0,1076 О,1667 0,1! 11 0,1041 0,3333 0,0108 0,1775 0,3226 3,1 00 154 Анализ этой таблицы показывает, что с хорошей степенью точности (четыре значащие цифры) работа силы (18,7) может быть выражена так: 1 1 А= — — —.
/с сс 3. Если бы мы провели расчет не для частного случая, когда д,д,/4пе,=-!„а для общего случая произвольных зарядов, мы получили бы для работы кулоновской силы выражение А„, =-- ~ге' — ч'ч' 4яввгг 4павгв (18. 10) Взяв средние значения силы и произведя численный расчет, мы при.
дем опять к выражению (18.10). Итак, робота кулоноеской силы не зоаисит от 4ормы траектории заряда; она определяется только радиусами-векторами начальной н конечной точек траектории. й 18.4. Работа гравитационной силы 1. Расчет работы гравитационной силы фактически ничем не отличается от расчета работы кулоновской силы. Следует лишь в формуле (!8. !О) заменить дгдв/4пев выражением ут,т, и изменить знак, ибо гравитационная сила всегда является силой притяжения. Получим А ут,т, ут,т, Грвр = г + 1 г в (18.12) 2. Пусть тело с массой гп поднимается на некоторую высоту й над поверхностью Земли (рис. 18.9). Полагая гп, == ов (масса тела! т, = М (масса Земли), г, = Й (радиус земного шара) и г, = )т + Ь, !55 Рекомендуем читателю самостоятельно показать, что в полном соответствии с положением, выведенным в конце предыдущего параграфа, при увеличении расстояния между зарядами силы отталкивания произведут положительную работу, а силы притяже- Р ния — отрицательную, вЬ.
4. Рассчитаем работу кулонов- 31 ской силы при перемещении за- ! гг ряда по произвольной криволи- Кг нейной траектории (рис, 18.8). р. !гв Разобьем эту кривую на бес- I конечно малые перемещения И, которые в первом приближении можно считать бесконечно малыми I отрезками. Элементарная работа тг на этом участке бгА = Р И сов а = Р Лг, (18.11) ибо, как видно из чертежа, Исова = — Лг. Это выражение совпадает с(18.8), когда мырассматривали перемещение заряда вдоль радиуса. Сумма всех элементар.
ных работ А = Р,И, сова, + Р,И, сова, +...+ Р,йсг + РвЛгв+... получим выражение для работы силы тяжести: А ттпг" + тпгМ г1 й+а г1 (йг йг) (18.13) Работа внешней силы имеет противоположный знак, следовательно, ттМй ннешл г (г( ! и) (18.14) Если высота й много меньше радиуса Земли, то можно приближенно положить )т+ й ж )х. Используя (9.11), получим Лпрнбл Лточн 'гпрнбл )1 — 1<0, й точн '!точ» Подставив точные и приближенные значения работы и сократив одинаковые множители, имеем — — 1 = — ( 0,01.
Итак, вплоть до высот й= 0,01)с =-0,01 6371ж64 км можно с точностью до 1о4 пользоваться приближенной формулой (18.15), 3. Совершенно очевидно, что работа гравитационной силы, как и кулоновской силы, не зависит от формьг траектории, по которой перемещается материальная точка; работа определяется только радиусами-векторами начальной и конечной точек траектории. Это прямо следует из полной тождественности выражений для вычисления работы гравитационной н кулоновской сил.
9 18.5. Консервативные силы 1. В предыдущих параграфах было показано, что существуют силы — упругие, кулоновские, гравитационные,— раба~а которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь координатами начала и конца траектории. Такие силы называются консервативными (от латинского сопзегча1ю — сохранение). Покажем, что !88 А,н, „=-утЛ4Цйл — гтгдй. (18.15) Собственно, этот результат можно было получить совершенно элементарно. На небольших высотах над Землей сила тяжести Р =-- пгй является постоянной величиной. А для постоянной силы А „„„,„„= Рй = тра.
Однако предложенный выше вывод хотя и более сложен, но зато позволяет оценить погрешность, которую мы получаем, заменяя точную формулу (18.14) приближенным выражением (!8.15). Дейстрнс. !8 9. вительно, пусть нам нужно вычислить работу с точностью до одного процента; тогда робота консервативной силы по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Для доказательства рассмотрим некоторую замкнутую траекторию (рис. 18.10). Работы иа участках М,КМ, и М,).М, обозначим соогветственно Л к и Аь. Из определения понятия лкоисервативная спла» следует, чло если тело перемещается из точки М, в точку М„ то работа не зависит от того, движется ли оно по кривой М,КМ, нлп М,1.М»; итак, Лк=-Ль. Пусть при движении тела из точки М, в точку М, совершается положительная работа, тогда при перемещении тела из точки М, в точку М„совершится отрицательная работа, Аь =- — Ль Действительно, если направление силы не меняется, а направление перемещения изменить на противоположное, то работа, согласно определению, изменит »й ( ед знак.
Работа по замкнутой траектории есть сум- Й ма работ иа участках М,КМ, и М»(.М„итак, А„.„„„= Ах+ Аь — А, — Ас =О. рие, ~вло. Рекомендуем читателю проделать расчет для конкретной срлы, действующей на заданной траектории, воспользовавшись полученными выражениями для упругой (18.6), кулоновской (18.10) или гравитационной силы (18.12). 2. Заметим, что существуют и некопсервативные (иначе — диссипативные, от латинского й(зз(ра(1о — рассеяние) силы, работа которых существенно зависит от формы траектории. Примером может служить сила трения.
Действительно, перемещая какой-либо предмет, скажем, по полу, мы совершаем работу против сил трения. Но здесь, как показывает опыт, работа существенно зависит от того, по какому пути перемещается тело. В частности, если сила трения во всех точках поверхности пола одинакова, то работа по кратчайшему пу1и меньше, чем по любой другой траектории. Работа диссипативной силы по замкнутой траектории нулю не равна.
Например, работа силы трения (и любых других сил сопротивления) всегда отрицательна, ибо сила направлена против перемещения. Естественно, что на любой траектории работа этой силы в нуль не обратится. 5 18.6. Потенциальная энергия упругих, кулоновских и гравитационных взаимодействий 1. Введем понятие о потенциальной энергии У взаимодействующих тел. Так называется энергия, зависящая от взаимного расположения этих тел. Иначе ее называют взаимной потенциальной энергией. !57 (18.18) Ллввг Заметим, что здесь потенциальная энергия стремится к нулю в том случае, когда расстояние между взаимодействующими зарядами неограниченно возрастает (г-ьсо). Если заряды д, и д, имеют одинаковый знак, то 'между ними действует сила отталкивания, а потенциальная энергия является положительной величиной.
Если же заряды о, и о, имеют разные знаки, то между ними действует сила притяжения, и потенциальная энергия является отрицательной величиной. 4. )готгнциальная энергия гравитационных сил может быть найдена путем сравнения формул (18.16) и (18.12): У тглгглв грвв г (18.19) Здесь потенциальная энергия является отрицательной величиной, ибо гравитационная сила является силой притяжения. При неограниченном увеличении расстояния между взаимодействующими телами (г-» оа) потенциальная энергия стремится к нулю, т.
е. возрастает за счет работы внешней силы, которая увеличивает расстояние между взаимодействующими телами. 5. Определенный интерес представляет значение потенциальной энергии сил тяжести вблизи поверхности Земли. Положим в выражении (18.16) энергию на поверхности Земли (l, = О, энергию (l, на высоте )т обозначим через У; вместо работы силы тяжести подставим выражение (18.13). Получим тгяМЙ Я(й+Ь) ' При небольших высотах (й((й) имеем приближенное выражение (18.21) Во всех рассмотренных примерах (формулы (18.6), (18.10), (18.12)) работа консервативных сил равнялась разности двух выражений, являющихся функциями координат начала и конца траектории. Следовательно, эта работа равнялась изменению потенциальной энергии системы взаимодействующих тел: А=У,— У,, (18.16) 2.
Сравнивая формулы (18.6) и (18.16), мы получим следующее выражение для потенциальной энергии упругих сил: ит„,=йх у2. (18.17) Очевидно, что потенциальная энергия равна нулю при х =- О, т. е. в том случае, когда пружина не деформирована. 3. Аналогичное сравнение формул (18.16) и (18.10) позволяет получить выражение для потгнциальной энергии кулоноэских сил: Последние два выражения часто называют потенциальной энергией тела в поле тяжести. Такая терминология не вполне точна: фактически потенциальной энергией обладает не само тело, а система, состоящая из Земли и этого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
