yavor1 (553178), страница 33
Текст из файла (страница 33)
3. Впюрой космической скоростью называется снорость запуска ракеты при условии, что она покинет поле тяготения Земли и станет б~ 163 1. Попытаемся рассчитать, какую скорость следует сообщить ракете, чтобы она вышла на круговую орбиту вокруг Земли. Обозначим ее орбитальную скорость о, б, скорость запуска и, радиус орбиты г (рис. 19.1). На ракету, движущуюся на круговой орбите, действует сила тяготения Земли, сообщающая ей нормальное ускорение а=с, 'б/г.
По второму закону Ньютона (19.5) искусственной планетой. В этом случае можно положить, что ракета уйдет на бесконечно далекую орбиту. Полагая в (19.8), что г«оо, имеем о, = — Р 2ТМЯ = и, 1' 2 = 7,91 ° 1,414 = !1,2 км7с. Вторая космическая скорость почти в полтора раза больше первой. $19.4. «Чертова петляя Пуси велосвпедист скатывается, не врацвя педали, по вертикальному треку ечертовз петлях (рис.
19.2). Требуется определить мниимзльную высоту Н, с которой должен начаться спуск, чтобы велосипедист не сорвзлся в верхней точке петля, т. е. в изиболее опасном учзсгке траектории. В верхней точхе яз велосипедиста действуют две силы. сила тяжести Р= юа и реакция треке Ф; вх рзвнодействующвя сообщает велосипедисту нормальное ускорение а= Озуг. Согласно второму ззкоиу Йьютонв юй+Н=юиз!г. (!9 !О) Чтобы нзйтн скорость в верхней точке петли, используем ззкон сохрзнения энергии: потенцизльнзя энергия Рис.
19.2. в начале спуска (яз высоте Н) должна быть рзвнз сумме кинетической и потенцизльной энергия в верхней точке петли (нз высоте Ь = 2г), юоз из юйН=юя 2г+ — или Н=2г+ —. 2 2я ' Подставив зизчение оз нз (!9.10), имеем бг Лг Н= — + —.
2 2юа Минимзльнзя высота (без учета трения) получится, если з верхней точке петли нелоснпедисг проскальзывает, почти не кзсзясь трека. Тогда реакция трека Ф.=- 0 и Н= 2,бг. й 19.5. Потенциальные кривые 1. Часто материальная точка может двигаться только по некоторой заданной кривой, например вдоль оси абсцисс. В этом случае ее потенциальная энергия зависит только от одной переменной, т. е.
потенциальная энергия выражается в виде функции У =1(х). График, изображающий зависимость потенциальной энергии от расстояния, называется потенциальной кривой. Оказывается, что анализ формы этого графика дает очень много сведений о характере движения точки. В качестве примера рассмотрим движение частицы под действием упругой силы (рис. 19.3).
При х =х, пружина не деформирована н сила, действующая на частицу, равна нулю. Прн отклонении частицы от положения равновесия иа нее действует сила 164 )с= — й(х — х,). Заметим, что при х)хе сила отрицательна(притяжение), а при х(х, — положительна (отталкивание). Потенциальная энергия частицы (см. (1о.17)) равна й (к — х,)а 2 (19.11) ха гг 4и/ Рис. 10.4. Рис. 19.3. Далее, из графика видно, что частица не может сместиться правее точки х, и левее точки х,. Действительно, кинетическая энергия ие может быть отрицательной величиной, следовательно, потенциальная энергия не может стать больше полной '). В этом случае говорят, что частица находится в потенциальной яме с координатами х,(х~хе.
2. Анализ наклона потенциальной кривой позволяет сразу же определить знак силы и тем самым — характер ее действия (притяжение или отталкивание). В самом деле, элементарная работа ЛА = РЛх; с другой стороны, ЛА = У,— У, = — ЛУ. Следовательно, если сила — функция только одной координаты, например абсциссы х, то РЛх = — ЛУ, или ди Р= — —. йх ' (19.12) Но на графике ЛУ/Лх = 1на, где а — угол наклона потенциальной кривой к оси абсцисс (рис. 19.4). Собственно, точное значение силы е) Квантовав механика ваоснт в этот вывод существенные поправка, свнааниые с особой природой микрочастнп н а соотношением неопределенностей (см, Я 70.2 — 70 6). Она изображается на графике (рнс.
19.3) в виде параболы с вершиной в точке х = х,. Механическая же энергия частицы )17 = К+ У является постоянной величиной, и она изобразится на графике прямой, параллельной оси абсцисс. Из графика, прежде всего, видно, что кинетическую энергию в любой точке можно сразу найти как длину отрезка от прямой ))т до параболы, нбо К = )г' — У. Максимальное значение кинетической энергии частица имеет при х = х,; У здесь У=О и К„,„,=))т.
В точках же х =х, и х = х, кинетическая энер. гия частицы равна нулю, ибо здесь у„,„, = )р'. получится лишь в пределе, когда перемещение Ьх стремится к нулю: г" = — 1пп —. М/ ь с ах" Однако нас здесь интересует только знак силы, зто можно получить и без предельного перехода. В случае, когда потенциальная энергия возрастает, потенциальная кривая образует с осью абсцисс острый угол.
Тангенс острого угла — положительное число, а сила имеет противоположный знак, т. е. отрицательный; следовательно, она является силой притяжения. Если же потенциальная энергия убывает, то потенциальная кривая образует с осью абсцисс тупой угол, тангенс которого является отрицательным числом. В этом случае сила положительна, т. е. является силой отталкивания. а;ххх; х„ггх, Рис. !9 5.
Рис. 19 6. Наконец, в точках минимума илн максимума энергии сила, очевидно, равна нулю, ибо в окрестностях этих точек она меняет знак, На графике касательная к потенциальной кривой в этих точках параллельна оси абсцисс (рис. 19.5). Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что в случае, изображенном на рис. 19.6, частица с полной энергией В'( У, будет либо находиться в потенциальной яме х,(х(х„ либо удаляться в бесконечно удаленную точку; потенциальный же барьер х.,( х<х, эта частица не сможет преодолеть ни слева, ни справа. 3. Следует обратить внимание на одно весьма интересное свои- ство потенциальной энергии сил притяжения. Если расстояние между притягивающимися частицами убывает, то убывает и потен. циальная энергия, а сила притяжения увеличивается.
Наоборот, увеличение расстояния между притягивающимися частицами сопровождается ростом потенциальной энергии н уменьшением сил притяжения. Это свойство является совершенно общим и пригодно для любых сил притяжения. Правда, его доказательство в общем виде несколько затруднительно, и мы здесь этим заниматься не будем. Проверить же его справедливость на примере кулоновских или гравитационных сил мы предоставим читателю. 166 Для этого целесообразно проанализировать потенциальную кривую гравитационного взаимодействия между двумя материальными точками, изображенную на рис.
19.7, и сравнить энергию и силу в точках с координатами г, и г,. При построении кривой мы полагали, что потенциальная энергия равна нулю при бесконечно большом расстоянии между взаимодействующими точками (см. (18.19)). Однако это не имеет принципиального значения — результат рассуждения совершенно не зависит от того, где выбран э нулевой уровень потенциальной энергии. 6 19.6.
Потенциальная энергия и равновесие !. Анализ потенциальных кривых позволяет судить об условиях равновесия некоторого тела (точнее — материальной точки). Тело находится в равновесии, если равнодействуюьцая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Очевидно, что Рлс. !97. равновесию соответствуют точки с минимальной нли максимальной потенциальной энергией (точки М и У на рис. 19 5), ибо именно в этих точках сила обращается в нуль. Однако точки максимума или минимума энергии не равноценны.
Действительно, пусть частица находится в точке хм, где потенциальная энергия минимальна. На участке х,(х(хм потенциальная энергия убывает; следовательно, на частицу действует положительная сила отталкивания, возвращающая ее в точку М. На участке х, «х х, потенциальная энергия возрастает; следовательно, на частицу действует отрицательная сила притяжения, вновь возвращающая ее в точку М. Итак, если частицу, находящуюся в точке с минимальным значением потенциальной энергии, вывести из этого состояния, то под действием сил она будет возвращаться в эту точку. Мы приходим к выводу, что условием устойчивого равновесия является минимальное значение потенциальной энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
