yavor1 (553178), страница 37
Текст из файла (страница 37)
$21.8, Еще о релятивистской массе 1. В 3 13.1 мы ввели выражение (13.3) для релятивистской массы без вывода. Покажем, что эту формулу можно получить, исходя из трех положений: закона сохранения импульса (э 15.2), закона сохранения релятивистской массы (3 21.7) и релятивистского закона сложения скоростей (з 12.5). Представим себе два совершенно одинаковых тела с равными массами покоя т„что можно установить путем взвешивания (3 6.3), Пусть тело, расположенное справа, покоится относительно системы отсчета, а другое тело движется слева направо со скоростью и параллельно оси абсцисс.
Импульс левого тела равен ти; после не- упругого соударення с правым телом импульс системы будет равен МУ, где М вЂ” суммарная масса системы тел. 180 Из закона сохранения релятивистских масс следует: (21.16) а из закона сохранения импульса: ти =(т+то)У. (2 К!7) 2. Перейдем к системе отсчета, связанной с левым телом. Здесь изменяются лишь направления векторов скорости, остальные величины остаются такими же. Закон сохранения импульса примет вид: — ти = — У(т+ т,). (21.18) С другой стороны, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой скорость преобразуется согласно формуле (12.11), которая в данном случае запишется так: У'= — У=, (21. 19) Корни квадратного уравнения (21.19) суть У, = — (! + У" 1 — и'/с') Первый корень ие имеет физического смысла, ибо тела не могут двигаться со сверхсвечовой скоростью (5 12.6).
Итак, скорость системы после неупругого соударения: 3. Если вместо релятивистской формулы (21.19) мы воспользовались бы классическим законом сложения скоростей (2.6), то получили бы: У' = — — У = У вЂ” и, откуда У = и/2. Подставив в (2!.17), мы получили бы: ти= — Ч,(т+т,)и, откуда следует: т= т,. Итак, из законов сохранения массы и импульса совместно с преобразованиями Галилея следует инвариантность массы в ньютоновской механике. Те же законы сохранения вместе с преобразованиями Лоренца приводят к релятивистскому закону зависимости массы тела от его скорости относительно системы отсчета. Подставив в (21.17), получим выражение (13.3) для релятивист- ской массы: Ие 1' 1 — и~/с~ ГЛАВ А 22 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 5 22.1. Особенности вращательного движения Вращающиеся тела часто встречаются на прантике — это всевозможные маховики, валы, роторы генераторов и двигателей, вин.
ты, сверла, фрезы и т. п. Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела движутся по концентрическим ою ружностям, центры ноторых расположены на оси вращения. Все зти точки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой для иих является угловая скорость са = 1пп — (см.
З 4.7). да ьс- одс При изучении законов движения материальной точки мы ввели ряд динамичесиих величин: импульс, сила, кинетическая энергия и т. п. Фактически мы пользовались этими величинами и для описания законов поступательного движения твердого тела. Если твердое тело движется поступательно, то все его точки движутся по одинако.
вым траекториям (см. З 1.1), а значит, и с одинаковой скоростью. Поэтому выражения для импульса илн кинетической энергии имеют точно такой же вид, как и для материальной точки, В самом деле, импульс тела равен сумме импульсов отдельных частиц, из которых это тело состоит: Р =Р1+Р1+ ° ° ° +Рп =лссчс+лссчс+ ° ° ° +сп чс = (спс + спс + + сто) чс спас где т„пс„..., сп„— массы отдельных частиц, а масса тела т =— = — и, + т, +... + сп„, Такой же результат получится и для иинетической энергии тела при его поступательном движении. Если же твердое тело вращается, то приведенное рассуждение окажется непригодным, ибо скорости разных точек различны. Здесь нужно все динамические характеристики выразить через угловую скорость. Именно по этой причине мы вынуждены будем ввести в данном случае ряд новых физических величин — момент силы, момент инерции и момент импульса.
й 22.2. Кинетическая энергия и момент инерции 1. Выведем выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем решать в приближении ньютоновской механики, т. е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящую нз двух материальных точек, а затем обобщим полученный результат на любое твердое тело. 2. Пусть две материальные точки с массами тс и пс, расположены на расстоянии 1 друг от друга (рис. 22.1). Будем считать систему жесткой, т. е.
расстояние между точкамн не меняется. Система вра- 182 щается вокруг оси с угловой скоростью ш, Тогда, согласно (4.12), скорость первой точки о, = г,ю, скорость второй о, = г,ш, где г, и г, — расстояния от материальных точек до оси вращения. Кинетические энергии материальных точек, согласно (16.5), Кг = — = — тгг10э, Кз = — = — гпзгзо1з. (22.
1) Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всг фвв~еввл Рнс. 22.!. материальных точек, из которых эта система состоит: К=К,+К,= — ",, (т.г;+т,г,). (22.2) 3. Физическая величина ,г* =т,г,'-)- т,г,* (22.3) называется моментом инерции системы материальных точек. Он характеризует распределение масс этих частиц относительно оси вращения.
Единицей измерения момента инерции в системе СИ служит килограмм на метр в «водрате (кг м'), Подставив в (22.2), получим К = гш92. (22.4) Итак, кинетическая энергия системы материальных точек равна половине произведения момента инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения. 4. Если система состоит не из двух, а из и материальных точек, то выражение для ее кинетической энергии сохранится, но момент инерции примет внд у =тгг, + гп гз+... +т гз. Твердое тело можно разбить на достаточно большое число частиц с массамн ажг, аш„,, Ат„таким образом, чтобы каждую из них можно было считать материальной точкой.
Тогда момент ннерпви этого тела 1 Лтгг1+Лгнзгв+ +Лшьгз' (22.6) 183 Вообше говоря, результат будет зависеть от способа разбиения тела на частицы и от положения оси вращения. Только перейдя к пределу при неограниченном увеличении числа разбиений, мы получим точный результат. Вычисление моментов инерции твердого тела представляет собой довольно сложную математическую задачу, и мы ее здесь решать не будем. 9 22.3.
Зависимость момента инерции от положения оси вращения 1. Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от положения оси вращения. Это непосредственно следует из выражения (22.5). Действительно, если перенести ось вращения в другую точку, то массы т„т„..., т„не изменятся, а радиусы г„г„..., г„станут ф~ другими, в результате чего н -момент гт Ь инерции окажется иным.
Вычислим моменты инерции системы нз двух материальных точен отногу гл 'ггл сительно двух осей, параллельных друг другу и перпендикулярных плоскости Рис. 22.2. чертежа (рис. 22.2). Расстояние между осями А С = а. Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку А: (22.7) ,7 =т,К,'+т,)7з. Момент инерции той же системы относительно оси, проходящей через центр масс С: .) „= т,г, '+ т,г',. (22.8) По теореме Пифагора й,'=йз+(г, +х)з, 77,* =й'+(г,— х)*. Подставив в (22.7) и проделав несложные преобразования, получим с учетом (22.8) 1 =Ге+(т,+т,)()ге+ха)+2х(т,г,— т,гз). Но )гз+ х'=а', из определения понятия «цеитр масса (см.
$15.7) следует, что т,г,— т,г, =О. Наконец, для иерелятивистских ско. ростей т, + т, = т есть масса системы. Следовательно, ,7 =У,+таз. (22.9) Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы ни квадрат расстояния между осями (теорелга Шпшйнера). 184 Поскольку АР— положительное число, то из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через ее центр масс. 2.
Воспользуемся теоремой Штейиера для вычисления момента инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (рис. 22.3). Пусть масса стержня гп, его длина 1. Момент инерции пропорционален массе и квадрату линейных размеров: ,/ = От(з, где Π— коэффициент пропорциональ- Рис. 223, мости (отвлеченное число). Вычислим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
С одной стороны, мы можем считать стержень состоящим из двух равных кусков с массами и, = и/2 и длинами 1, = 1/2. Учитывая, что момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции обеих половин, получим м 1а 1, = 20~ 1' = 20 — ° — = — ~1э. 2 4 4 С другой стороны, согласно теореме Штейнера Х, = Х вЂ” та* = ОтГ' — т ~ — ) = тР ~ Π— — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
