yavor1 (553178), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Сравнив равенства, получим О ! 1 — = Π— — откуда 0 = — . 4 4 ' з' Итак, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, ,/ = я1'/3. (22.10) Момент инерции того же стержня относительно оси, проходящей через иентр масс, а~ .1, = т1'/12.
(22.11) 3. Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, пропорционален его массе и квадрату радиуса: ,1 =ать'. Ряс 224. Для определения коэффициента пропорциональности а вычислим момент инерции кольца, изображенного на рис. 22.4. Он равен разности моментов инерции двух дисков с радиусами К и й, и соответственно с массами щ и гл, = гп/г,'//гэ: Х„=У-,/, =ать' — ать,*= —,(К' — Я',). Масса кольца т„= т — т, =- т/Р,' — рс,*)/) К'.
Если кольцо достаточно тонкое Я, ж)с), то его момент инерпии можно вычислить из (22.6). Имеем ,/„= Лт,/се+ Лт,/с'+... =-(Лт,+Лт,+... ) )с*= т„)т'=т(Я' — Щ. Сравнив оба выражения для момента инерции кольца, получим после сокращений а я'+)ср1) =-.. /ср. А так как по условию й, ж Я, то а = — 1/,. Итак, момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, равен г = '/,т/с'. (22.12) й 22.4. Момент силы 1. Пусть на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, действует некоторая сила Р (рис. 22.5).
Вычислим работу, которую совершает эта сила при повороте тела на угол Лх. Элементарная работа, согласно определению (16.12), равна ЛА =Р,Л!. Но Р,=Райну, где у — угол между направлением силы и направлением радиуса, проведенного от оси враще~с„ ния до точки приложения силы. Дуга 'с "~ф же Л! = г Ла. Следовательно, ЛА = Ргз!ну. Ла. (22.13) лр 2.
Величину Рис. 22.5. М = Ргз!ну = Ра" (22,14) назовем моментом силы относительно оси вращения. Кратчайшее расстояние от оси вращения до направления силы а =ге!пу назовем плечом силы. Моментом силы относительно некоторой оси называется произведение силы на ее плечо, Единица измерения момента силы в Международной системе единиц — ньютон-метр (Н м). 3. Подставив (22.14) в выражение для элементарной работы (22.13), получим ЛА =МЛа, (22.15) т.
е. работа, совершаемая при повороте тела, равна произведению момента силы на угол поворота. 4. Чтобы вычислить мощность, следует выражение (22.15) разделить на промежуток времени ЛЛ Учитывая, что ЛА/Л/=/р', есть средняя мощность, а Ла/Л! = сь,р — средняя угловая скорость, !86 получим й1зр Мозер~ или, перейдя к пределу при Л(-з О, получим для мгновенной мощности Ф=Мьз.
(22.16) Мгновенная мощность равна произведению момента силы на угловую скорость враи(ения. ф 22.5. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения 1. В 5 19.6 мы вывели условие равновесия для свободного тела, которое может перемещаться в любых направлениях. В этом случае равновесие достигается, если векторная сумма всех сил (их равнодействующая) равна нулю.
Рассмотрим, при каком условии находится в равновесии тело, которое может вращаться вокруг некоторой заданной оси. т'з Будем считать положительными моменты, вращающие тело против ча. Я' совой стрелки, и отрицательными— моменты, вращающие его по часовой стрелке. Так, на рис. 22.6 моменты .Ре сил р, и г, имеют отрицательный лв знак, момент силы г"з — положительРис. 22.6. ный, если ось проходит через О. 2. Если тело находится в состоянии равновесия, то при повороте его на бесконечно малый угол Ла потенциальная энергия не изменится, следовательно, элементарная работа ЛА, равная изменению потенциальной энергии, равна нулю: ЛА =- О.
Но ЛА = ЛА, + ЛА, + ЛА, = М,Ла+ МзЛсз+ МзЛа = = (Мз + М з+ Мз) Ла. Поскольку ЛаФО, то очевидно, что М, + М, + М, =- О. (22. 17) Это и есгь искомое условие равновесия. Итак, тело, имеющее заданную ось вращения, находится в состоянии раановесия, если алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси рвана нулю. Иначе можно сказать, что равновесие достигается здесь в том случае, если сумма моментов, вращающих тело против часовой стрелки, равна сумме моментов, вращающих тело по часовой стрелке. 3. Из полученного усдовия видно, что малая сила, имеющая большое плечо, способна уравновесить большую силу, имеющую малое плечо. Это свойство моментов сил находит практическое применение в рычагах, вороте, винтовом подъемнике (домкрате) и в целом ряде других приспособлений, широко применяемых в технике.
181 й 22.8. Момент импульса и основное уравнение динамики где средняя угловая скорость ю,р — — (ю, +в,)/2. Работа, совершаемая суммарным моментом сил, ныражается, согласно (22.15), формулой ЛА=МЛа=Мсо, Ж. Но работа есть мера изменения кинетической энергии, следова- тельно, Мю„йг =(1го,— 1ю,) в„, откуда М А(=1м,— 1ю,. (22.18) 2. физическая величина, равная произведению момента инерции на угловую скорость, называется момеюпом импульса (иначе — вращательным моменоюм или моментом количества движения): /.=1ю. (22.19) Заметим, что для материальной точки, движущейся по окружности радиуса г, момент импульса равен произведению импульса иа ра- диус: /.
= — 1ю = тг'и = ои о .=- рг. (22.20) Единицей измерения момента импульса в Международной системе единиц служит килограмм-метр в квадрате насекунду (кг.м'/с). 3. Разделив обе части равенства (22.18) на А/ и учитывая, что 1ю,— 1е,= Ь~ — /., = АЬ, получим Ь/. М=— а/ (22. 21) Это и есть основное уравнение динамики для вращающегося твердого тела: момент силы равен изменению момента импульса в единицу времени.
1аа 1. Пусть на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, действует несколько сил (рис. 22.6). Алгебраическую сумму моментов всех сил обозначим М. Как показывает опыт, под действием суммарного момента сил угловая скорость вращения тела меняется и вместе с этим меняется его кинетическая энергия. Если в момент времени /, тело имеет угловую скорость ю, и кинетическую энергию К, = 1ю,*/2, то в момент времени (, оно имеет угловую скорость ю, и энергию К, = 1ю,'/2. Изменение кинетической энергии 2 2 2( ~ ~)( ~+ ,/и /и 4. Следует обратить внимание на тот (22.21) речь идет только о сумме моментов сается внутренних сил, то сумма их моментов всегда равна нулю, что прямо следует из третьего закона Ньютона.
Для доказательства рассмотрим систему из двух взаимодействующих материальных точек (рис. 22.7). Сила с, = — — Го обе силы имеют одно и то же плечо й. Следовательно, М, = — Г»й, М, = г'»й= = — г",й = — М„н суммарный момент факт, что в выражении внешних сил. Что же ка- 17 Рис 22 7. внутренних сил Мвн»»Р М»+ М» = О. 2 22.7.
Закон сохранения момента импульса 1. Пусть алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на тело, равна нулю. В частности, это условие всегда справедливо для замкнутой системы, на которую внешние силы вообще пе действуют. Тогда из (22.21) следует Л1'. = О, нли 1. = сопз(. (22.22) 1»1ы получили очень важный результат, который называется законом сохранения моменпш импульса: Момент импульса замкнутой системы является постоянной величиной. 2. Из различия между понятиями «импульс» и «момент импульса» вытекает одно интересное следствие. В 9 15.8 было показано, что под действием внутренних снл ско. рость центра масс системы материальных точек не может измениться. При поступательном движении тела скорость всех его точек совпадает со скоростью центра масс.
Следовательно, внутренние силы не в состоянии изменить скорость поступательно движущегося тела. Совсем иной результат получается при вращении тела вокруг оси. Под действием внутренних сил может измениться расстояние между отдельными частями тела, что приведет к изменению его момента инерции. Но из закона сохранения момента импульса следует, что постоянным является лишь произведение 7.=,(ь», а пе каждый из сомножителей.
Если момент инерции под действием внутренних сил уменьшится, то во сколько же раз возрастет угловая скорость, произведение же,7ь» останется постоянной величиной. 3. Данный результат имеет многочисленные практические применения. Рассмотрим, например, как спортсмен совершает сальто назад (рис, 22.8). После приседания с отведенными назад руками спортсмен прыгает вверх, поднимая руки вперед и затем вверх и слегка назад. Тем самым он сообщает своему телу небольшую скорость вра. щения относительно оси, проходящей через центр масс (примерно 189 на уровне талии). Вблизи верхней точки траектории он «группируется» — резко подтягивает колени к подбородку и охватывает их руками.
При этом момент инерции значительно уменьшается, а скорость вращения возрастаег, что позволяет спортсмену быстро совершить поворот. При приземлении он вновь выпрямляется и выбрасывает руки вверх и слегка вперед, замедляя тем самым вращение. Ряс. 22.8 Аналогично фигуристы на льду выполняют фигуру, называемую волчком. Раздвинув руки в стороны н заводя свободную ногу, фигурист сообщает себе медленное вращение вокруг вертикальной оси. Резко «сгруппировавшись», т. е. подтянув руки и ногу, он уменьшает момент инерции и начинает быстро вращаться. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
