yavor1 (553178), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Нетрудно убедиться, что во всех приведенных примерах кинетическая энергия вращения не сохраняется. Пусть вначале кинетическая энергия К = г го»г2. После «группировки» момент инерции уменьшается в п раз, лг ==Ли. Во столько же раз увеличивается угловая скорость: из 1го=1гогг следует, что гвг=пв. Кинетическая энергия Приращение кинетической энергии ЛК=К,— К=К(п — 1). Но для увеличения кинетической энергии нужна работа. Какие же силы ее совершаютг Поскольку рассматриваемые системы в первом приближении являются замкнутыми, то действием внешних сил можно пренебречь. Следовательно, в данном случае кинетическая энергия вращения возрастает за счет действия внутренних сил, т.
е. в конечном счете за счет внутренней энергии вращающейся системы. Естественно, что этот результат находится в полном соответствии с законом сохранения энергии. 5. Из закона всемирного тяготения следует, что каждая из планет обращается вокруг Солнца по эллипсу, причем Солнце находиагся в одном из его фокусов (первый закон Кеплера). По закону сохранения энергии (2 19.3) «г«» М㫠— — у — = сопл(.
2 г Нетрудно убедиться, что орбитальная скорость все время меняется— с увеличением расстояния между Солнцем и планетой скорость последней убывает (рис. 22.9). Пользуясь результатами многолетних наблюдений, Кеплер установил, что в равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади (второй закон Кеплера). Пока- о~ жем, что этот закон есть следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, Солнце и планета образуют замкнутую систему, поэтому к ней применим закон сохранения момента импульса. Центр масс этой системы практически совпадает с центром 'е ое Солнца, следовательно, скорость Солнца практически равна нулю. Согласно (22.22) момент импульса этой системы Рис. 22,9. 1.=-тот =сопз1.
(22.23) Площадь, описываемая радиус-вектором планеты в единицу времени, О .. — = 2 ог=,— =сопз1 ° х (22.24) А это и есть второй закон Кеплера. $22.8. Аналогия между величинами и соотношениями между ними при поступательном и вращательном движениях 1. Если сопоставить соотношения между величинами, характеризующими движение материальной точки (или поступательно движущегося тела), с такими же соотношениями, описывающими вращение тела вокруг оси, то бросается в глаза глубокая аналогия между ними. Запишем ряд величин и связывающие их уравнения в виде таблицы, ограничиваясь случаем ньютоновской механики (табл. 22.1). Из таблицы видно, что простая подстановка аналогичных величин в формулы для поступательного движения автоматически приводит к правильным формуламдля вращательногодвижения. Так, заменив в выражении К = — р'!2т импульс р на аналогичный ему момент импульса Ь, а массу т на ее аналог — момент инерции ), получим для вращательного движения верное выражение К = Ю2о.
Точно так же можно по аналогии написать выражение для работы, совершаемой при закручивании пружины на некоторый угол ~р. Действительно, в 5 18.2 мы получили из графика выражение 19! А= Р//2. Заменив силу ее аналогом — моментом силы, а перемеще- ние — углом поворота, получим А = Мф/2. Конечно, это выраже- ние можно вывести независимо, с помощью графика, но из аналогии результат получается быстрее н проще. Таблица 221 Поетуивиедьное движение Вращатеиьиое движение Рекомендуем читателю, введя понятие об угловом ускорении р — Аво/А/,получить по аналогии выражения для мгновенной угловой скорости и угла поворота при равноперемеином вращении, а также выражение для основного уравнения динамики вращающегося тела.
ГЛАВА 23 СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И ЗАКОНЫ СОХРАИЕНИЯ й 23.1. Законы сохранения как основные законы природы 1, В предыдущих главах были рассмотрены три основных закона природы: законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует учесть, что зти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета. В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а последние применимы только в инерциальных системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если систему можно считать замкнутой (сумма всех внешних сил и соответственно всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно— тело должно еще быть и адиабатически изолированным 1т. е.
не участвовать в теплообмене). 2. Законы сохранения ценны своей общностью. Действительно, ни детали того или иного физического процесса, ни особенности отдельных тел, участвующих в этих процессах, ие влияют на справед- 192 Перемещение Д1 Скорость н Масса щ' Импульс р=-тв Сила Р Основное уравненне аннамнкн Ар Р=— дг Кинетическая внергня инл рв 2 2т Элементарная работа АА =гг А1 Мощность М=-Гг и Угол поворота Ьи Углован скорость ев Момент ннерцнн / Момент импульса Е = игв Момент силы М Основное уравненяе дннамнкн АЕ Я=в АГ Кннетнческая внергня и'гвв Ев К= — =— 2 2и' Элементармая работа АА = Маа Мощность У =- Мы ливость этих законов. Они в одинаковой мере применимы как к планетам и звездам, так и к молекулам, атомам и элементарным частицам, из которых состоят атомные ядра. Ими можно пользоваться при исследовании тепловых, химических, электрических и любых иных процессов.
3. Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при замене одних теорий другими. Так, в теории относительности существенные изменения претерпевают классические представления о времени и одновременности событий, о длине отрезков и массе тел; вводятся новые формулировки закона сложения скоростей и второго закона Ньютона; меняется выражение для кинетической энергии и т. д. Однако законы сохранения импульса, момента импульса и энергии оказываются полностью справедливыми в этой теории.
Более того, в теории относительности два закона ньютоновской механики — закон сохранения массы и закон сохранения энергии — объединяются в единый закон сохранения массы и энергии. В микромире — мире атомов, молекул и элементарных частиц— мы встречаемся с рядом спепифических явлений, которые резко отличаются от явлений в мире больших тел. Благодаря соотношению неопределенностей здесь, например, невозможно ре1пить основную задачу динамики и однозначно определить, скажем, траекторию электрона в атоме.
Все это требует совершенно иного подхода к явлениям микромира. Однако и здесь законы сохранения остаются в силе, и в квантовой механике они играют еще более важную роль„чем в ньютоновской или релятивистской механике. Часто законы сохранения оказываются единственным инструментом для объяснения явлений, происходящих в микромире. Именно универсальный характер законов сохранения и придает им особую ценность.
5 23.2. Законы сохранения как принципы запрета Н Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку, и начальные условия, то можно найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. и. (см.
гл. 8). Законы же сохранения не дают нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в природе не происходят. Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из законов сохранения, запрешрно, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, в принципе может происходить.
? В. М. Явррскир, А. А. Пинскнй, т. 1 193 Заметим, что незапрещенные явления на практике всегда и происходят, хотя и с разной вероятностью: некоторые из этих явлений происходят очень часто, другие — редко, но все же их можно наблюдать. Может показаться, что законы сохранения оставляют слишком большой произвол, слишком много вариантов, и потому неясно, почему в эксперименте реализуется чаще всего один-единственный процесс. На самом же деле оказывается, что совместное действие нескольких законов сохранения часто почти однозначно определяет возможный ход процесса.
2. Рассмотрим следующий пример, Может ли покоящееся тело за счет своей внутренней энергии начать двигаться? Эгот процесс не противоречит закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникшая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии. На самом же деле этот процесс никогда не происходит, нбо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
