yavor2 (553175), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Сравнение приводит к очень важному результату. Оказывается, что энергия ду„ атома водорода в некотором стационарном состоянии имеет вид: — — — где и = — 1, 2, 3. . ггей (7!.8) Таким образом, целые числа, которые входят в сернальную формулу (71.5), определяют дискретные, квантованные значения энергии атома водорода в соответствующих состояниях. Энергетические уровни атома водорода обратно проггорциональны квадратам целых чисел *).
Целое число и, определяющее энергетический уровень атома водорода, называется главньгм квантовым числом. Энергетическое состояние, соответствующее значению а = 1, называется оснсвнылг или норл~а,гьньглг (невозбужденным) состоянием. Все состояния с л)1 называются возбужденными, Знак минус в формуле (71.8) — отрицательные значения энергетических уровней — означает, что электрон испытывает силу притяжения к ядру, он связан с ннм кулоновской силой притяже') При этом предполагается, что ядро атома иеподвижно и энергия водородоподобной системы равна энергии движуигегося электрона.
Учет движения ядра приводит к незначительным изменениям результатов. 249 9 71.5. Квантование энергии и вычисление постоянной Ридберга в теории Бора 1. Постулаты, выдвинутые Бором, позволили ему теоретически рассчитать спектр водорода и ионов, содержащих один электрон, движущийся вокруг ядра. Задача состояла в теоретическом выводе формулы (71.8) и вычислении значения постоянной Ридберга, измеренной на опыте с большой точностью.
Бор считал, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиуса г. На такой траектории его удерживает кулоновская сила притяжения электрона к ядру, играющая роль центростремительнон силы (см. 5 7.1): т~Ф (Ь) е е 4иаот' ' (71.9) или, так как о= ые, где ы — угловая скорость электрона, ге (71.9') 4яео~<эе ' Возведем в квадрат обе части соотношения (71.6), заменив в нем о на ыг: т'ы'г' =- и'Ь'. Поделим почленно друг на друга левые и правые части двух последних формул.
Тогда получим в 5'" 4яеа (71.10) Радиусы орбит электрона в атоме водорода (5=1) прямо пропор- ния (см. $18.6). Абсолютное значение величины е7„в формуле (71.8) является энергией связи электрона в итоне, находящегося в состоянии л. Под энергией связи электрона в атоме следует понимать величину работы, которую нужно совершить, чтобы оторвать электрон от атома, т, е. ионизовать атом. Иногда применяется термин: «энергия ионизации атома из данного состояния». Очевидно, что энергия ионизации из данного состояния равна по абсолютной величине внергии связи электрона в атоме в этом состоянии.
Например, в основном состоянии (при а = 1) энергия ионизации б".„„ атома водорода составляет 13,53 эВ. Энергия связи электрона в основном состоянии ~, равна 8, = — 13,53 эВ. На приведенном выше рис. 71.3 (стр. 246) слева указаны значения энергетических уровней атома водорода в влектрон-вольтах. Сближение уровней при увеличении главного квантового числа и соответствует тому, что при п-э-оа энергия Ж' -э-О. Значение 5'„ = 0 соответствует ионизация атома. Стрелками на рис. 71.3 указаны переходы, соответствующие излучению различных серий спектральных линий. циональны квадратам главного квантового числа.
В частности, радиус первой орбиты при п=1, называемый парным боровским радиусом, равен гг — из = =0 528. 10-зз м 0 528А (71 10 ) Первый боровский радиус является единицей длины в атомной физике. Энергия электрона в атоме водорода (или соответствующем ионе) складывается из кинетической энергии К и потенциальной энергии (/ притяжения электрона к ядру: тоз Еез 1 Еез ~=К+У = — — — = — — —. (71.11) 2 4пезг 2 4пезг ' Здесь мы использовали формулу (71.9), а также то, что потенциальная энергия притяжения электрона к У//7 ядру отрицательна и имеет вид г з (/ =— 4пезг На рис, 71.4 изображена графически зависимость У(г) для электрона в поле ядра с зарядом Уе.
Ядро находится в Рис. 71.4. начале координат. Подставим в результат (71.11) выражение для г из (71.10). Получим хе тек 1 л= „з'„з (71.12) Сравнивая формулы (71.8) и (71.12) и приравнивая коэффициенты при 1/пз, получим выражение для постоянной Ридберга: 2'те' )з = Вй'е с ' Нетрудно заметить, что, кроме использования постулатов Бора, вывод формулы (71.12) носит чисто классический характер.
Все описание поведения электрона в атоме проводится так, как если бы это была обычная классическая частица. В этом проявляется непоследовательность теории Бора. 2. Постоянную Ридберга можно вычнслитзь если воспользоваться принпипом соответствия Бора, который сформулирован в 4 70.4. Найдем иэ (71.0 ) классический радиус орбиты электрона в атоме водорода (Е= — 1): н подставим его в выражение (71.!!) для энергии электрона! (,з)з/3 з/з з/з е.= —— 2 (4пе )з/з (71. 11') 251 Рассмотрим, с другой стороны, переход электрона между двумя соседними энергетическими уровнями л и л — 1 при л))1. По принципу соответствия, прн больших квантовых числах результаты квантоаомеханического рассмотрения должны совпадать с результатами классического рассмотрения.
В частности, выражение для энергии электрона должно иметь внд, аналогичный (71.11'). Убедимся в этом. По формуле (71,5) найдем частоту перехода между соседними уровнями: с Г 1 11 2л — ! 2йс т= — =Яс [ Л Г(л — 1)з л' ~ л'(л — 1)з л' ибо л))! и единицей можно пренебречь в числителе и знаменателе. Таким образом, лз= — = — и л==(4л)7с) 7 ы 2)(с 4л)(с гз — гз ч ш Воспользуемся теперь формулой (71.8) для энергии электрона и подставим в нее найденное выражение для л: 8„= — — = — ()Сс) — сз ) сй 1!3 Ь зтз лз ()л)з/3 По принципу соответствия классическое и квантовое выражения для энергии (71.!1') н (71.11") должны совпадать. Приравнивая их и возводя в куб, получим для постоянной Ридберга формулу лыз )7 = —— айза~~с Результат, как и следовало ожидать, совпадает с формулой (71.13) при 2= 1.
й 71.6. Опыты Франка и Герца и третий постулаты Бора были экспериментально в опытах Франка и Герца, поставленных в !913 г. изучалось прохождение через газы пучка электронов, ускоренных в электрическом поле. Первые опыты были проведены с прохождением электронов через пары ртути. Схема опытов изображена на рис. 71.5. В стеклянный сосуд, в котором находились пары ртути при давлении около 0,1 мм рт. ст., помещались накаленный катод К, испускающий электроны, анод Л, соединенный с гальва- 1. Первый подтверждены В этих опытах Ю А 1 1 ! нометром 6, и сетчатый электрод о. Между катодом и сеткой создавалось электрическое поле, ускоряющее электроны до энергии еф,, где фх — разность потенциалов между катодом и сеткой, е — заряд электрона.
Между сеткой и анодом создавалось слабое замедляющее поле с разностью потенциалов гр, не более 0,5 В. 2. При прохождении электронов через пары ртути происходят соударения электронов с атомами ртути. Столкновения электронов с атомами могут быть двух типов. Первый тип столкновений— упругие соударения, в результате которых скорости н энергии электронов не изменяются, а лишь происходят изменения направлений 252 скоростей электронов. Второй тип столкновений — неупругие соударения, при которых электроны теряют свою энергию н передают ее атомам ртути. Упругие соударения электронов с атомами ртути не могут воспрепятствовать электронам попадать на анод.
Ускоряющее электрическое поле между К н о по мере возрастания разности потенциалов ~, должно вызывать возрастание анодного тока в трубке, и упругие столкновения не могут нарушить этой закономерности. Неупругие столкновения могут явиться причиной практически полного отсутствия анодного тока. В самом деле, если электроны при неупругом столкновении с атомами ртути потеряют свою энергию настолько, что они не смогут преодолеть слабого задерживающего поля между сеткой 5 и анодом А, анодный ток должен практически упасть до нуля.
По первому постулату Бора, атом ртути не может принять от электрона любую порцию энергии. Атом может воспринять лишь такую энергию, которой будет достаточно для перехода атома в одно из возбужденных энергетических состояний. Ближайшим к основному, невозбужденному состоянию атома ртути является возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ.
До тех пор, пока электроны, ускоряемые полем, не приобретут энергию ечь = 4,86 эВ, они испытывают только упругие столкновения с атомами, не теряют своей энергии, достигают анода и анодный ток возрастает. Как только энергия электрона достигнет значения 4,86 эВ, может произойти неупругое соударение электрона с атомом ртути, в результате которого электрон полностью отдаст свою энергию атому. Вся энергия электрона пойдет на возбуждение перехода атома ртути из нормального энергетического состояния в возбужденное. Очевидно, что такой электрон не сможет преодолеть слабого задерживающего поля между 5 и А н не попадет на анод. Таким образом, при разности потенциалов между катодом и сеткой, равной 4,86 В, должно происходить резкое падение анодиого тока. При разности потенциалов 2 4,86, 3 4,86 В и т. д., когда электроны могут испытать два, три и т, д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
