yavor2 (553175), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В действительности дело обстоит иначе. В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной смысл, чем в классической физике, — для определения этого состояния нужен иной подход. Максимально точным заданием состояния микро- объекта в квантовой механике является задание его ф-функции, причем задание ф-функции для момента времени 1, определяет ее значение для момента 7) 7». Другими словами, в квантовой механике в соответствии с требованием принципа причинности состояние микрообъекта, определенное в некоторый момент времени 7„ однозначно предопределяет его дальнейшие состояния. К мнкв' 227 рообъектам нельзя применять принципы причинности в форме, заимствованной из классической механики и основанной на «обыч- ном» применении понятий координат и импульсов, ибо особая природа микрообъектов этого не допускает.
3 70.3. Движение свободной частицы з =. А соз (ы/ — /гх), (70. 11) где А — амплитуда волны. Формулу (70.11) можно применить к волне де-Бройля, связанной с частицей, имеющей импульс р и энергию б-. Для этого достаточно в уравнении (70.!!) выразить частоту «з и волновое число й через энергию и импульс частицы: »» =-к7/7» и й = р/й (см. формулы (69.5) и (70.3)). Получим ф =- А соз ~ — / — — ' к) .
/~ (70, Рй) Результат (70.12) означает, что свободной частице соответствует плоская волна де-Бройля с постоянной амплитудой А. Постоянство амплитуды, а следовательно, и ее квадрата, означает, что имеется постоянная, не зависящая от времени интенсивность волны де-Бройля. В соответствии с физическим смыслом волн де-Бройля ($ 69.3) это показывает, что имеется постоянная, одинаковая вероятность обнаружить частицу в любой точке на осн х. 228 1. В этом и последующих параграфах мы рассмотрим несколько примеров движения мнкрочастиц в условиях, когда их волновые свойства определяют характер движения и энергию частиц. При этом очень существенно различать два случая: когда на частицу не действуют никакие силы (свободное движение) н движение частицы под действием различных сил (несвободное движение). Отличие этих двух случаев состоит в том, что важнейшая характеристика движущейся частицы — ее энергия в"- — прн наличии снл, действующих на частицу, не может принимать любые значения.
Если частица, помимо кинетической энергии К, обладает потенциальной энергией 1/, то ее полная энергия 4' оказывается величиной каантовалной. Физическая величина называется квантованной, если она может принимать лишь ряд определенных дискретных значений. 2. Вначале рассмотрим случай, когда частица с массой и движется с постоянной скоростью и вдоль некоторого направления, выбранного за ось х, причем нет никаких сил, действующих иа частицу,— ее движение свободно.
Импульс частицы р = ти, а длина волны де-Бройля Х =/«/р. Движению частицы вдоль оси х соответствует распространяющаяся в этом же направлении волна де-Бройля, характеризуемая волновым числом й =2п/). В гл. 56 показано, что уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х н имеющей определенную частоту «з и волновое число й, имеет внд (56.8): С точки зрения соотношения неопределенностей свободное движение частицы с точно заданным импульсом р означает, что положение частицы на оси х становится совершенно неопределенным.
Об этом же говорит одинаковая вероятность обнаружить частицу во всех точках оси х. Частица может двигаться с любой скоростью о, которой соответствует энергия 8=-то'72, принимающая вместе со скоростью о любые возможные значения. Выразим энергию частицы через длину волны де-Бройля 7. По формуле (09.2) й = ЙЕто, откуда и = — ЫтХ. Подставив это в выражение энергии, получим Наконец, учитывая, что 7 =- 2лЕл„ можно выразить энергию 8 через волновое число л: 8 = ~— „— — 2 .
(70.14) Ряс. 70л. Ий~ йФ На рис. 70.1 изображена парабола, выражающая зависимость энергии 8 свободной частицы от волновых чисел й де-бройлевских волн частицы, т. е. при различных значениях скорости о. 0 70.4. Частица в потенциальной яме прямоугольной формы 1. Рассмотрим теперь микроскопическую частицу, движение которой вдоль оси х ограничено следующим образом. От начала координат х = — 0 до точки х = Л частица движется свободно. Однако она не может выйти за пределы области (О, Е ). Зто значит, что на границах области (О, 7), в точках х= 0 и х =Ь, потенциальная энергия (У частицы становится равной бесконечности (рис.
70.2). Можно представить себе, например, что частица движется по дну плоского япеика с идеально отражающими бесконечно высокими стенками. В таком случае говорят, что частица находится внутри бесконечно глубокой ,7 е х' потенциальной ямы и ее движение ограниче- Рис. 70.2. ио некоторым потенциальным барьером. Разумеется, таких ям практически не существует. Однако при изучении электропроводности металлов мы пользуемся представлением о том, что свободные (валентные) электроны металла находятся внутри потенциального ящика с плоским дном, причем высота потенциального барьера равна работе выхода электрона из металла (~ 44.9). Таким образом, задача, о которой пойдет речь, является упрощенной моделью реальной и очень важной физиче- ской задачи.
2. В этой задаче мы встречаемся с ограничением движении частицы. Она находится внутри прямоугольной ловушки — заперта в ией. Форма ловушки зависит от потенциальной энергии частицы. В данном случае потенциальная энергия частицы весьма просто зависит от координаты хс если х(0 или х) Е, то У = со; если 0 =х(Ь, то У=О. Рассмотрим теперь поведение де-бройлевской волны, связанной а частицей, движущейся внутри прямоугольной ловушки. На стенках ящика происходит отражение волны, и в результате внутри потенциальной ямы при наложении падающей и отраженной волн должны образоваться стоячие де-бройлевские волны.
Аналогичную картину мы имеем при рассмотрении стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах Я 57.2). Вспомним, что при этом на длине струны должно укладываться целое число и полуволн (формула (57.7)): пЛ„?2=1 (п=1, 2, 3, ...) (70.15) или Л„= 2?./и. (70. 15') Таким образом, длина стоячей волны не может быть произвольной.
Она зависит от целых чисел а, поэтому и обозначена через Л„. Существует некоторый дискретный набор длин волн, которые могут установиться в закрепленной струне. Очевидно, что эти рассуждения применимы и к де-бройлевской волне частицы, движущеися внутри прямоугольной ловушки. На длине потенциальной ямы (или, иначе, потенциального ящика) должно уложиться целое число полуволн де-Бройля. Формулу (70.13) теперь следует записать несколько иначе: ~в то~~ ~Р (70.13') 2 за~ Индекс а у скорости и и энергии 8 показывает, что скорость и энергия частицы в потенциальной прямоугольной ловушке не могут иметь произвольных значений. Вместе с длиной волны Л скорость и энергия будут квантованными величинами, принимающими лишь определенные, дискретные значения.
Подставим в (70.13') значения Л„из (?0.15'). Получим (70. 16) Формула (70.16) показывает, что частица, запертая внутри потенциальной ловушки прямоугольной формы, может иметь квантованные значения энергии, прямо пропорциональные квадратам целых чисел и. 3. До сих пор речь шла о любой микроскопической частице, обладающей волновымя свойствами и запертой внутри ловушки. Предположим теперь, для определенности, что мы говорим об электроне, находящемся в потенциальной ловушке, Квантованные 230 значения к7„называются уровнями энергии, а числа п,определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне. Иногда говорят, что он находится в определенном стационарном квантовом состоянии п.
Этим подчеркивается, что состояние электрона с энергией 8„ не зависит от времени и электрон может в отсутствие внешних воздействий находиться в этом состоянии как угодно долго. 4. Рассмотрим влияние линейных размеров ловушки на квантование энергии. Покажем, что квантование энергии становится существенным лишь в том случае, когда линейные размеры потенциального «ящика» соизмеримы с размерами атома Ь = 10А = 10 ' м. Для этого вычислим разность с»о' энергий электрона, находящегося на двух соседних энергетических уровнях в'„~, и 4'„.
По формуле (70.16) имеем оп = о»+» 'л» 3»н « ~~я+ 1) — и 1 = (2п+ 1) зэ~~ » . (70.16') Подставим в формулу (70.16') численные значения Ь = 6,62 х х10-»«Дж с и и =9,8 10 " кг для электрона, находящегося в потенциальном «ящике» с линейными размерами 1=10-' м, соизмеримыми с размерами атома. Мы получим =(2л+1) 0,34 эВ, <Расстояние» между соседними энергетическими уровнями с ростом и возрастает пропорционально ряду нечетных чисел (2п+ 1). Очень важно, что электрон не может обладать энергией, не совпадающей с одним из энергетических уровней. Дозволенными являются толька такне энергии электрона в потенциальном ящике прямоугольной формы, которые совпадают с энергетическими уровнями, определяемыми формулой (70.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
