yavor2 (553175), страница 50
Текст из файла (страница 50)
70.5 Из рис. 70А видно, что на эффективной амплитуде А, укладывается нечетное число четвертей эффективных длин волн де-Бройля: А ф- — -(2п+1) — ' Подставив (70.26) в (70.20), получим пк»»Лэфф 8 = (2п+ 1)' (70. 271 Перемножая (70.25) на (70.27), исключим )., ф и найдем дискретные энергетические уровни линейного гармонического осциллятора: 8'=-(2п+ 1)', или 8=(2п+1)йь» — =- — (п+ —, й».
В квантовой механике при строгом подходе, основанном на решении уравнения Шредингера, получается следующее выражение для возможных энергий осциллятора: ! х 8»=(п+ — )йч, где п=1, 2, 3, ... (70,28) Из формулы (70.28) видно, что энергетические уровни гармонического осциллятора представляют собой систему равноотстоящих « друг от друга значений энергии (рис. 70.5). Грубый расчет, при«Яии веденный выше, привел к пра- вильной зависимости энергии л=г «,-йл„линейного гармонического ос- циллятора от его частоты т и к п=л «„=-Лэ правильному характеру зависи/ МОСТИ 8» ОТ П. 6.
Строгое квантовомехани- ческое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области !х~(А, т. е. за точками С и В иа рис. 70.3. В п. 2 выяснено, что это означает пребывание частицы там, где ее полная энергия о меньше потенциальной энергии. Однако благодаря волновым свойствам частиц и принципу неопределенностей обнаружение частицы за пределами классически дозволенной области оказывается возможным. Подробнее мы рассмотрим причину этого в следующем параграфе. В 70.6.
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер 1. В предыдущих задачах о частице в прямоугольной потенциальной яме и о линейном гармоническом осцилляторе мы считали, что на границах «потенциальной ловушки» происходит обрыв волны де-Бройля, связанной с движущейся частицей. На самом деле происходит более сложное явление. На границах «потенци. альной ловушки» волна де-Бройля должна вести себя аналогично электромагнитной волне на границе двух сред с различными показателями преломления (З 63.1).
Как известно, такая волна на границе частично отражается, а частично проходит через границу. Даже в случае полного внутреннего отражения наблюдается частичное проникновение света во вторую среду (5 65.2). Волна деБройля на границе потенциальной ловушки также испытывает не только отражение. Частично она проходит в область за пределамп потенциального барьера. Другими словами, имеется определенная вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. 2.
Частица, подчиняюсцаяся законам классической физики, может выйти из потенциального ящика лишь при условии, что ее полная энергия превышает «глубину» потенциального «ящика». С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального «ящика», «заперта» в нем. Стенки потенциального «ящнка» представляют для нее потенциальный барьер, который частица преодолеть не может. Для того чтобы частица могла выйти из потенциального «ящика» или проникнуть в него, согласно классической физике ей нужно сообщить энергию, равную или ббльшую разности высоты барьера и ее собственной энергии.
3. Квантовая механика приводит к принципиально новому результату о возможности прохождения (просачивания) частиц сквозь потенциальные барьеры. Это явление называется туннельным эффелспом. Для описания туннельного эффекта вводится понятие о прозрачности 0 потенциального барьера. По аналогии с оптикой, коэффициент прозрачности потенциального барьера для де-бройлевских волн можно ввести следующим образом: с(»' (70.29) где l„,„есть интенсивность волны де-Бройля, падающей на потенциальный барьер, 7„„,« — интенсивность волны, прошедшей через барьер. Величину О м«о>кно рассматривать как вероятность прохождения волн де-Бройля сквозь потенциальный барьер, или, что то же самое, как вероятность просачивания частицы сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой можно ввести также понятие о коэффициенте отражения Й частицы от барьера: )7 ==- 1 — О. Расчеты, которые проводятся в квантовой механике„пояазывают, что прозрачность барьера зависит от его формы и высоты.
В случае прямоугольного потенциального барьера с высотой (7« и шириной Б (рис. 70.6) прозрачность О выражается формулой гс — — У»»цир-ас П=-О» '=Ое " (70. 30) 237 Здесь Р, — постоянный коэффициент, близкий к единице, ш— масса частицы, 8 — ее полная энергия. Туннельный эффект является квантовым явлением н может проявляться в тех случаях, когда прозрачность барьера не слишком мала. Оценим для прямоугольного барьера величину параметра а в формуле (70.30): Частица ызаперта» внутри барьера с линейными размерами Е, и ее положение определено с точностью до Ахмад, поэтому неопре- деленность импульса Ьр же, а неопределенность энергии (р+ьр)' р~ 2р др лр~ злр~ ЗЬ Ь8= — = — + — )— 2т 2т 2т 2т 2т 2тА~ ' Рис. 70.6 Здесь использовано, что р ~ Лр (см. 2 16.7). Для того чтобы частица просочилась сквозь барьер, неопределенность ее энергии должна быть близка к разности между высотой барьера и энергией частицы: щ У,— 8ж Л8жЗЬ72тЬ'.
Подставив это в выражение для а, получим а ж ж2)'Зж34. Зги оценки справедливы в тех случаях, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы о атомными размерами. В макроскопической области, например, при 1=10 ' м и (l~ — 8ж ж10эВ, значение а составляет аж10~ и прозрачность барьера ничтожно мала: Р =е-ш'. С увеличением массы частицы и разности К,— 8 прозрачность барьера быстро уменьшается. 4. Туннельный эффект получил экспериментальное подтверждение в явлении холодной эмиссии электронов нз металлов под действием электрических полей. Опыты показали, что в ряде случаев вырывание электронов из металлов происходит при напряженностях электрического поля в сотни раз меньших„чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон, совершив работу выхода, покинул металл.
Зто объясняется в квантовой механике туннельным эффектом. Действие электрического поля с напряженностью Е приводит к тому, что потенциальный барьер для электронов на границе металл — вакуум становится более узким, его ширина Ь уменьшается. Электрон, обладающий энергией 8, по абсолютному значению меньшей, чем высота барьера У„может выйти из металла сквозь барьер с помощью туннельного эффекта. Поэтому напряженность поля, необходимого для возникновения холодной эмиссии, уменьшается по сравнению с той, которая следует из расчетов без учета прохождения электронов сквозь потенциальный барьер. Электрическое поле благодаря туннельному эффекту вырывает электроны из отдельных атомов или молекул. Это явление автоионизачии также происходит при меньших напряженностях поля, чем это следует из классической физики.
Правильные оценки напряженности поля, соответствующие экспериментальным данным, получаются в квантовой механике с учетом прохождения электронов сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект играет основную роль в явлении радиоактивного а-распада Ц 8Е9).
5. Туннельный эффект, прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, приводит к возможности обнаружить частицу в классически недозволенной области, где ее полная энергиями меньше, чем потенциальная: г7((/ (так называемый парадокс туннельного эффекта). В действительности здесь нет парадокса и рассуждения в п. 2 З 70.5 о мнимой скорости частицы неверны. Лело в том, что туннельный эффект есть чисто квантовое явление. Если попытаться в духе принципа соответствия (п. 6 9 70.4) перейти к классическому описанию, положив, что Ф-~О, то получим, что Р- О, и о прозрачности барьера бессмысленно говорить.
Квантовомеханическое описание туннельного эффекта приводит к неожиданной, с точки зрения классической физики, трудности, связанной с возможностью представлять полную энергию 8 частицы в виде суммы ее кинетической тэ'/2 и потенциальной (/(х) энергий: В классической физике такое представление не вызывает сомнения и предполагает, что одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая энергия р /2т, и потенциальная энергия (/(х) частицы.
Другими словами, считается, что частице о любой степенью точности одновременно приписываются определенные значения координаты х и импульса р. Но, как известно из 9 70.2, соотношения неопределенностей Гейзенберга исключают такую возможность в квантовой механике. Поэтому само представление полной энергии в виде суммы точно определенньа частей — кинетической и потенциальной энергий — оказывается неправомерным. Поэтому и парадокса туннельного эффекта, основанного на представлении б".
в виде суммы (р'/2т)+ (/(х), в квантовой механике не существует. Если положение частицы точно определено в области Лх, т. е. координата х и, следовательно, ее потенциальная энергия (/(к) определены с достаточной точностью, то при этом будет внесена неопределенность Ьр в значение ее импульса Лрж ж В/Лх. Это означает, что неопределенным образом изменится кинетическая энергия частицы рЧ2гп. Можно показать, что изменение кинетической энергии частицы ЬК, вызванное заданием ее координаты, превышает разность между высотой барьера (/, и полной энергией частицы 8: Другими словами, ЬК превышает ту энергию, которой недостает частице, находящейся внутри потенциальной ямы, для того чтобы она могла «класснческим образоми выйти из ямы, пройдя над барьером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
