yavor2 (553175), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для ящика макроскопических размеров Ь = 10 "- м аналогично получим следующие результаты: Ьб'=(2п+1) з' 1, „,,— — (2п-)-1) 5,5 10»4Дж= =(2п+1) 3,4 10 "эВ, Энергетические уровни расположены в этом случае столь тесно, что можно считать эти уровни практически непрерывными. Онн образуют густо расположенную последовательность кэазинепрерыэных уровней. Квантование энергии электрона в ловушке макроскопических размеров дает результаты, несущественно отличающиеся от результатов классической физики, где энергия электрона может принимать любые значения, т. е. может изменяться 231 непрерывно. Заметим, что при Е- ю последовательность уровней становится строго непрерывной, так как Лб.
-«О. 5. В 2 14.3 при обсуждении роли соотношений неопределенностей для описания движений мы видели, что при макроскопическом движении частицы можно не принимать во внимание ограничений, которые вносят соотношения неопределенностей в возможность описывать движение с помощью понятия о траектории. Наоборот, при движении электрона в атоме, где он заперт в ловушке с линейными размерами порядка размеров атома, понятие о траектории частицы становится неправомерным.
Теперь мы видим, что в случае ловушки макроскопнческих размеров энергия электрона также ведет себя классическим образом: она может принимать произвольные, непрерывные значения. Совершенно иную картину мы имеем в случае, когда электрон заперт в ловушке атомных размеров. Здесь не только теряет смысл понятие о траектории электрона, важнейшая его характеристика— энергия — оказывается квантованиой.
Она может изменяться лишь «скачкообразно», так, чтобы электрон переходил с одного энергетического уровня на другой. Этот вывод является фундаментальным в квантовой механике и не зависит от конкретной формы потенциальной ямы (ловушки), в которой находится электрон или другая мнкрочастица. б. Рассмотрим, как зависит квантование энергии от величины квантового числа и. Для этого воспользуемся формулой (70.16') для разности Ье7 и составим отношение Леу/г7„. Получим Л~ 2п+ ! суп (70 17) При больших значениях квантового числа и имеем 2п+1 =2п, и отношение (70.17) дает Ло. 2 (70. 18) ь 232 Видно, что при п))1 отношение Л8!8„<~1, или Л~((8„. Это означает, что при росте квантового числа и разность ближайших энергетических уровней растет медленнее, чем величина энергии каждого из уровней.
Другими словами, с ростом и должно происходить относительное сближение энергетических уравнен При больших квантовых числах квантование энергии дает результаты, близкие к тем, которые получаются при классическом рассмотрении,— уровни становятся квазинепрерывными.
В этом находит свое выражение принцип соответствия, установленный Н. Бором в 1922 гл при больших квантовых числах выводы и резуттаты квантовой механики должны соответствовать классическии резулыпатахь т. е. квантовые результаты переходят в классические. В более общей формулировке принпип соответствия утверждает, что между любой физической теорией, которая является обобще- нием и развитием классической, и первоначальной классической теорией существует связь — в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. Так, например, в гл. 12 — 13 мы видели, что формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят в формулы классической механики Ньютона при скоростях о(<с таких, что (в!с)'- 0; в Я 5?.6 и 65.1 — что выводы волновой оптики переходят в результаты геометрической оптики, если можно пренебречь длиной световой волны по сравнению с любыми расстояниями, встречающимися в данной задаче, и считать, что 7 - О.
Между квантовой механикой и классической предельный переход связан с возможностью пренебречь конечностью величины Ь и считать 6-0. й 70,5. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике 1. Предположим, что частица с массой т движется вдоль оси х под действием квази) пругой силы Р = — йх, пропорциональной отклонению частицы от положения равновесия. Здесь й — коэффициент упругости (см. 3 8.4). Такая частица, называемая линейным гармоническим осциллятором, является весьма плодотворной моделью в оптике и атомной физике.
Так, при изучении явления дисперсии света мы рассматривали оптические (валентные) электроны атомов (и молекул) совершающими колебания под действием электрического поля световой волны. В сущности мы считали, что атомы ведут себя как гармонические осцилляторы. Модель атома как гармонического осциллятора — атомного осциллятора — оказывается плодотворной и в других проблемах. Излучение нагретого тела мы считали результатом того, что атомы-вибраторы являются источниками электромагнитных волн. Каждый атом-вибратор Плаик рассматривал как гармонический атомный осциллятор, энергия которого может изменяться только отдельными порциями (367.3). В квантовой механике идеи Планка получили свое обоснование и развитие.
1 2. Вспомним прежде всего, как в классической физике следует рассматривать колебания гармонического осциллятора. На рис. 70.3 изображен график потенциальной энергии (7 ос- Рис. 70 3. циллятора (7 = йх'72. На этом же графике показано значение полной энергии ~ частицы.
Точкам В и С на графике 17(х) соответствуют наибольшие отклонения частицы от положения равновесия, когда скорость частицы обращается в нуль и ее полная энергия (70.19) 233 становится равной потенциальной: при о= — 0 8=-(l (х) = — = 2 . (70.20) Амплитуда А колебаний осциллятора определяется запасом его пол- ной энергии 8, А= ~/ '8 = У '8, = ' У '8.
(70.21) Здесь использовано соотношение между коэффициентом упругости й и собственной частотой «а упругих колебаний: й = л«ы» (см. 2 8.4). С классической точки зрения совершенно очевидно, что частица при своих колебаниях не может выйти за пределы области ( — А, А). Такой выход означал бы, что потенциальная энергия У становится большей, чем полная энергия 8 частицы: 0)8, что соответствует бессмысленному выводу об отрицательной кинетической энергии, т. е. о мнимой скорости. Если тоЧ2(0, то о — мнимая величина! 3, Рассмотрим теперь квантовый гармонический осциллятор.
Переход от классического к квантовому рассмотрению означает, что мы должны будем учесть волновые свойства частицы, запертой внутри потенциальной ловушки, имеющей форму параболы (см. рис. 70.4). В квантовой механике соотношение неопределенностей приводит к принципиально новому результату: полная энергия гармонического осциллятора и амплитуда его колебаний не могут быть равны нулю. В самом деле, если частица «заперта» в области ЬхжА, то согласно (70.4) Лр„жй/А, и импульс р частицы не может быть равен нулю.
Как показано в 3 16.7, р) Лр„ж Й!А. При этом полная энергия 8 удовлетворяет соотношению (70. 22) Сравнивая (70.22) с (70.20) и исключив амплитуду А, имеем й»»»» Йм 8 ) —, или 8.= —. Таким образом, существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора, равное 8= — =— 7««» а» (70.
23) и называемое нулевой энергией осциллятора. 4. Нулевая энергия осциллятора определяется только его собственной частотой т. Ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, оиа сохранилась бы и при температуре абсолютного 234 ~эфф = =, (70. 24) Рис. 70.4. й 2яв йэфф Гэфф ' где р, — эффективныи импульс, связанныи с энергиеи так, как будто потенциальная ловушка отсутствует и движение частицы совершенно свободно: рэфф 4яяоэ «7= — ' 2т 2тээ эфф (70.25) *) Исклюяеиис составляет гелии, который является квантовой жидкостью вплоть до Т-«о, если давлепне ие превышает 22 атм. нуля. Нулевой энергии соответствуют некоторые «нулевые колебания» квантового осциллятора.
Существование нулевой энергии подтверждено экспериментально в явлении рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Рассеяние света в кристаллах происходит на тепловых колебаниях, которые совершают атомы, молекулы или ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки (й 62.8). С классической точки зрения интенсивность рассеянного света должна убывать до нуля с уменьшением температуры до нуля, ибо должны прекратиться тепловые колебания узлов решетки, на которых происходит рассеяние света. Опыты показали, что при уменьшении температуры интенсивность света, рассеянного кристаллами, стремится к некоторому предельному значению, которое не убывает при дальнейшем охлаждении кристалла. Результаты опытов показали, что при Т- 0 у частиц, расположенных в узлах решетки, сохраняются некоторые «нулевые колебания», на которых и происходит рассеяние света.
«Нулевым колебаниям» соответствует нулевая энергия атомных осцилляторов. Наличие нулевой энергии является характерным признаком любой системы частиц, рассматриваемой в квантовой механике. При температурах, близких к абсолютному нулю, любое вещество находится в кристаллическом состоянии *) и его атомы (молекулы или ионы) ведут себя как некоторые колеблющиеся осцилляторы. 5. Найдем теперь все возможные значения полной энергии квантового гармонического осциллятора. Движение частицы в этом случае ограничено потенциальной кривой параболического типа У = — хэ (рис.
70.4). Как и в случае частицы, «запертой» в 2 прямоугольном ящике, налцчие потенциальной ловушки параболического типа приводит к дискретному набору энергий частицы. Квантованные значения энергии осцнллятора будут определяться тем, что на эффективной длине 2А, = аа', Ь(г', ... и зэ укладывается нечетное число полуволн деБройля. Введем эффективную длину волны деБройля: л-« Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
