yavor2 (553175), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Вычислим фазовую и групповую скорости де-бройлевской волны частицы с массой т, движущейся со скоростью и. Фазовая скоро«гь волны определяется формулой (63.16): и=-ы/й. Умно. жнв числитель и знаменатель на Х и используя формулу (69,6), а также формулу (68.12'), справедливую для волн де-Бройля, получим ы йы е лют сз и= — = — = — = — = — > с. Л Л р гло о (69.7) Видно, что фазоаая скорость волны де-Бройлв превышает скорость света в вакууме. ибо о<с. Как было выяснено в 1 63.8, зто не противоречит теории отяосительности. Аы Групповую скорость волны де-Бройля вычислим по формуле (63.18) сГ = — .
Ай ' Если умножить на Гь числитель и знаменатель и воспользоваться теми жс формулами, что и при вычислении фазовой скорости, получим аы йды Ае ьбй Ар (69.8) Здесь, кроме того, использована формула бе=о Ар (гл. 1б, формула (16.10)). Групповая скорость волны де-Бройля равна скорости движения частицы. Зтст результат подчеркивает неразрывную связь де-бройлевских волн с движущимися частицами. 5. Открытие волновых свойств движущихся частиц вещества явилось важнейшим достижением современной физики.
Вместе с твердо установленным экспериментально квантовым характером законов, описывающих внутриатомные процессы, обнаружение волновых свойств частиц вещества послужило фундаментом для создания квантовой механики. Так называется раздел современной теоретической физики, изучающий законы движения частиц в области микромира — в масштабах длины 10 "— 10 " м. Объектами изучения квантовой механики являются атомы, молекулы, кристаллы, атомные ядра и элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, мезоны и др.).
ГЛАВА 70 ПОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ В 70.1. Понятие о волновой функции 1. Волновые свойства частиц вещества и вероятностный, статистический смысл волн де-Бройля приводят к тому, что описание движения микрочастиц в квантовой механике носит своеобразный, неклассический характер. В классической механике Ньютона 226 какого-либо электромагнитного поля, к электромагнитным волнам.
Среди известных в классической физике электромагнитных, аку- стических и других волн нет аналога «волнам вероятности», свя- занным с движущимися частицами вещества. дввжение тела или частицы под действием силы описывается вторым законом Ньютона. В гл. 8 подробно рассмотрен вопрос о том, что если заданы начальное положение (т. е. начальные координаты) и начальная скорость тела, то по второму закону Ньютона можно определить положение и скорость тела (или частицы) в любой следующий момент времени. В классической механике задание координат и скорости тела в некоторый момент времени, принятый за начальный (1=0), является полным описанием состояния тела (или частицы). Прп этом предполагается, что начальные координаты и скорости тел (пли частиц) могут быть заданы слюбой степенью точности, зависящей лишь от качества тех приборов, с помощью которых производится измерение координат и скоростей.
2. Из опытов, которые привели к обнаружению волновых свойств частиц вещества, и из смысла волн де-Бройля следует, что в квантовой механике задание состояния частицы должно быть иным, чем в классической механике. Из предыдущих параграфов следует, что в квантовой механике имеет смысл говорить лишь о вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства, а точнее, в некотором бесконечно малом объеме Л$'.
Отличие квантового описания состояния частицы от классического состоит в том, что максимально полным описанием состояния является задание вероятности того, что частица находится в момент времени 1 в бесконечно малом объеме ЛК Согласно 2 69.3 эта вероятность определяется квадратом амплитуды волн де-Бройля. В соответствии с этим в квантовой механике вводится некоторая функция ф(х, у, г, 1) четырех переменных — трех координат х, у, г и времени 1, называемая волновой функз1ией (или пси-функцией). Она вводится следующим образом: вероятность Лпз того, что частица находится в бесконечно малом объеме ЛУ, пропорциональна 1ф1з и элементу объема ЛК Лсе = ~ф~зЛ'н' (70.1) В этой формуле символ (ф)з читается так: квадрат модуляпсифункции.
Из формулы (70.1) видно, что физический смысл имеет не сама пси-функция ф, а квадрат ее модуля (ф1'. !фГ=д Величина ®фаз определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства ~). Другими словами, величиной 1ф(а определяется интенсивность волн де-Бройля. Таким образом, ф-функция, заданием которой определяется положение частицы в пространстве, имеет статистический смысл. 3. Волновая функция ф является основной характеристикой состояния микрообъеьтов, изучаемых в квантовой механике.
Она удовлетворяет уравнению, которое называется уравнениелз Шре- *1 Волнчнну !з(зР называют плотностью аороатноо~ни. 221 дингера и является основным законом в квантовой механнке а). По своему значению в квантовой механике уравнение Шредингера аналогично основному закону — второму закону Ньютона — в классической механике. Подобно тому как в классической механике с помощью второго закона Ньютона решаются задачи, связанные с движением макроскопических тел, в квантовой механике с помощью уравнения Шредингера решаются задачи, связанные с движением микрообъектов. Особое значение имеет уравнение Шредингера для описания движения электронов в атомах, молекулах и кристаллах твердых тел.
С помощью этого уравнения можно доказать один из наиболее фундаментальных выводов современной физики о том, что энергии электронов в атомах, молекулах и кристаллах не могут иметь произвольных значений. Оказывается, что энергии электронов в таких случаях могут принимать лишь определенные дискретные значения.
На языке квантовой механики это означает, что электроны находятся в определенных энергетических состояниях. Уровень этой книги исключает возможность изучения уравнения Шредингера и выводов из него. Однако к важнейшему в квантовой механике вопросу о том, что некоторые физические величины, например, энергия и момент импульса (момент количества движения)„характеризующие движущиеся микрообъекты, могут принимать в определенных случаях лишь дискретные значения, мы еще вернемся в дальнейшем изложении. й 70.2. Соотношения неопределенностей Гейзеиберга 1. Волновые свойства частиц и возможностьзадатьдлячастицы лишь вероятность ее пребывания в данной точке пространства приводят к тому, что сами понятия координаты частицы и ее скорости (или импульса) могут применяться в квантовой механике в ограниченной мере.
В этом, вообще говоря, нет ничего удивительного. В классической физике понятие координаты в ряде случаев тоже непригодно для определения положения объекта в пространстве. Например, не имеет смысла говорить о том, что электромагнитная волна находится в данной точке пространства или что положение фронта волновой поверхности на воде характеризуется координатами х, гг, г. Двойственная, корпускулярно-волновая природа частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). 2. В $ б1.3 показано, что если имеется ограниченный в пространстве цуг волн, имеющий длину Лх вдоль оси х, то этот цуг не может быть монохроматическим.
У такого цуга волн неизбежна опреде- *) Эрвин Шредингер предложил это уравнение в 192о г. Уравнение Шредингера не выводитси. ленная немонохроматичность — наличие определенного интервала Лез частот монохроматических волн, составляющих этот цуг. Вместо интервала частот Лез можно рассматривать интервал Л/е волновых чисел.
Напомним, что волновое число /т = 2п/Л. Согласно формуле (61.7) между Лх н Л/е существует связь *): Лх Лй)1. (70.2) Это соотношение справедливо для любых волновых процессов. Применим его для де-бройлевской волны частицы, которая движется вдоль оси х и имеет импульс р„= р е е). Из формулы (69.2) имеем р =/г/Л, или, если ввести величину й =/г/2н, получим р= —," й=/ей.
(70.3) Такая же связь должна существовать между Лр и Л/з — излгененнями величин р и /е: Лр= Лй.й, следовательно, Л/т = Лр/уз= Лр„/гь. Подставив зти выражения в (70.2), получим соотношение Лх. Лр„) гзь. (70.4) Если бы частица двигалась вдоль осей у или з,так, что проекции импульсов ее по осям были бы рв и р„то мы получили бы аналогичные соотношения: Лу Лр„)Й, (70.6) Лг Лр,)$.
(70.6) Формулы (70.4) — (70.6) называются соотноигениями неопределенностей Гейзенберги по имени Вернера Гейзенберга, установившего эти соотношения в 1927 г. В этих формулах Лх, Лу и Лг обозначают области координат вдоль осей х, у, х, в которых может быть обнаружена частица, которой соответствует некоторая волна деБройля. При этом проекции импульса частицы по осям заключены, соответственно, в пределах Лр, Лрв и Лр,. Соотношения неопределенностей показывают, что координаты частицы х, у, д и проекции ее импульса р„, рв, р, на соответствующие оси координат ие могут одновременно иметь значения, в точности равные х и р„, у и рв, з и р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
