babkin_selivanov (550243), страница 7
Текст из файла (страница 7)
г = г(ж1, ж2, ж3).Найдем теперь для точки М пространства частные производные радиус-вектора по соответствующим координатам:дгд^ = Т1>дг'д^ = Г2'дгд^ = гз'Согласно правилам дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу, векторы rj, Г2, т*з образуют тройку векторов, направленных по касательной к соответствующим координатным линиям, проведенным в данной44точке пространства в направлении возрастания координат.Совокупность этих трех векторов — основной базис системыкоординат в данной точке.Основной базис системы координат в данной точке пространства есть совокупность трех векторов, определенныхкак частные производные радиус-вектора, проведенного вданную точку пространства, по соответствующим координатам.Соотношения (1.20), согласно которым находятся векторы основного базиса, могут быть записаны в виде дт/дх1 = г,,где i = 1, 2, 3 — свободный индекс, встречающийся лишь одинраз в каком-либо выражении (или, как в данном случае, по одному разу слева и справа от знака равенства) и принимающийзначения в пределах, определяемых мерностью пространства.Например, система координат (.г1, ж2, ж3) для краткости записи может быть обозначена хг, а некоторая другая системакоординат (у1, у2, у3) — уЛНеобходимо отметить, что тройка векторов гг, составляющих основной базис системы координат, в общем случае задания криволинейной системы координат являе-тся нестабильной характеристикой: векторы основного базиса могут изменяться при переходе от одной точки пространства к другой.Например, в декартовой прямоугольной системе координат в45любой точке пространства (точки О, Л/, М\ на рис.
1.32) координатные линии — прямые, параллельные координатнымосям. При переходе от точки к точке пространства каждый извекторов, составляющих основной базис, не изменяется ни помодулю, ни по направлению, т.е. в декартовой прямоугольной системе координат основной базис — стабильная характеристика. В декартовой прямоугольной системе координатосновной базис является ортонормированным, его составляютвзаимно перпендикулярные единичные векторы rj = г, Г2 =гз = к.Несколько иначе обстоит дело в случае криволинейной системы координат. Например, через произвольную точку пространства в цилиндрической системе координат могут бытьпроведены три координатные линии, две из которых прямые, а третья является окружностью (штриховые линии нарис.
1.33). Векторы основного базиса в точке М должныбыть направлены следующим образом: первый базисный вектор и = гг, соответствующий изменению только координатых1 = т (г1 = дт/дх1 = дт/дт), — вдоль соответствующейкоординатной линии, являющейся прямой, проходящейчерез данную точку и ось zперпен дикулярно последней;второй базисный вектор Г2 == г#, отвечающий изменениютолько угловой координатых2 = в, — по касательной ксоответствующей координатной линии (окружности с центром на оси z на рис. 1.33)в сторону увеличения угловойкоординаты 0; третий базисный вектор гз = rz — параллельно оси z. Аналогично определяется направление векторов основного базиса при переходек другой точке пространства — М\. Очевидно, что при переходе от одной точки пространства к другой в цилиндрическойсистеме координат изменяются два базисных вектора rj = vr46и Г2 = ге ПРИ неизменном базисном векторе гз = rZb т.е.
вкриволинейных системах координат основной базис являетсянестабильной характеристикой (изменяется при переходе отодной точки пространства к другой).Понятие метрики пространства. Метрические коэффициенты основного базиса. Пусть положение некоторой точки М пространства относительно точки 0, принятой за начало координат, характеризуется радиус-векторомт — г(х1,х2,х3). Рассмотрим еще одну точку пространства — Mi, расположенную сколь угодно близко от точки М(рис. 1.34).
Положение точки Mi относительно точки Мхарактеризуетсявекторомdr — дифференциалом радиус-вектора г. Расстояниеdl между двумя сколь угодноблизкими точками пространства М и Mi определяетсямодулем вектора dr:Рис. 1.34(d/)2 = dr • dr,(1.21)Так как радиус-вектор г является функцией трех координатж1, ж2, ж3, то дифференциал радиус-вектора г имеет вид= ri dx1 + Г2 dx2 + гз dx\(1.22)Следовательно, вектор dr представляется в виде разложенияпо векторам основного базиса rj, 7*2 > гз через егр компоненты— дифференциалы координат dx1, dx2, dx3.Сформулируем широко применяемое в тензорном исчислении соглашение о суммировании (правило суммирования47по двойному индексу, или правило суммирования Эйнштейна). Так, выражение (1.22) формально может быть представлено в виде3dr — r^dx1 + V2dx2 + r^dx3 =гг dxl = гг dxl.(1.23)г=1Использованное в соотношении (1.23) правило суммирования Эйнштейна формулируется следующим образом: если вкаком-либо выражении один и тот же индекс встречаетсядважды {один раз внизу и один раз вверху), то предполагается, что по этому индексу производится суммирование впределах, определяемых мерностью пространства] при этомзнак суммирования опускается.Встречающийся дважды в одном и том же выражениииндекс носит название индекса суммирования.
Индекс суммирования может обозначаться любой буквой. Но какой быбуквой ни был обозначен индекс суммирования, выражениятипа dr = гг dx^ = ту dx3 — r^ dxk = ... означают толькото, что дифференциал радиус-вектора г представляет собойсумму трех слагаемых, каждое из которых определяется произведением вектора основного базиса и дифференциала соответствующей координаты.С использованием соглашения о суммировании выражение (1.21) может быть представлено в виде(dl)2 = (г, dxl) • (rj dx^) — (гг- • ту) dxldx^.(1-24)Соотношение (1.24) в краткой записи содержит сумму девятислагаемых (индекс i изменяется в пределах от 1 до 3, и каждому из значений индекса i соответствует изменение индекса jв этих же пределах).Обозначим скалярное произведение базисных векторов’ rj ~ 9ij'(1.25)В выражении (1.25) индексы i и j являются свободными индексами, каждый из которых принимает значения от 1 до 3.48Следовательно, равенство (1.25) в краткой форме содержитдевять соотношений типа0ц =74-74,012 = Г1 • 7*2, • • • , 533 = 7*3 • 7*3.С учетом обозначений (1.25) соотношение (1.24) может бытьпредставлено в виде метрики пространства(d/)2 = gtjdx'dxi.(1.26)Таким образом, метрика пространства с системой координат хг есть квадратичная относительно дифференциаловкоординат форма (1.26), выражающая квадрат расстояниямежду двумя сколь угодно близкими точками.Метрические коэффициенты g±j основного базиса системы координат (см.
(1.25)) — это постоянные коэффициенты метрики пространства, определяемые как скалярное произведение векторов основного базиса. Совокупность девяти метрических коэффициентов gij образует метрическую матрицу((Л>)) основного базиса системы координат. Метрическаяматрица ((->)) является симметричной матрицей дг] = gji^что связано с коммутативностью скалярного умножения векторов гг -7*j = rjПоэтому метрическая матрица основногобазиса системы координат в общем случае характеризуетсяшестью различными величинами:((*>)) -( 511512513 У5121 5135225235зз У523(1.27)Важным частным случаем криволинейных систем координат являются ортогональные системы координат, координатные линии которых в любой точке пространства взаимно перпендикулярны, а следовательно, взаимно перпендикулярны и векторы основного базиса. Ввиду взаимной ортогональности базисных векторов из совокупности девяти метрических коэффициентов gij отличными от нуля являются лишь49три метрических коэффициента, имеющих одинаковые индексы (гг • г3■ — 0 при iJ, гг • гj0 при г = j).
Поэтомуметрическая матрица основного базиса ортогональной системы координат характеризуется только тремя отличными отнуля величинами и является диагональной матрицей:(Ы) =<7ц0ОО<722О0#зз0 )(1.28)Отметим, что в дальнейшем будут использоваться главнымобразом ортогональные системы координат. В частности, ортогональными являются рассмотренные ранее декартова прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат.Для ортогональных систем координат выражение (1.26)метрики пространства будет представлять сумму трех слагаемых:Отсюда вытекает способ нахождения значений метрическихкоэффициентов основного базиса в ортогональных системахкоординат.
Для этого необходимо выразить квадрат расстояния между двумя сколь угодно близкими точками через дифференциалы координат. Коэффициенты при квадратах дифференциалов будут определять значения метрических коэффициентов. В качестве примера найдем значения метрических коэффициентов дч основного базиса для декартовой прямоугольной и цилиндрической систем координат (рис. 1.35 и1.36).В декартовой прямоугольной системе координат (z1 — z,х2 = у, х3 = z) квадрат расстояния между двумя близкимиточками выражается через дифференциалы координат как222(d/)2 = (dz)2 + (dy)2 + (dz)2 = (dx1^ + (dx2^ + (^dx^ .50Из сравнения этого выражения с формулой (1.29) следует, чтов декартовой прямоугольной системе координат метрическиекоэффициенты основного базиса являются безразмерными величинами, т.е.#11 — #22 — #33“"О’* / 2-(1.30)В цилиндрической системе координат (ж1 = г, ж2 = #,ж3 = z) выражение для метрики пространства принимает вид(d/)2 = (dr)2 + r2(d#)2 + (dz)2.Отсюда с учетом выражения (1.29) получаем, что в цилиндрической системе координат два метрических коэффициента #ци <7зз являются постоянными безразмерными величинами, тогда как третий коэффициент #22 зависит от координат точкипространства и является размерной величиной, т.е.511 =522 = А5зз = !>9ij = 0, •i/ j.(1.31)Теперь на основании двух рассмотренных выше примеров может быть установлен геометрический смысл метрических коэффициентов основного базиса системы координат:51метрические коэффициенты есть коэффициенты пропорциональности 6 выражении метрики пространства с даннойсистемой координат, приводящие в соответствие размерности координат (размерности квадратов координат к размерности квадрата длины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
