babkin_selivanov (550243), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.12) и равный площади этого основа­ния: d = S = be sin а. При дальнейшем скалярном умножении20вектора а на вектор d = Ь X с получается скаляр, равныйпроизведению площади основания параллелепипеда d = S ипроекции вектора а на направление вектора d, равной высотеД = a cos /3 параллелепипеда, построенного на перемножаемыхвекторах: |а • (Ь х с)| = Sh =■ V, Знак смешанного произ­ведения определяется взаимной ориентацией векторов а, Ь, с.Если векторы а, Ь, с составляют правую тройку, т.е. с концавектора а поворот вектора Ь по кратчайшему пути к векторус происходит против хода часовой стрелки (векторы а и Ь х ссоставляют между собой острый угол), то знак смешанногопроизведения положителен, в противном случае — отрицате­лен.Смешанное произведение трех векторов выражается че­рез их компоненты на основании аналогичных формул дляскалярного и векторного произведений следующим образом:CL • (Ь X с) = (byCz — bzCy) (Lx 4" (bx^z —ay -|CLx dy dz(1-4)4" (bx^-y —(Lz — bx by bzcx Cy czИз приведенной формулы следует вывод о том, что еслидва любых вектора, участвующих в смешанном векторно­скалярном произведении, одинаковы или коллинеарны, то ре­зультат смешанного произведения равен нулю (две строкиопределителя третьего порядка одинаковы или пропорцио­нальны).1.2.2.

Элементы векторного анализаВ векторном анализе рассматриваются вопросы, связан­ные с переменными векторами, дифференцированием и инте­грированием скалярных и векторных функций скалярного ивекторного аргументов. Скалярная функция скалярного аргу­мента является обычной функцией у = f(x) одного аргументах и с точки зрения векторного анализа интереса не предста­вляет.Векторная функция скалярного аргумента считается за­данной, если задан вектор а, изменяющийся в зависимо­сти от некоторого скалярного аргумента /, т.е. а = a(t).21В механике под скалярным аргументом чаще всего понимает­ся время. Рассмотрим некоторые необходимые в дальнейшемпонятия и положения на примере радиус-вектора г, характе­ризующего положение материальной точки, движущейся от­носительно декартовой прямоугольной системы координат. Вэтом случае радиус-вектор является функцией времени /, т.е.г = r(t) (рис.

1.13).Годограф вектора есть геометрическое место точек кон­цов вектора, зависящего от скалярного аргумента. Нарис. 1.13 годографом радиус-вектора г, характеризующего по­ложение в пространстве движущейся материальной точки М,является кривая L — траектория движения материальнойточки.Производная векторной функции скалярного аргумен­та определяется как предел отношения изменения векторнойфункции Да к соответствующему изменению скалярного ар­гумента при стремлении последнего к нулю.

Для приведен­ного на рис. 1.13 примера производная радиус-вектора dr/dt вмомент времени, соответствующий положению материальнойточки ЛГ,drДг— = 11Ш —— = vdtД/представляет собой вектор скорости движения материальнойточки в момент времени t. Очевидно, что направление произ­водной вектора по скалярному аргументу совпадает с направ­лением касательной к годографу вектора, т.е.

вектор скорости22Рис. 1.14направлен по касательной к траектории движения материаль­ной точки.Зависимость радиус-вектора т движущейся материаль­ной точки М от времени t может быть задана и более сложнымобразом. Пусть радиус-вектор г является функцией другогоскалярного аргумента з — длины дуги кривой годографа, от­считываемой от некоторой начальной точки Mq (рис. 1.14), асам путь 5, проходимый материальной точкой М по траекто­рии, — это функция времени: з = з(/). Тогда радиус-векторесть сложная функция времени: г = r[s(/)].

В соответствии справилами дифференцирования сложной функцииdrdr ds— SV,atas atт.е. производная радиус-вектора по скалярному аргументуможет быть представлена в виде произведения двух сомно­жителей. Один из них — скалярный — представляет собоймодуль скорости движения материальной точки М по траек­тории v = ds/dt. Второй сомножительV - — —dr..Агз = — = li m —dsДз->0 Asявляется производной радиус-вектора по длине дуги годогра­фа и представляет собой единичный вектор з, направленный23по касательной к кривой годографа в сторону возрастаниядлины дуги з. Это утверждение следует из того, что пристремлении к нулю приращения длины дуги (Аз —> 0) секущаякривой годографа Аг стремится занять положение касатель­ной к кривой, а значения длины дуги кривой (Аз) и секущей(Аг) сближаются, т.е.

(см. рис. 1.14)Дз->о АзПри изучении движения сплошных сред в рамках фено­менологического подхода для описания движения и внутрен­него состояния среды вводятся скалярные и векторные вели­чины: давление р, температура У, скорость v и др. Посколь­ку сплошная среда (материальный континуум) есть некотораясубстанция, непрерывным, сплошным образом заполняющаячасть пространства, описание ее движения и состояния связа­но с заданием характеризующих движение величин в каждойточке какой-либо области пространства. Иными словами, приописании движения сплошных сред приходится иметь дело сполями скалярных и векторных величин.Поле — скалярное или векторное — это совокупностьзначений той или иной величины, заданных в каждой точкерассматриваемой области пространства.

В качестве примераможно назвать скалярное поле давлений или температуры ватмосфере, векторное поле скорости течения воды в реке и т.д.Математическое описание поля связано с установлени­ем зависимостей величин от координат, однозначно опреде­ляющих положение точек в пространстве: р — р(хь у, г),Т = У(ж, 2/, г), v = v(x, у, г). Поскольку координаты точкив пространстве ж, у, z задают радиус-вектор г, характеризу­ющий положение этой точки относительно начала координат,задать скалярное или векторное поле означает задать скаляр­ную или векторную функцию векторного аргумента г, т.е.

по­ставить в соответствие каждому радиус-вектору т значениесоответствующей физической величины: р = р(г), У = У(т),v = v(r).24Графически изображать поля удобно с помощью поверх­ностей уровня и векторных линий. Поверхности уровня (изо­поверхности) используются для графического изображенияскалярных полей. Это геометрическое место точек в про­странстве, соответствующее одному и тому же значению ска­лярной величины (р(я, у, z) = const, Т(х, у, z) = const и т.д.).В качестве примера на рис. 1.15 показаны изоповерхности тем­пературы (изотермы). По виду изотерм можно судить о ха­рактере распределения температуры в пространстве. В част­ности, более близкое расположение изотерм друг к другу сви­детельствует о более резком изменении температуры в даннойобласти пространства.Векторные линии используются для графического изо­бражения векторных полей.

Это такие линии в простран­стве, касательные к которым в каждой точке совпадают понаправлению с направлением вектора в данной точке. Век­торные линии, используемые для графического изображенияполя вектора скорости v, называются также линиями тока.На рис. 1.16 с помощью линий тока показан поток жидкости,движущейся относительно декартовой прямоугольной систе­мы координат.

В каждой точке (Mi, М2, М3) любой линиитока вектор скорости v (vi, V2, V3 и т.д.) направлен по каса­тельной к ней. Модуль вектора в данной области векторногополя графически связан со степенью сближения векторных ли­ний. Например, при графическом изображении поля скорости25Рис. 1.16Рис. 1.17течения несжимаемой жидкости, движущейся в трубе пере­менного сечения (рис. 1.17), наиболее густо расположены ли­нии тока в самой узкой части трубы (модуль вектора скороститечения жидкости максимален).Перейдем теперь к рассмотрению основных величин, ха­рактеризующих изменение скалярной и векторной функцийвекторного аргумента в окрестности точки пространства.Градиент скалярной функции векторного аргу­мента. Определение этой величины связано с вычислени­ем производной функции по направлению.

Рассмотрим опре­деление градиента на примере скалярного поля температу­ры Т. Будем считать, что в декартовой прямоугольнойсистеме координат (рис. 1.18) задано скалярное поле темпе-26ратуры Т = Т(х, уу z). Выберем произвольную точку М про­странства с координатами ж, у, z и произвольное направле­ние ММ\, которое будем характеризовать единичным век­тором s (|s| = 1). Вдоль прямой ММ\ координаты ж, у, zточек пространства изменяются в зависимости от координа­ты 5, отсчитываемой от точки М по направлению вектора з:х = я(з), у = j/(s), z — z(s).

Следовательно, изменяюща­яся вдоль произвольной прямой М Mi температура Т явля­ется сложной функцией только одного скалярного аргумента:Т =у, z) = Т^з), 2/(з), г(з)]. В соответствии с пра­вилами дифференцирования сложной функции производная понаправлению вектора s в точке М равнаdT_dTdxdsdx dsdTdydy dsdTdzdz dsДифференциалы координат dx, dy, dz отвечают изменениямкоординат x, у, z в соответствии с изменением координатыs, отсчитываемой вдоль заданного направления вектора s, навеличину ds.

Из геометрических соображений (см. рис. 1.18)следует, чтоdx2 + dy2 + dz2 = ds2илиНа основании известного тождества (1.1), связывающе­го направляющие косинусы вектора, величины dx/ds, dy/ds,dz/ds могут рассматриваться как направляющие косинусывектора, характеризующего выбранное произвольное напра­вление. Так как для вектора единичной длины направляющиекосинусы тождественно равны его компонентам, приведенныевыше величины являются компонентами единичного вектораs = sxi + Syj + szk, характеризующего выбранное произволь­ное направление, т.е.dxdsdy27Из последних соотношений и из (1.2), (1.5) следует, что взя­тая в точке М пространства производная температуры по на­правлению единичного вектора s определяется как скалярноепроизведение двух векторов:дТ(дТ .дТ .дТ \(.Один из сомножителей полученного скалярного произведения— вектор, компонентами которого являются частные про­изводные скалярной функции по соответствующим коорди­натам, — называется вектором градиента скалярной функ­ции в данной точке пространства.

Тогда<16>+дТ— = gradTs.(1.7)Физический смысл градиента скалярной функции век­торного аргумента устанавливается с помощью соотноше­ния (1.7) и рис. 1.19. Проведем через произвольную точку Мпространства, в котором задано скалярное поле температу­ры Т =у, г), поверхность уровня Т = const. Пустьнаправление вдоль поверхности уровня определено единич­ным вектором s, направленным по касательной к поверхностиуровня в данной точке М (рис. 1.19, а). Значение температу­ры вдоль поверхности уровня остается неизменным, поэтомуgradT8Рис. 1.1928производная скалярной функции по выбранному направлениюdT/ds = 0.

Но из соотношения (1.7) следует, что скалярноепроизведение вектора градиента температуры и единичноговектора з, направленного по касательной к поверхности уров­ня, также должно равняться нулю: grad У • s = 0. Такимобразом, вектор градиента направлен по нормали к поверх­ности уровня в данной точке пространства.

Характеристики

Список файлов книги