babkin_selivanov (550243), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Действительно, в декартовойпрямоугольной системе координат все три координаты х1 = х,х2 = у, х3 = z имеют размерность длины, поэтому метриче­ские коэффициенты (1.30) являются безразмерными величина­ми. В цилиндрической системе координат только две коорди­наты х1 = г и х3 = z имеют размерность длины, тогда какугловая координата х2 = в измеряется в радианах. Согласноэтому метрический коэффициент #22 =является размернойвеличиной с размерностью квадрата длины, в то время какдва других коэффициента являются безразмерными величи­нами (см. (1.31)).Взаимный базис системы координат.

Метриче­ские коэффициенты взаимного базиса. Взаимный (поотношению к основному) базис системы координат в даннойточке пространства есть совокупность трех векторов(или г1, г2, г3), которые взаимосвязаны с векторами основ­ного базиса соотношением(1.32)Согласно определению (1.32), скалярное произведение векто­ров основного (гг) и взаимного (г3) базисов обусловлено значе­нием символа Кронекера : скалярное произведение базисныхвекторов с одинаковыми индексами равно единице; результа­том перемножения базисных векторов с разными индексамиявляется нуль.

Определение (1.32) позволяет по известнымвекторам основного базиса построить совокупность трех век­торов взаимного базиса. Например, для первого из вектороввзаимного базисаг1 • 7*1 = 1,52г1 • Г2 = 0,Г1 • 7*3 = 0.(1.33)Как следует из этих соотношений, первый вектор взаимногобазиса г1 должен быть ортогонален обоим векторам основногобазиса 7*2 и г3- Следовательно, вектор т*1 = т(т*2 X ^з) Дол­жен быть коллинеарен векторному произведению Г2 X т*з, гдезначение скалярного множителя т определяется из первого со­отношения (1.33): 7*1 • m (т*2 X т*з) = 1.

Значение т обратно поотношению к смешанному произведению векторов основногобазиса 7*1 • (т*2 X т*з), которое равно объему параллелепипеда,построенного на векторах основного базиса. Для ортогональ­ных систем координат смешанное произведение определяетсяпроизведением модулей базисных векторов т*г. С учетом опре­деления метрических коэффициентов основного базиса (1.25)получим7*1 • (г2 X 7*3) = |т*1| • |Г2| • |^з| == х/(п Т1)-(Г2 • 7-2)-(т-з тз) =где д =— детерминант метрической матрицы(1.28) для ортогональной системы координат. Таким образом,скалярный множитель т = 1/у/д, что позволяет найти первыйвектор взаимного базиса: г1 = (7*2 х/\/д.

Аналогичноопределяются второй и третий векторы взаимного базиса г2И 7*3.Уточним геометрическоепредставление взаимного ба­зиса.В общем случае не­ортогональной криволинейнойсистемы координат (рис. 1.37)векторы основного базиса7*1, г2, г3 не являются ортого­нальными, а векторы взаим­ного базиса 7’1,т*2,7*3 не со­впадают с одноименнымиРис. 1.3753(имеющими одинаковые индексы, например, rj и г1) векто­рами основного базиса ни по направлению, ни по модулю.В случае ортогональной криволинейной системы координатвекторы основного базиса взаимно перпендикулярны, одно­именные векторы основного и взаимного базисов совпадаютпо направлению, но могут не совпадать по модулю (рис.

1.38).Наконец, в декартовойпрямоугольной системе ко­ординат векторы взаимно­го базиса, построенные всоответствии с определе­нием (1.32), совпадают помодулю и направлению сединичнымивекторамиосновного базиса: г1 =•о— Г1 —г ~ г2 = Зчг3 = гз = к.Метрические коэффициенты взаимного базиса системыкоординат вводятся с использованием векторов взаимного ба­зиса как величины, определяемые скалярным произведениемсоответствующих базисных векторов, т.е.gij = ri.rj(! .34)Совокупность девяти метрических коэффициентов д1] образу­ет метрическую матрицу взаимного базиса (И) , котораятак же, как и метрическая матрица основного базиса, являетсясимметричной:У<712U1399229239“923<733 J>Для ортогональной системы координат метрическая матрицаявляется диагональной:54Между метрическими коэффициентами основного и вза­имного базисов существует взаимосвязь, которую приведембез вывода: дгг =Таким образом, в декартовой пря­моугольной системе координат (<7ii = <722 = <733 = 1) метриче­ские коэффициенты взаимного базиса системы координат име­ют следующие значения:Я11 = 022 = S'33 = 1,д'3 =0,i/j.(1.35)В цилиндрической системе координат (<7ц = <733 = 1, <722 = т*2)метрические коэффициенты взаимного базиса отличаются откоэффициентов основного базиса:?1 = 1,g22 = l/r2,д33 = 1,gij = 0,(1.36)В заключение отметим, что существует еще один типметрических коэффициентов — метрические коэффициентысмешанного типа, которые определяются как скалярные про­изведения двух базисных векторов, один из которых принад­лежит к основному базису, а второй — к взаимному:приприi = 3.i ± 3-(1-37)Согласно определению взаимного базиса (1.32), значенияметрических коэффициентов д? обусловливаются значениямисимволов Кронекера 6?.

Совокупность девяти метрических ко­эффициентов смешанного типа образует метрическую матри­цу ( () , которая является диагональной единичной матри­цей:Таким образом, система координат в данной точке про­странства характеризуется тройкой векторов rj, Г2> г3, соста­вляющих основной базис, тройкой векторов г1, г2, г3, соста­вляющих взаимный базис, а также тремя метрическими ма­трицами, компонентами которых55являются метрические коэффициенты основного и взаимногобазисов, а также метрические коэффициенты смешанного ти­па.1.3.2.

Преобразования координати базисных векторовПри анализе характера математических объектов мате­матического аппарата механики сплошных сред было отме­чено, что основное требование, предъявляемое к указаннымобъектам, — их инвариантность относительно преобразова­ния системы координат. Такие математические объекты на­зываются тензорами. Простейшими тензорами являются ска­лярные величины, так как их значения не зависят от того,в какой системе координат (декартовой прямоугольной, ци­линдрической, сферической или какой-то другой) рассматри­вается движение сплошной среды.

Покажем, что векторныевеличины также инвариантны относительно преобразованиясистемы координат, т.е. не изменяются при переходе от однойсистемы координат к другой (при неизменности точки отсче­та).Для описания движения сплошной среды введем некото­рую систему координат х1 (ж1, х2, ж3), например декартовупрямоугольную систему координат (ж1 = х, х2 = у, ж3 = z).Выберем произвольную точку М пространства, положение ко­торой относительно точки 0 начала координат характеризует­ся радиус-вектором г, и сколь угодно близкую к точке М точкуЛ/1, положение которой относительно исходной точки харак­теризуется вектором dr (рис.

1.39). Для описания движениясплошной среды может быть выбрана и любая другая системакоординат у3 (т/1, у2, у3), например цилиндрическая системакоординат (у1 = г, у2 = в, у3 = z). Будем в дальнейшем длякраткости систему координат хг называть старой, а системукоординат у3 — новой. Предположим, что между координа­тами точек пространства в старой и новой системах коорди­нат существует взаимосвязь: хг = хг(у3), у3 = у3(хг>), т.е. ка­ждая из трех координат х1, х2, х3 зависит от трех координат56у1, У2, У* и наоборот.

Например, координаты точек простран­ства в декартовой прямоугольной и цилиндрической системахкоординат связаны известными соотношениями: х = rcos0,у — rsinfl, z — z.В системе координат х1 вектор dr может быть предста­влен в виде разложения по векторам основного базиса Т{ вточке М как сумма произведений векторов основного базисаи дифференциалов координат:дтdr — ——г dx1 — Т{ dx\дх11’где дифференциалы координат dx1 являются компонентамивектора dr в разложении по векторам основного базиса (см.(1.22) и (1.23)).

При переходе от старой системы координатхг к новой системе координат у3 будут изменяться значениякомпонент вектора dr от dxz к dy\ а также будет изменять­ся и совокупность трех векторов, образующих.основной базиссистемы координат в данной точке пространства. В соответ­ствии с определением (1.20) векторы основного базиса будутизменяться от тг = дг/дх1 (векторы основного базиса в систе­ме координат хг) к (ту/ = дг/ду3 (векторы основного базиса всистеме координат у3).

Несмотря на изменение компонент век­тора dr и базисных векторов при переходе от одной системыкоординат к другой, сумма произведений компонент вектора57и соответствующих векторов основного базиса остается неиз­менной, т.е. вектор dr (как математический объект) являетсяинвариантным относительно преобразования системы коорди­нат:dr = гг dxl — (rj)f dy3.(1.38)Преобразование координат проводится по закону, но­сящему название контрвариантного закона преобразования.Согласно предположению относительно взаимосвязи междукоординатами старой и новой систем координат, каждая изтрех координат у1, у2, у$ зависит от трех координат ж1, ж2,х3:Компоненты вектора dr в новой системе координат у3 илидифференциалы ее координат определяются в соответствии справилами дифференцирования функции нескольких перемен­ных и соглашением о суммировании:Эти выражения могут быть записаны в общем видеСледовательно, чтобы перейти от компонент dxk вектора drв системе координат хг к компонентам dy3 этого же векторав системе,координат у3, необходимо знать частные производ­ные ду3/дхк новых координат по старым.

Характеристики

Список файлов книги